数学卷·2018届山西省太原市育英中学高二上学期摸底数学试卷 （解析版） 23页

‎2016-2017学年山西省太原市育英中学高二（上）摸底数学试卷 ‎　‎ 一、选择题：（共12小题，每小题5分）‎ ‎1．设集合A={x|﹣1≤x＜5，x∈R}，B={x|x＜﹣1或x＞4，x∈R}，则A∪B是（　　）‎ A．{x|4＜x＜5} B．{x|x＞4} C．{x|x＜﹣2} D．R ‎2．已知函数f（x）=，则f[f（）]的值是（　　）‎ A． B． C．4 D．9‎ ‎3．函数f（x）=ex+x的零点所在一个区间是（　　）‎ A．（﹣2，﹣1） B．（﹣1，0） C．（0，1） D．（1，2）‎ ‎4．三个数a=0.62，b=ln0.6，c=20.6之间的大小关系是（　　）‎ A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．b＜c＜a ‎5．为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：‎ 收入x （万元）‎ ‎8.2‎ ‎8.6‎ ‎10.0‎ ‎11.3‎ ‎11.9‎ 支出y （万元）‎ ‎6.2‎ ‎7.5‎ ‎8.0‎ ‎8.5‎ ‎9.8‎ 据上表得回归直线方程=x+，其中=0.76， =﹣，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为（　　）‎ A．11.4万元 B．11.8万元 C．12.0万元 D．12.2万元 ‎6．在平面内，已知，则=（　　）‎ A．3 B． C． D．‎ ‎7．设tanθ和tan（﹣θ）是方程x2+px+q=0的两个根，则p、q之间的关系是（　　）‎ A．p+q+1=0 B．p﹣q+1=0 C．p+q﹣1=0 D．p﹣q﹣1=0‎ ‎8．执行如图所示的程序框图，若输入n=10，则输出的S=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．函数y=sin（ωx+φ）的部分图象如图，则ω，φ可以取的一组值是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．已知各项不为0的等差数列{an}满足a4﹣2a72+3a8=0，数列{bn}是等比数列，且b7=a7，则b2b8b11等于（　　）‎ A．1 B．2 C．4 D．8‎ ‎11．设f（x）为奇函数且在（﹣∞，0）上单调递减，f（﹣2）=0，则xf（x）＞0的解集为（　　）‎ A．（﹣2，0）∪（2，+∞） B．（﹣∞，﹣2）∪（0，2） C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） D．（﹣2，0）∪（0，2）‎ ‎12．如图，点P从点O出发，分别按逆时针方向沿周长均为12的正三角形、正方形运动一周，O，P两点连线的距离y与点P走过的路程x的函数关系分别记为y=f（x），y=g（x），定义函数h（x）=，对于函数y=h（x），下列结论正确的个数是（　　）‎ ‎①h（4）=； ‎ ‎②函数h（x）的图象关于直线x=6对称；‎ ‎③函数h（x）值域为； ‎ ‎④函数h（x）增区间为（0，5）．‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎　‎ 二、填空题：（共4小题，每小题5分）‎ ‎13．已知不等式ax2+bx+1≥0的解集为{x|﹣5≤x≤1}，则a+b=　　．‎ ‎14．在△ABC中，，则角A的值为　　．‎ ‎15．如图所示，已知点G是△ABC的重心，过G作直线与AB、AC两边分别交于M、N两点，且，则的值为　　．‎ ‎16．在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，若∠B=∠C且7a2+b2+c2=4，则△ABC的面积的最大值为　　．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ‎17．已知奇函数f（x）=．‎ ‎（1）求实数m的值，并在给出的直角坐标系中画出y=f（x）的图象；‎ ‎（2）若函数f（x）在区间[﹣1，a﹣2]上单调递增，试确定a的取值范围．