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  • 2021-06-20 发布

寒假专题突破练高二数学(文科通用选修1-1、必修3)专题4 用样本估计总体(解析)x

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专题4 用样本估计总体 ‎1.用样本估计总体的两种情况 ‎(1)用样本的频率分布估计总体的分布.‎ ‎(2)用样本的数字特征估计总体的数字特征.‎ ‎2.用样本的频率分布估计总体分布 ‎(1)频率分布直方图;‎ ‎(2)频率分布折线图和总体密度曲线及茎叶图 ‎①频率分布折线图的作法;‎ ‎②总体密度曲线的含义;‎ ‎③茎叶图的特点.‎ ‎3.用样本的数字特征估计总体的数字特征 ‎(1)众数、中位数、平均数的定义;‎ ‎(2)样本方差、标准差的含义及求法.‎ 例1 调查某校高三年级男生的身高,随机抽取40名高三男生,实测身高数据(单位:cm)如下:‎ ‎171 163 163 166 166 168 168 160 168 165‎ ‎171 169 167 169 151 168 170 168 160 174‎ ‎165 168 174 159 167 156 157 164 169 180‎ ‎176 157 162 161 158 164 163 163 167 161‎ ‎(1)作出频率分布表;‎ ‎(2)画出频率分布直方图.‎ 变式1 下表给出了某校500名12岁男孩中用随机抽样得出的120人的身高(单位:cm).‎ ‎(1)列出样本频率分布表;‎ ‎(2)画出频率分布直方图;‎ ‎(3)估计身高小于134 cm的人数占总人数的百分比.‎ 例2 某赛季甲、乙两名篮球运动员每场得分情况如下:‎ 甲的得分:12,15,24,25,31,31,36,37,36,39,44,49,50.‎ 乙的得分:8,13,14,16,23,26,28,33,38,39,51,9,17.‎ ‎(1)用茎叶图表示上面的数据;‎ ‎(2)根据你所画的茎叶图,分析甲、乙运动员的得分情况.‎ 变式2 有关部门从甲、乙两个城市所有的自动售货机中分别随机抽取了16台,记录了上午8:00~11:00间各自的销售情况(单位:元)‎ 画出茎叶图,分析两城市自动售货机的销售情况.‎ 例3 从甲、乙两种玉米苗中各抽10株,分别测得它们的株高如下(单位:cm):‎ 甲:25 41 40 37 22 14 19 39 21 42‎ 乙:27 16 44 27 44 16 40 40 16 40‎ 问:(1)哪种玉米的苗长得高?‎ ‎(2)哪种玉米的苗长得齐?‎ 变式3 甲、乙两台机床在相同的条件下同时生产一种零件,现在从中各抽测10个,它们的尺寸分别为(单位:mm):‎ 甲:10.2 10.1 10.9 8.9 9.9 10.3 9.7 10 9.9 10.1‎ 乙:10.3 10.4 9.6 9.9 10.1 10 9.8 9.7 10.2 10‎ 分别计算上面两个样本的平均数与标准差.如果图纸上的设计尺寸为10 mm,从计算结果看,用哪台机床加工这种零件较合适.‎ A级 ‎1.用样本频率分布估计总体频率分布的过程中,下列说法正确的是(  )‎ A.总体容量越大,估计越精确 B.总体容量越小,估计越精确 C.样本容量越大,估计越精确 D.样本容量越小,估计越精确 ‎2.频率分布直方图中,小长方形的面积等于(  )‎ A.组距 B.频率 C.组数 D.频数 ‎3.一个样本数据按从小到大的顺序排列为13,14,19,x,23,27,28,31,其中位数为22,则x为(  )‎ A.21 B.22 C.20 D.23‎ ‎4.从总体中抽取的样本数据有n1个a,n2个b,n3个c,则总体平均数的估计值为(  )‎ A. B. C. D. ‎5.一个容量为n的样本,分成若干组,已知甲组的频数和频率分别为36和,则容量n=________,且频率为的乙组的频数是________.‎ ‎6.已知一样本x1,x2,…,xn,其标准差s=8.5,另一样本3x1+5,3x2+5,…,3xn+5,其标准差s′=________.‎ ‎7.某商店大米的价格是3.00元/千克,面粉的价格是3.60元/千克,大米与面粉的销量分别是1 000千克,500千克,则该商店出售的粮食的平均价格是______元/千克.‎ B级 ‎8.容量为20的样本数据,分组后的频数如下表:‎ 则样本数据落在区间[10,40)的频率为(  )‎ A.0.35 B.0.45 C.0.55 D.0.65‎ ‎9.对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计,得到样本的茎叶图(如图所示),则该样本的中位数、众数、极差分别是(  ) ‎ A.46,45,56 B.46,45,53‎ C.47,45,56 D.45,47,53‎ ‎10.某同学使用计算器求30个数据的平均数时,错将其中一个数据105输入为15,那么由此求出的平均数与实际平均数的差等于(  )‎ A.3.5 B.-3 C.3 D.-0.5‎ ‎11.如图是容量为100的样本的频率分布直方图,试根据图形中的数据填空.‎ ‎(1)样本数据落在范围[6,10)内的频率为________;‎ ‎(2)样本数据落在范围[10,14)内的频数为________.‎ ‎12.已知样本9,10,11,x,y的平均数是10,方差是4,则xy=________.