数学文卷·2018届山东省滨州市邹平双语学校（一二区）高二下学期期中考试（2017-04） 14页

班级：____________ 姓名：_____________ 考号：________________________‎ ‎ 邹平双语学校2016—2017第二学期期中考试 ‎(1，2区) 高二年级 数学（文科班）试题 ‎ （时间：120分钟，分值：150分）‎ 一．选择题（每题5分，共60分）‎ ‎1.已知x，y满足（1+i）+（2﹣3i）=a+bi，则a，b分别等于（　　）‎ A．3，﹣2 B．3，2 C．3，﹣3 D．﹣1，4‎ ‎2．点M的直角坐标（，﹣1）化成极坐标为（　　）‎ A．（2，） B．（2，） C．（2，） D．（2，）‎ ‎3．复数z满足z（1+i）=4，则复数z在复平面上对应的点与点（1，0）间的距离为（　　）‎ A．2 B． C．4 D．‎ ‎4．根据如表样本数据得到的回归方程为=bx+a，若a=5.4，则x每增加1个单位，y就（　　）‎ x ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ y ‎4‎ ‎2.5‎ ‎﹣0.5‎ ‎0.5‎ ‎﹣2‎ A．增加0.9个单位 B．减少0.9个单位 C．增加1个单位 D．减少1个单位 ‎5．已知数列{an}中，a1=1，an+1=（n∈N*），则可归纳猜想{an}的通项公式为（　　）‎ A．an= B．an= C．an= D．an=‎ ‎6．通过随机询问200名性别不同的大学生是否爱好踢毽子运动，计算得到统计量K2的观测值k≈4.892，参照附表，得到的正确结论是（　　）‎ P（K2≥k）‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ k ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ 第1页共2页 A．有97.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”‎ B．有97.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”‎ C．在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”‎ D．在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”‎ ‎7．方程x=0所表示的曲线是（　　）‎ A．两个点和两条射线 B．一条直线和一个圆 C．一个点和一个圆 D．两条射线和一个圆 ‎8．极坐标方程ρ=sinθ+cosθ表示的曲线是（　　）‎ A．直线 B．圆 C．椭圆 D．抛物线 ‎9．将正弦曲线y=sinx经过伸缩变换后得到曲线的方程的周期为（　　）‎ A． B．π C．2π D．3π ‎10．在极坐标系中，点到直线的距离为（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎11．已知点P的极坐标为（π，π），则过点P且垂直于极轴的直线的极坐标方程为（　　）‎ A．ρ=π B．ρ=cosθ C．ρ= D．ρ=‎ ‎12．在平面几何中，可以得出正确结论：“正三角形的内切圆半径等于这个正三角形的高的．”拓展到空间中，类比平面几何的上述结论，则正四面体的内切球半径等于这个正四面体的高的（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ 二．填空题（每小题5分，共20分）‎ ‎13.观察下列等式 据此规律，第n个等式可为　 　．‎ ‎14．已知x、y的取值如表：‎ x ‎0‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎4‎ y ‎2.2‎ ‎4.3‎ ‎4.8‎ ‎6.7‎ 若x、y具有线性相关关系，且回归方程为=0.95x+a，则a的值为　 　．‎ ‎15．将点的极坐标（2，）化为直角坐标为　　．‎ ‎16．将点的直角坐标（，）化为极坐标（ρ＞0，θ∈[0，2π））为　　．‎ 三．解答题（共70分）‎ ‎17．（10分）已知复数z=，若az+b=1﹣i，‎ ‎（1）求z与； ‎ ‎（2）求实数a，b的值．‎ ‎18．（12分）在极坐标系中，以点C（2，）为圆心，半径为3的圆C与直线l：θ=（ρ=R）交于A，B两点．‎ ‎（1）求圆C及直线l的普通方程．‎ ‎（2）求弦长|AB|． 第2页共2页 ‎19．（12分）已知曲线（φ为参数）．‎ ‎（Ⅰ）将C的参数方程化为普通方程；‎ ‎（Ⅱ）若点P（x，y）是曲线C上的动点，求x+y的取值范围．‎ ‎20．