‎ ‎18．已知函数f（x）=sincos﹣sin2‎ ‎（Ⅰ） 求f（x）的最小正周期；‎ ‎（Ⅱ）．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若f（2A）=0，且a=1求△ABC面积的最大值．‎ ‎19．某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了50位市民，根据这50位市民对两部门的评分（评分越高表明市民的评价越高）绘制的茎叶图如图：‎ ‎（Ⅰ）分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数；‎ ‎（Ⅱ）分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率；‎ ‎（Ⅲ）根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价．‎ ‎20．记数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，an+1=2Sn+1．已知数列{bn}‎ 满足bn﹣2=3log3an．‎ ‎（Ⅰ）求{an}和{bn}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设cn=an•bn，求数列{cn}的前n项和Tn．‎ ‎21．现有8名奥运会志愿者，其中志愿者A1，A2，A3通晓日语，B1，B2，B3通晓俄语，C1，C2通晓韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组．‎ ‎（Ⅰ）求A1被选中的概率；‎ ‎（Ⅱ）求B1和C1不全被选中的概率．‎ ‎22．已知二次函数f（x）=ax2+bx（a，b为常数且a≠0）满足条件f（﹣x+5）=f（x﹣3），且方程f（x）=x有两个相等的实数根．‎ ‎（1）求f（x）的解析式；‎ ‎（2）是否存在实数m，n （m＜n），使f（x）的定义域和值域分别是[m，n]和[2m，2n]？如果存在，求出m，n的值； 如果不存在，说明理由．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年山西省太原市育英中学高二（上）摸底数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：（共12小题，每小题5分）‎ ‎1．设集合A={x|﹣1≤x＜5，x∈R}，B={x|x＜﹣1或x＞4，x∈R}，则A∪B是（　　）‎ A．{x|4＜x＜5} B．{x|x＞4} C．{x|x＜﹣2} D．R ‎【考点】并集及其运算．‎ ‎【分析】由题意A={x|﹣1≤x＜5，x∈R}，B={x|x＜﹣1或x＞4，x∈R}，根据并集的定义计算A∪B．‎ ‎【解答】解：∵集合A={x|﹣1≤x＜5，x∈R}，B={x|x＜﹣1或x＞4，x∈R}，‎ ‎∴集合A∪B=R，‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎2．已知函数f（x）=，则f[f（）]的值是（　　）‎ A． B． C．4 D．9‎ ‎【考点】函数的值．‎ ‎【分析】利用分段函数，先求f（）的值，然后求f[f（）]的值即可．‎ ‎【解答】解：由分段函数可知f（）=，‎ 所以f[f（）]=f（﹣2）=．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎3．函数f（x）=ex+x的零点所在一个区间是（　　）‎ A．（﹣2，﹣1） B．（﹣1，0） C．（0，1） D．（1，2）‎ ‎【考点】函数零点的判定定理．‎ ‎【分析】由 函数f（x）是R上的连续函数，且 f（﹣1）•f（0）＜0，根据函数的零点的判定定理得出结论．‎ ‎【解答】解：∵函数f（x）=ex+x是R上的连续函数，f（﹣1）=﹣1＜0，f（0）=1＞0，‎ ‎∴f（﹣1）•f（0）＜0，‎ 故函数f（x）=ex+x的零点所在一个区间是 （﹣1，0），‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎4．