‎ ‎13.某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示,其中成绩分组区间是[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100].‎ ‎(1)求图中a的值;‎ ‎(2)根据频率分布直方图,估计这100名学生语文成绩的平均分;‎ ‎(3)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数(x)与数学成绩相应分数段的人数(y)之比如下表所示,求数学成绩在[50,90)之外的人数.‎ ‎14.某车间20名工人年龄数据如下表:‎ ‎ ‎ ‎(1)求这20名工人年龄的众数与极差;‎ ‎(2)以十位数为茎,个位数为叶,作出这20名工人年龄的茎叶图;‎ ‎(3)求这20名工人年龄的方差.‎ 详解答案 典型例题 例1 解 (1)最低身高为151 cm,最高身高为180 cm,它们的差是180-151=29,即极差为29;确定组距为3,组数为10,列表如下:‎ ‎(2)频率分布直方图,如图所示.‎ 变式1 解 (1)样本频率分布表如下:‎ ‎(2)其频率分布直方图如下:‎ ‎(3)由样本频率分布表可知身高小于134 cm的男孩出现的频率为0.04+0.07+0.08=0.19,所以我们估计身高小于134 cm的人数占总人数的19%.‎ 例2 解 (1)如图所示的茎叶图中,中间的数字表示两位运动员得分的十位数,两边的数字分别表示两个人各场比赛得分的个位数.‎ ‎(2)从茎叶图上可以看出:甲运动员的得分比较集中在茎为3的一行,且大致关于这一行对称;乙运动员的得分主要分散在四行.‎ 所以甲运动员的发挥比较稳定,总体得分情况比乙运动员好.‎ 变式2 解 茎叶图如图所示.‎ 根据茎叶图对两城市自动售货机进行比较,从茎叶图上可以看出:甲城市自动售货机的销售量不均匀,有最多的,58元.有最少的,5元;乙城市自动售货机的销售量没有特殊销售量,分布比较均匀.‎ 因此乙城市自动售货机销售量比较稳定.‎ 例3 解 (1)∵甲=(25+41+40+37+22+14+19+39+21+42)=×300=30(cm),‎ 乙=(27+16+44+27+44+16+40+40+16+40)=×310=31(cm).‎ ‎∴甲<乙,即乙种玉米的苗长得高.‎ ‎(2)∵s=[(25-30)2+(41-30)2+(40-30)2+(37-30)2+(22-30)2+(14-30)2+(19-30)2+(39-30)2+(21-30)2+(42-30)2]=(25+121+100+49+64+256+121+81+81+144)=×1 042=104.2,‎ s=[(2×272+3×162+3×402+2×442)-10×312]=×1 288=128.8,‎ ‎∴ss乙,所以乙比甲稳定,用乙较合适.‎ 强化提高 ‎1.C 2.B 3.A 4.D ‎5.144 24‎ 解析 抽样时要保证每个个体被抽到的机会均等,则=,所以n=36×4=144,设频率为的乙组的频数为x,同理=,x=24.‎ ‎6.25.5‎ 解析 s′=3s=25.5.‎ ‎7.3.20‎ ‎8.B [根据频率的定义求解.由表知[10,40)的频数为2+3+4=9,所以样本数据落在区间[10,40)的频率为=0.45.]‎ ‎9.A [由题意知,各数为 ‎12,15,20,22,23,23,31,32,34,34,38,39,45,45,45,47,47,48,48,49,50,50,51,51,54,57,59,61,67,68,中位数是46,众数是45,最大数为68,最小数为12,极差为68-12=56.]‎ ‎10.B [少输入90,=3,平均数少3,求出的平均数减去实际的平均数等于-3.]‎ ‎11.0.32 36‎ 解析 样本数据落在[6,10)内的频率为4×0.08=0.32,落在[10,14)内的频率为4×0.09=0.36,频数n=100×0.36=36.‎ ‎12.91‎ 解析 由题意得 即 解得,或.所以xy=91.‎ ‎13.解 (1)由频率分布直方图知(2a+0.02+0.03+0.04)×10=1,解得a=0.005.‎ ‎(2)由频率分布直方图知这100名学生语文成绩的平均分为55×0.005×10+65×0.04×10+75×0.03×10+85×0.02×10+95×0.005×10=73(分).‎ ‎(3)由频率分布直方图知语文成绩在[50,60),[60,70),[70,80),[80,90)各分数段的人数依次为0.005×10×100=5,0.04×10×100=40,0.03×10×100=30,0.02×10×100=20.‎ 由题中给出的比例关系知数学成绩在上述各分数段的人数依次为5,40×=20,30×=40,20×=25.‎ 故数学成绩在[50,90)之外的人数为100-(5+20+40+25)=10.‎ ‎14.解 (1)这20名工人年龄的众数为:30;这20名工人年龄的极差为:40-19=21.‎ ‎(2)以十位数为茎,个位数为叶,作出这20名工人年龄的茎叶图如下:‎ ‎(3)这20名工人年龄的平均数为:(19+28×3+29×3+30×5+31×4+32×3+40)÷20=30;‎ 所以这20名工人年龄的方差为:‎ (30-19)2+(30-28)2+(30-29)2+(30-30)2+(30-31)2+(30-32)2+(30-40)2=12.6.‎