（12分）（1）在极坐标系中，已知圆ρ=2cosθ与直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切，求实数a的值．‎ ‎（2）在极坐标系中，求点P（2，）到直线ρsin（θ﹣）=1的距离．‎ ‎21．（12分）已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ．‎ ‎（1）把C1，C2的方程化成普通方程；‎ ‎（2）求C1与C2交点的极坐标（ρ＞0，O≤θ＜2π）．‎ ‎22．（12分）若对于正整数k，g（k）表示k的最大奇数因数，例如g（3）=3，g（10）=5．设Sn=g（1）+g（2）+g（3）+g（4）+…+g（2n）．‎ ‎（Ⅰ）求g（6），g（20）的值；‎ ‎（Ⅱ）求3S1﹣2，3S2﹣2，3S3﹣2的值；并由此猜想{Sn}的通项公式（不必证明）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一．选择题（共12小题）‎ ‎1．（2017春•武侯区校级月考）（文）已知x，y满足（1+i）+（2﹣3i）=a+bi，则a，b分别等于（　　）‎ A．3，﹣2 B．3，2 C．3，﹣3 D．﹣1，4‎ ‎【分析】利用复数的运算法则、复数相等即可得出．‎ ‎【解答】解：（1+i）+（2﹣3i）=a+bi，‎ ‎∴3﹣2i=a+bi，‎ ‎∴a=3，b=﹣2．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎2．（2016秋•武安市校级月考）点M的直角坐标（，﹣1）化成极坐标为（　　）‎ A．（2，） B．（2，） C．（2，） D．（2，）‎ ‎【分析】根据x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得极坐标．‎ ‎【解答】解：点M的直角坐标（，﹣1）‎ 由x=ρcosθ，y=ρsinθ，‎ ‎∴=ρcosθ，﹣1=ρsinθ，‎ 解得：ρ=2，θ=，‎ ‎∴极坐标为（2，）‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎3．（2017春•新华区校级月考）复数z满足z（1+i）=4，则复数z在复平面上对应的点与点（1，0）间的距离为（　　）‎ A．2 B． C．4 D．‎ ‎【分析】利用复数的运算法则、几何意义、两点之间的距离公式即可得出．‎ ‎【解答】解：z（1+i）=4，∴z（1+i）（1﹣i）=4（1﹣i），∴z=2﹣2i，‎ 则复数z在复平面上对应的点（2，﹣2）与点（1，0）间的距离==．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎4．（2017春•和平区校级月考）根据如表样本数据得到的回归方程为=bx+a，若a=5.4，则x每增加1个单位，y就（　　）‎ x ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ y ‎4‎ ‎2.5‎ ‎﹣0.5‎ ‎0.5‎ ‎﹣2‎ A．增加0.9个单位 B．减少0.9个单位 C．增加1个单位 D．减少1个单位 ‎【分析】由题意可得=5，=（4+2.5﹣0.5+0.5﹣2）=0.9，由回归直线过中心点，可得b值，即可得答案．‎ ‎【解答】解：由题意可得=5，=（4+2.5﹣0.5+0.5﹣2）=0.9，‎ ‎∵回归方程为=bx+a，若a=5.4，且回归直线过点（5，0.9），‎ ‎∴0.9=5b+5.4，解得b=﹣0.9，‎ ‎∴x每增加1个单位，y就减少0.9个单位，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎5．（2017春•小店区校级月考）已知数列{an}中，a1=1，an+1=（n∈N*），则可归纳猜想{an}的通项公式为（　　）‎ A．an= B．an= C．an= D．an=‎ ‎【分析】写出前几项，即可归纳猜想{an}的通项公式．‎ ‎【解答】解：∵a1=1，an+1=，‎ ‎∴a2=，a3==，‎ 归纳猜想{an}的通项公式为an=，‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎6．（2017春•汉阳区校级月考）通过随机询问200名性别不同的大学生是否爱好踢毽子运动，计算得到统计量K2的观测值k≈4.892，参照附表，得到的正确结论是（　　）‎ P（K2≥k）‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ k ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ A．有97.