三个数a=0.62，b=ln0.6，c=20.6之间的大小关系是（　　）‎ A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．b＜c＜a ‎【考点】对数值大小的比较．‎ ‎【分析】将a=0.62，c=20.6分别抽象为指数函数y=0.6x，y=2x之间所对应的函数值，利用它们的图象和性质比较，将b=ln0.6，抽象为对数函数y=lnx，利用其图象可知小于零．最后三者得到结论．‎ ‎【解答】解：由对数函数的性质可知：b=ln0.6＜0，‎ 由指数函数的性质可知：0＜a＜1，c＞1‎ ‎∴b＜a＜c 故选C ‎　‎ ‎5．为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：‎ 收入x （万元）‎ ‎8.2‎ ‎8.6‎ ‎10.0‎ ‎11.3‎ ‎11.9‎ 支出y （万元）‎ ‎6.2‎ ‎7.5‎ ‎8.0‎ ‎8.5‎ ‎9.8‎ 据上表得回归直线方程=x+，其中=0.76， =﹣，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为（　　）‎ A．11.4万元 B．11.8万元 C．12.0万元 D．12.2万元 ‎【考点】线性回归方程．‎ ‎【分析】由题意可得和 ‎，可得回归方程，把x=15代入方程求得y值即可．‎ ‎【解答】解：由题意可得=（8.2+8.6+10.0+11.3+11.9）=10，‎ ‎=（6.2+7.5+8.0+8.5+9.8）=8，‎ 代入回归方程可得═8﹣0.76×10=0.4，‎ ‎∴回归方程为=0.76x+0.4，‎ 把x=15代入方程可得y=0.76×15+0.4=11.8，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎6．在平面内，已知，则=（　　）‎ A．3 B． C． D．‎ ‎【考点】向量在几何中的应用；两向量的和或差的模的最值；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量数量积的运算．‎ ‎【分析】利用向量模平方等于向量的平方列出等式；利用向量的数量积公式用模夹角余弦表示数量积，求出向量的模．‎ ‎【解答】解：∵‎ ‎=1+2 +16=13‎ 故 ‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎7．设tanθ和tan（﹣θ）是方程x2+px+q=0的两个根，则p、q之间的关系是（　　）‎ A．p+q+1=0 B．p﹣q+1=0 C．p+q﹣1=0 D．p﹣q﹣1=0‎ ‎【考点】两角和与差的正切函数；一元二次方程的根的分布与系数的关系．‎ ‎【分析】因为tanθ和tan（﹣θ）是方程x2+px+q=0的两个根，则根据一元二次方程的根的分布与系数关系得到相加等于﹣p，相乘等于q，再根据两角差的正切公式找出之间的关系即可．‎ ‎【解答】解：因为tanθ和tan（﹣θ）是方程x2+px+q=0的两个根，‎ 得tanθ+tan（﹣θ）=﹣p，tanθtan（）=q 又因为1=tan[θ+（﹣θ）]= =，‎ 得到p﹣q+1=0‎ 故选B ‎　‎ ‎8．执行如图所示的程序框图，若输入n=10，则输出的S=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】循环结构．‎ ‎【分析】框图首先给累加变量S和循环变量i分别赋值0和2，在输入n的值为10后，对i的值域n的值大小加以判断，满足i≤n，‎ 执行，i=i+2，不满足则跳出循环，输出S．‎ ‎【解答】解：输入n的值为10，框图首先给累加变量S和循环变量i分别赋值0和2，‎ 判断2≤10成立，执行，i=2+2=4；‎ 判断4≤10成立，执行=，i=4+2=6；‎ 判断6≤10成立，执行，i=6+2=8；‎ 判断8≤10成立，执行，i=8+2=10；‎ 判断10≤10成立，执行，i=10+2=12；‎ 判断12≤10不成立，跳出循环，算法结束，输出S的值为．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎9．