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- 2021-06-20 发布
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专题4 用样本估计总体
1.用样本估计总体的两种情况
(1)用样本的频率分布估计总体的分布.
(2)用样本的数字特征估计总体的数字特征.
2.用样本的频率分布估计总体分布
(1)频率分布直方图;
(2)频率分布折线图和总体密度曲线及茎叶图
①频率分布折线图的作法;
②总体密度曲线的含义;
③茎叶图的特点.
3.用样本的数字特征估计总体的数字特征
(1)众数、中位数、平均数的定义;
(2)样本方差、标准差的含义及求法.
例1 调查某校高三年级男生的身高,随机抽取40名高三男生,实测身高数据(单位:cm)如下:
171 163 163 166 166 168 168 160 168 165
171 169 167 169 151 168 170 168 160 174
165 168 174 159 167 156 157 164 169 180
176 157 162 161 158 164 163 163 167 161
(1)作出频率分布表;
(2)画出频率分布直方图.
变式1 下表给出了某校500名12岁男孩中用随机抽样得出的120人的身高(单位:cm).
(1)列出样本频率分布表;
(2)画出频率分布直方图;
(3)估计身高小于134 cm的人数占总人数的百分比.
例2 某赛季甲、乙两名篮球运动员每场得分情况如下:
甲的得分:12,15,24,25,31,31,36,37,36,39,44,49,50.
乙的得分:8,13,14,16,23,26,28,33,38,39,51,9,17.
(1)用茎叶图表示上面的数据;
(2)根据你所画的茎叶图,分析甲、乙运动员的得分情况.
变式2 有关部门从甲、乙两个城市所有的自动售货机中分别随机抽取了16台,记录了上午8:00~11:00间各自的销售情况(单位:元)
画出茎叶图,分析两城市自动售货机的销售情况.
例3 从甲、乙两种玉米苗中各抽10株,分别测得它们的株高如下(单位:cm):
甲:25 41 40 37 22 14 19 39 21 42
乙:27 16 44 27 44 16 40 40 16 40
问:(1)哪种玉米的苗长得高?
(2)哪种玉米的苗长得齐?
变式3 甲、乙两台机床在相同的条件下同时生产一种零件,现在从中各抽测10个,它们的尺寸分别为(单位:mm):
甲:10.2 10.1 10.9 8.9 9.9 10.3 9.7 10 9.9 10.1
乙:10.3 10.4 9.6 9.9 10.1 10 9.8 9.7 10.2 10
分别计算上面两个样本的平均数与标准差.如果图纸上的设计尺寸为10 mm,从计算结果看,用哪台机床加工这种零件较合适.
A级
1.用样本频率分布估计总体频率分布的过程中,下列说法正确的是( )
A.总体容量越大,估计越精确
B.总体容量越小,估计越精确
C.样本容量越大,估计越精确
D.样本容量越小,估计越精确
2.频率分布直方图中,小长方形的面积等于( )
A.组距 B.频率 C.组数 D.频数
3.一个样本数据按从小到大的顺序排列为13,14,19,x,23,27,28,31,其中位数为22,则x为( )
A.21 B.22 C.20 D.23
4.从总体中抽取的样本数据有n1个a,n2个b,n3个c,则总体平均数的估计值为( )
A. B.
C. D.
5.一个容量为n的样本,分成若干组,已知甲组的频数和频率分别为36和,则容量n=________,且频率为的乙组的频数是________.
6.已知一样本x1,x2,…,xn,其标准差s=8.5,另一样本3x1+5,3x2+5,…,3xn+5,其标准差s′=________.
7.某商店大米的价格是3.00元/千克,面粉的价格是3.60元/千克,大米与面粉的销量分别是1 000千克,500千克,则该商店出售的粮食的平均价格是______元/千克.
B级
8.容量为20的样本数据,分组后的频数如下表:
则样本数据落在区间[10,40)的频率为( )
A.0.35 B.0.45 C.0.55 D.0.65
9.对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计,得到样本的茎叶图(如图所示),则该样本的中位数、众数、极差分别是( )
A.46,45,56 B.46,45,53
C.47,45,56 D.45,47,53
10.某同学使用计算器求30个数据的平均数时,错将其中一个数据105输入为15,那么由此求出的平均数与实际平均数的差等于( )
A.3.5 B.-3 C.3 D.-0.5
11.如图是容量为100的样本的频率分布直方图,试根据图形中的数据填空.
(1)样本数据落在范围[6,10)内的频率为________;
(2)样本数据落在范围[10,14)内的频数为________.
12.已知样本9,10,11,x,y的平均数是10,方差是4,则xy=________.
13.某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示,其中成绩分组区间是[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100].