函数y=sin（ωx+φ）的部分图象如图，则ω，φ可以取的一组值是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．‎ ‎【分析】由图象可知T/4=3﹣1=2，可求出ω，再由最大值求出φ．‎ ‎【解答】解：∵=3﹣1=2，‎ ‎∴T=8，，‎ 又由 得．‎ 故选D ‎　‎ ‎10．已知各项不为0的等差数列{an}满足a4﹣2a72+3a8=0，数列{bn}是等比数列，且b7=a7，则b2b8b11等于（　　）‎ A．1 B．2 C．4 D．8‎ ‎【考点】等比数列的性质．‎ ‎【分析】由已知方程结合等差数列的性质求解a7，再利用等比数列的性质求解答案．‎ ‎【解答】解：∵数列{an}是各项不为0的等差数列，‎ 由a4﹣2+3a8=0，得，‎ ‎，，‎ ‎∴，解得：a7=2．‎ 则b7=a7=2．‎ 又数列{bn}是等比数列，‎ 则b2b8b11=．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎11．设f（x）为奇函数且在（﹣∞，0）上单调递减，f（﹣2）=0，则xf（x）＞0的解集为（　　）‎ A．（﹣2，0）∪（2，+∞） B．（﹣∞，﹣2）∪（0，2） C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） D．（﹣2，0）∪（0，2）‎ ‎【考点】奇偶性与单调性的综合．‎ ‎【分析】易判断f（x）在（﹣∞，0）上的单调性及f（x）图象所过特殊点，作出f（x）的草图，根据图象可解不等式．‎ ‎【解答】解：∵f（x）在R上是奇函数，且f（x）在（﹣∞，0）上递减，‎ ‎∴f（x）在（0，+∞）上递减，‎ 由f（﹣2）=0，得f（﹣2）=﹣f（2）=0，‎ 即f（2）=0，‎ 由f（﹣0）=﹣f（0），得f（0）=0，‎ 作出f（x）的草图，如图所示：‎ 由图象，得xf（x）＞0⇔或，‎ 解得﹣2＜x＜0或0＜x＜2，‎ ‎∴xf（x）＞0的解集为（﹣2，0）∪（0，2），‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎12．如图，点P从点O出发，分别按逆时针方向沿周长均为12的正三角形、正方形运动一周，O，P两点连线的距离y与点P走过的路程x的函数关系分别记为y=f（x），y=g（x），定义函数h（x）=，对于函数y=h（x），下列结论正确的个数是（　　）‎ ‎①h（4）=； ‎ ‎②函数h（x）的图象关于直线x=6对称；‎ ‎③函数h（x）值域为； ‎ ‎④函数h（x）增区间为（0，5）．‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】利用已知条件求出函数的解析式，通过函数值，函数图象的对称性，单调性判断选项即可．‎ ‎【解答】解：点P从点O出发，分别按逆时针方向沿周长均为12的正三角形、正方形运动一周，O，P两点连线的距离y与点P走过的路程x的函数关系分别记为y=f（x）=，‎ y=g（x）=，‎ ‎①∵函数h（x）=，f（4）=4，g（4）=∴h（4）=；∴①正确． ‎ ‎②函数h（x）的图象关于直线x=6对称；‎ ‎∵两个几何图形是正三角形与正方形，∴函数h（x）的图象关于直线x=6对称，正确．‎ ‎③函数h（x）值域为； g（x）∈[0.3]，f（x）∈[0，4]，‎ 由，解得x=5时，f（x）=g（x），此时g（5）=，‎ ‎∴③正确；‎ ‎④∵f（x）=，x∈（6，8），f（x）是增函数，并且 g（x）≥f（x），∴函数h（x）增区间为（0，5），（6，8）．∴④不正确．‎ 综上①②③正确．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ 二、填空题：（共4小题，每小题5分）‎ ‎13．已知不等式ax2+bx+1≥0的解集为{x|﹣5≤x≤1}，则a+b=　﹣1　．‎ ‎【考点】一元二次不等式的解法．‎ ‎【分析】由不等式的解集得到不等式所对应的方程的根，然后利用根与系数关系列式求出a，b的值，则答案可求．‎ ‎【解答】解：因为不等式ax2+bx+1≥0的解集为{x|﹣5≤x≤1}，‎ 所以方程ax2+bx+1=0的两个根为﹣5，1．‎ 则，解得．‎ 所以a+b=﹣1．‎ 故答案为﹣1．‎ ‎　‎ ‎14．在△ABC中，，则角A的值为　120°或60°　．‎ ‎【考点】正弦定理．‎ ‎【分析】由B的度数求出sinB的值，再由a与b的值，利用正弦定理即可求出sinA的值，然后根据A的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数．‎ ‎【解答】解：由B=30°，得到sinB=，又a=3，b=3，‎ 根据正弦定理=得：sinA===，‎ 又A为三角形的内角，所以A∈（0，180°），‎ 则角A的值为120°或60°．‎ 故答案为：120°或60°‎ ‎　‎ ‎15．如图所示，已知点G是△ABC的重心，过G作直线与AB、AC两边分别交于M、N两点，且，则的值为　　．‎ ‎【考点】平面向量的基本定理及其意义；向量的线性运算性质及几何意义．‎ ‎【分析】由G为三角形的重心得到，再结合，根据M，G，N三点共线，易得到x，y的关系式，即可得到结论．‎ ‎【解答】解：根据题意G为三角形的重心，‎ ‎∴，‎ ‎=，‎ ‎=，‎ 由于与共线，根据共线向量基本定理知，存在实数λ，使得=λ，‎ 即，‎ ‎∴，‎ 消去λ得x+y﹣3xy=0，‎ ‎∴x+y=3xy，‎ 即=．‎ ‎　‎ ‎16．在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，若∠B=∠C且7a2+b2+c2=4，则△ABC的面积的最大值为　　．‎ ‎【考点】余弦定理；正弦定理．‎ ‎【分析】由∠B=∠C得b=c，代入7a2+b2+c2=4化简，根据余弦定理求出cosC，由平方关系求出sinC，代入三角形面积公式求出表达式，由基本不等式即可求出三角形ABC面积的最大值．‎ ‎【解答】解：由∠B=∠C得b=c，代入7a2+b2+c2=4得，‎ ‎7a2+2b2=4，即2b2=4﹣7a2，‎ 由余弦定理得，cosC==，‎ 所以sinC===，‎ 则△ABC的面积S===a ‎==×≤××‎ ‎==，‎ 当且仅当15a2=8﹣15a2取等号，此时a2=，‎ 所以△ABC的面积的最大值为，‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ‎17．已知奇函数f（x）=．‎ ‎（1）求实数m的值，并在给出的直角坐标系中画出y=f（x）的图象；‎ ‎（2）若函数f（x）在区间[﹣1，a﹣2]上单调递增，试确定a的取值范围．‎ ‎【考点】函数图象的作法；函数单调性的性质．‎ ‎【分析】题干错误：（2）若函数f（x）在区间[﹣1，﹣2]上单调递增，应该是：（2）若函数f（x）在区间[﹣1，a﹣2]上单调递增 ‎（1）设x＜0，则﹣x＞0，可得f（﹣x）=﹣（﹣x）2+2（﹣x）=﹣x2﹣2x．再由f（﹣x）=﹣f（x），求得f（x）=x2+2x=x2+mx，从而求得m的值．‎ ‎（2）要使f（x）在[﹣1，a﹣2]上单调递增，结合f（x）的图象知，由此求得a的范围．‎ ‎【解答】解：（1）由于奇函数，设x＜0，则﹣x＞0，‎ 所以，f（﹣x）=﹣（﹣x）2+2（﹣x）=﹣x2﹣2x．‎ 又f（x）为奇函数，所以f（﹣x）=﹣f（x），‎ 于是x＜0时，f（x）=x2+2x=x2+mx，所以m=2，如图所示：‎ ‎（2）要使f（x）在[﹣1，a﹣2]上单调递增，‎ 结合f（x）的图象知，‎ 解得1＜a≤3，故实数a的取值范围是（1，3]．‎ ‎　‎ ‎18．已知函数f（x）=sincos﹣sin2‎ ‎（Ⅰ） 求f（x）的最小正周期；‎ ‎（Ⅱ）．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若f（2A）=0，且a=1求△ABC面积的最大值．‎ ‎【考点】三角函数的周期性及其求法；两角和与差的正弦函数．‎ ‎【分析】（Ⅰ）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式为f（x）=sin（x+）﹣，利用周期公式即可得解．‎ ‎（Ⅱ）由已知可求，结合A为锐角，可得，利用余弦定理，基本不等式可求，进而利用三角形面积公式即可得解．