(1)求图中a的值;
(2)根据频率分布直方图,估计这100名学生语文成绩的平均分;
(3)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数(x)与数学成绩相应分数段的人数(y)之比如下表所示,求数学成绩在[50,90)之外的人数.
14.某车间20名工人年龄数据如下表:
(1)求这20名工人年龄的众数与极差;
(2)以十位数为茎,个位数为叶,作出这20名工人年龄的茎叶图;
(3)求这20名工人年龄的方差.
详解答案
典型例题
例1 解 (1)最低身高为151 cm,最高身高为180 cm,它们的差是180-151=29,即极差为29;确定组距为3,组数为10,列表如下:
(2)频率分布直方图,如图所示.
变式1 解 (1)样本频率分布表如下:
(2)其频率分布直方图如下:
(3)由样本频率分布表可知身高小于134 cm的男孩出现的频率为0.04+0.07+0.08=0.19,所以我们估计身高小于134 cm的人数占总人数的19%.
例2 解 (1)如图所示的茎叶图中,中间的数字表示两位运动员得分的十位数,两边的数字分别表示两个人各场比赛得分的个位数.
(2)从茎叶图上可以看出:甲运动员的得分比较集中在茎为3的一行,且大致关于这一行对称;乙运动员的得分主要分散在四行.
所以甲运动员的发挥比较稳定,总体得分情况比乙运动员好.
变式2 解 茎叶图如图所示.
根据茎叶图对两城市自动售货机进行比较,从茎叶图上可以看出:甲城市自动售货机的销售量不均匀,有最多的,58元.有最少的,5元;乙城市自动售货机的销售量没有特殊销售量,分布比较均匀.
因此乙城市自动售货机销售量比较稳定.
例3 解 (1)∵甲=(25+41+40+37+22+14+19+39+21+42)=×300=30(cm),
乙=(27+16+44+27+44+16+40+40+16+40)=×310=31(cm).
∴甲<乙,即乙种玉米的苗长得高.
(2)∵s=[(25-30)2+(41-30)2+(40-30)2+(37-30)2+(22-30)2+(14-30)2+(19-30)2+(39-30)2+(21-30)2+(42-30)2]=(25+121+100+49+64+256+121+81+81+144)=×1 042=104.2,
s=[(2×272+3×162+3×402+2×442)-10×312]=×1 288=128.8,
∴ss乙,所以乙比甲稳定,用乙较合适.
强化提高
1.C 2.B 3.A 4.D
5.144 24
解析 抽样时要保证每个个体被抽到的机会均等,则=,所以n=36×4=144,设频率为的乙组的频数为x,同理=,x=24.
6.25.5
解析 s′=3s=25.5.
7.3.20
8.B [根据频率的定义求解.由表知[10,40)的频数为2+3+4=9,所以样本数据落在区间[10,40)的频率为=0.45.]
9.A [由题意知,各数为
12,15,20,22,23,23,31,32,34,34,38,39,45,45,45,47,47,48,48,49,50,50,51,51,54,57,59,61,67,68,中位数是46,众数是45,最大数为68,最小数为12,极差为68-12=56.]
10.B [少输入90,=3,平均数少3,求出的平均数减去实际的平均数等于-3.]
11.0.32 36
解析 样本数据落在[6,10)内的频率为4×0.08=0.32,落在[10,14)内的频率为4×0.09=0.36,频数n=100×0.36=36.
12.91
解析 由题意得
即
解得,或.所以xy=91.
13.解 (1)由频率分布直方图知(2a+0.02+0.03+0.04)×10=1,解得a=0.005.
(2)由频率分布直方图知这100名学生语文成绩的平均分为55×0.005×10+65×0.04×10+75×0.03×10+85×0.02×10+95×0.005×10=73(分).
(3)由频率分布直方图知语文成绩在[50,60),[60,70),[70,80),[80,90)各分数段的人数依次为0.005×10×100=5,0.04×10×100=40,0.03×10×100=30,0.02×10×100=20.
由题中给出的比例关系知数学成绩在上述各分数段的人数依次为5,40×=20,30×=40,20×=25.
故数学成绩在[50,90)之外的人数为100-(5+20+40+25)=10.
14.解 (1)这20名工人年龄的众数为:30;这20名工人年龄的极差为:40-19=21.
(2)以十位数为茎,个位数为叶,作出这20名工人年龄的茎叶图如下:
(3)这20名工人年龄的平均数为:(19+28×3+29×3+30×5+31×4+32×3+40)÷20=30;
所以这20名工人年龄的方差为:
(30-19)2+(30-28)2+(30-29)2+(30-30)2+(30-31)2+(30-32)2+(30-40)2=12.6.