‎ ‎【解答】（本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）∵f（x）=sincos﹣sin2‎ ‎=sinx﹣=sin（x+）﹣，…‎ ‎∴f（x）的最小正周期为T==2π；…‎ ‎（Ⅱ）由，得，‎ 由题意知A为锐角，所以，可得：，…‎ 由余弦定理：，‎ 即，当且仅当b=c时等号成立，…‎ 因此，‎ 所以△ABC面积的最大值为．…‎ ‎　‎ ‎19．某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了50位市民，根据这50位市民对两部门的评分（评分越高表明市民的评价越高）绘制的茎叶图如图：‎ ‎（Ⅰ）分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数；‎ ‎（Ⅱ）分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率；‎ ‎（Ⅲ）根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价．‎ ‎【考点】古典概型及其概率计算公式；茎叶图；众数、中位数、平均数．‎ ‎【分析】（Ⅰ）根据茎叶图的知识，中位数是指中间的一个或两个的平均数，首先要排序，然后再找，‎ ‎（Ⅱ）利用样本来估计总体，只要求出样本的概率就可以了．‎ ‎（Ⅲ）根据（Ⅰ）（Ⅱ）的结果和茎叶图，合理的评价，恰当的描述即可．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由茎叶图知，50位市民对甲部门的评分有小到大顺序，排在排在第25，26位的是75，75，故样本的中位数是75，所以该市的市民对甲部门的评分的中位数的估计值是75．‎ ‎50位市民对乙部门的评分有小到大顺序，排在排在第25，26位的是66，68，故样本的中位数是=67，所以该市的市民对乙部门的评分的中位数的估计值是67．‎ ‎（Ⅱ）由茎叶图知，50位市民对甲、乙部门的评分高于90的比率分别为，‎ 故该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率得估计值分别为0.1，0.16，‎ ‎（Ⅲ）由茎叶图知，市民对甲部门的评分的中位数高于乙部门的评分的中位数，而且由茎叶图可以大致看出对甲部门的评分标准差要小于乙部门的标准差，说明该市市民对甲部门的评价较高、评价较为一致，对乙部门的评价较低、评价差异较大．‎ ‎　‎ ‎20．记数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，an+1=2Sn+1．已知数列{bn}满足bn﹣2=3log3an．‎ ‎（Ⅰ）求{an}和{bn}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设cn=an•bn，求数列{cn}的前n项和Tn．‎ ‎【考点】数列与函数的综合；数列的求和．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由an+1=2Sn+1，用n﹣1代替n得an=2Sn﹣1+1 （n≥2），用两式相减的方法再化简，得{an}是首项为1，公比为3的等比数列．得出{an}和的通项公式，代入bn﹣2=3log3an，即可得到{bn}的通项为bn=3n﹣1．‎ ‎（Ⅱ）cn表达式的形式是等差和等比对应项的积构成的，因此可以用错位相减法求{cn}的前n项和Tn，即先将等式的两边都乘以等比数列的公比，再将得到的新式子与原式相减，就可以化为利用等比数列求和公式的方法解出这个和．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由an+1=2Sn+1，得an=2Sn﹣1+1，（n≥2）‎ 两式相减，得an+1﹣an=2an，an+1=3an，（n≥2）‎ 又a2=2S1+1，∴a2=3a1．‎ 所以{an}是首项为1，公比为3的等比数列．‎ ‎∴an=3n﹣1．…‎ 又∵bn=3log3an+2=3log33n﹣1+2=3（n﹣1）+2=3n﹣1．‎ ‎∴bn=3n﹣1..…‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ），得cn=（3n﹣1）×3n﹣1..…‎ ‎∴Tn=2×1+5×31+8×32+…+（3n﹣4）×3n﹣2+（3n﹣1）×3n﹣1，…‎ ‎3Tn=2×3+5×32+8×33+…+（3n﹣4）×3n﹣1+（3n﹣1）×3n，‎ 两式相减，得：﹣2Tn=2+3×3+3×32+…+3×3n﹣1﹣（3n﹣1）×3n=，‎ ‎∴…‎ 应改为：﹣2Tn=2+3×3+3×32+…+3×3n﹣1﹣（3n﹣1）×3n=，‎ ‎∴…‎ ‎　‎ ‎21．现有8名奥运会志愿者，其中志愿者A1，A2，A3通晓日语，B1，B2，B3通晓俄语，C1，C2通晓韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组．‎ ‎（Ⅰ）求A1被选中的概率；‎ ‎（Ⅱ）求B1和C1不全被选中的概率．‎ ‎【考点】等可能事件的概率；互斥事件与对立事件．‎ ‎【分析】（Ⅰ）先用列举法，求出从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，所有一切可能的结果对应的基本事件总个数，再列出A1恰被选中这一事件对应的基本事件个数，然后代入古典概型公式，即可求解．‎ ‎（Ⅱ）我们可利用对立事件的减法公式进行求解，即求出“B1，C1不全被选中”的对立事件“B1，C1‎ 全被选中”的概率，然后代入对立事件概率减法公式，即可得到结果．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，‎ 其一切可能的结果组成的基本事件空间Ω={（A1，B1，C1），（A1，B1，C2），（A1，B2，C1），（A1，B2，C2），（A1，B3，C1），（A1，B3，C2），（A2，B1，C1），（A2，B1，C2），（A2，B2，C1），（A2，B2，C2），（A2，B3，C1），（A2，B3，C2），（A3，B1，C1），（A3，B1，C2），（A3，B2，C1），（A3，B2，C2），（A3，B3，C1），（A3，B3，C2）}‎ 由18个基本事件组成．由于每一个基本事件被抽取的机会均等，‎ 因此这些基本事件的发生是等可能的．‎ 用M表示“A1恰被选中”这一事件，则M={（A1，B1，C1），（A1，B1，C2），（A1，B2，C1），（A1，B2，C2），（A1，B3，C1），（A1，B3，C2）}‎ 事件M由6个基本事件组成，因而．‎ ‎（Ⅱ）用N表示“B1，C1不全被选中”这一事件，‎ 则其对立事件表示“B1，C1全被选中”这一事件，‎ 由于={（A1，B1，C1），（A2，B1，C1），（A3，B1，C1）}，事件有3个基本事件组成，‎ 所以，由对立事件的概率公式得．‎ ‎　‎ ‎22．已知二次函数f（x）=ax2+bx（a，b为常数且a≠0）满足条件f（﹣x+5）=f（x﹣3），且方程f（x）=x有两个相等的实数根．‎ ‎（1）求f（x）的解析式；‎ ‎（2）是否存在实数m，n （m＜n），使f（x）的定义域和值域分别是[m，n]和[2m，2n]？如果存在，求出m，n的值； 如果不存在，说明理由．‎ ‎【考点】二次函数的性质．‎ ‎【分析】（1）根据f（﹣x+5）=f（x﹣3）可以得到对称轴是x=1，再根据方程f（x）=x有两个相等的实数根，得到判别式等于0，列出方程组求出a，b，即可得答案．‎ ‎（2）求出函数的最大值，确定n≤，从而知当n≤时，f（x）在[m，n]上为增函数．若满足题设条件的m，n存在，则，从而可求m，n的值 ‎【解答】解：（1）∵f（﹣x+5）=f（x﹣3），‎ ‎∴对称轴是x=1，‎ 得到﹣=1 ①‎ ‎∵方程f（x）=x有两个相等的实数根，即ax2+（b﹣1）x=0有两个相等的实数根，‎ ‎∴△=（b﹣1）2=0，∴b=1，代入①，‎ 解得a=﹣，‎ ‎∴f（x）=﹣x2+x．‎ ‎（2）∵f（x）=﹣（x﹣1）2+≤，f（x）的定义域和值域分别为[m，n]和[2m，2n]，‎ ‎∴2n ‎∴n≤‎ 而f（x）的对称轴为x=1，‎ ‎∴当n≤时，f（x）在[m，n]上为增函数．‎ 若满足题设条件的m，n存在，则 即 ‎∴‎ ‎∵m＜n≤．‎ ‎∴m=﹣2，n=0，这时，定义域为[﹣2，0]，值域为[﹣4，0]．‎ 由以上知满足条件的m，n存在，m=﹣2，n=0．‎ ‎　‎