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”‎ B．有97.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”‎ C．在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”‎ D．在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”‎ ‎【分析】通过计算得到统计量值k2的观测值k，参照题目中的数值表，即可得出正确的结论．‎ ‎【解答】解：∵计算得到统计量值k2的观测值k≈4.892＞3.841，‎ 参照题目中的数值表，得到正确的结论是：‎ 在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“爱好该运动与性别有关”．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎7．（2016春•成都校级月考）方程x=0所表示的曲线是（　　）‎ A．两个点和两条射线 B．一条直线和一个圆 C．一个点和一个圆 D．两条射线和一个圆 ‎【分析】由，可得：2x2+2y2﹣3≥0，因此2x2+2y2﹣3=0，或，即可得出．‎ ‎【解答】解：由，可得：2x2+2y2﹣3≥0，‎ ‎∴2x2+2y2﹣3=0即，或，‎ 而表示圆，或，．‎ 因此方程x=0所表示的曲线是两条直线和一个圆．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎8．（2017春•武城县校级月考）极坐标方程ρ=sinθ+cosθ表示的曲线是（　　）‎ A．直线 B．圆 C．椭圆 D．抛物线 ‎【分析】极坐标方程ρ=sinθ+cosθ，即ρ2=ρ（sinθ+cosθ），利用互化公式代入即可得出．‎ ‎【解答】解：极坐标方程ρ=sinθ+cosθ，即ρ2=ρ（sinθ+cosθ），‎ 化为x2+y2=x+y，配方为：=，‎ 表示的曲线是以为圆心，为半径的圆．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎9．（2016春•双鸭山校级月考）将正弦曲线y=sinx经过伸缩变换后得到曲线的方程的周期为（　　）‎ A． B．π C．2π D．3π ‎【分析】根据坐标变换得出变换后的曲线解析式，利用周期公式得出．‎ ‎【解答】解：∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴=sin2x′，即y′=3sin2x′，‎ ‎∴变换后的曲线周期为=π．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎10．（2016春•准格尔旗校级月考）在极坐标系中，点到直线的距离为（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【分析】先求出点的直角坐标，直线的直角坐标方程，再利用点到直线的距离公式求得该点到直线的距离．‎ ‎【解答】解：点的直角坐标为（﹣，1），直线的直角坐标方程为x﹣y+8=0，‎ 点到直线的距离为=2，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎11．（2016春•邵阳校级月考）已知点P的极坐标为（π，π），则过点P且垂直于极轴的直线的极坐标方程为（　　）‎ A．ρ=π B．ρ=cosθ C．ρ= D．ρ=‎ ‎【分析】利用点P的直角坐标是（﹣π，0），过点P且垂直极轴所在直线的直线方程是x=﹣π，化为极坐标方程，得到答案．‎ ‎【解答】解：点P的直角坐标是（﹣π，0），‎ 则过点P且垂直极轴所在直线的直线方程是x=﹣π，‎ 化为极坐标方程为ρcosθ=﹣π，即ρ=，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎12．（2017春•南阳月考）在平面几何中，可以得出正确结论：“正三角形的内切圆半径等于这个正三角形的高的．”拓展到空间中，类比平面几何的上述结论，则正四面体的内切球半径等于这个正四面体的高的（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】平面图形类比空间图形，二维类比三维得到类比平面几何的结论，则正四面体的内切球半径等于这个正四面体高的，证明时连接球心与正四面体的四个顶点．把正四面体分成四个高为r的三棱锥，正四面体的体积，就是四个三棱锥的体积的和，求解即可．‎ ‎【解答】解：从平面图形类比空间图形，从二维类比三维，‎ 可得如下结论：正四面体的内切球半径等于这个正四面体高的．‎ 证明如下：球心到正四面体一个面的距离即球的半径r，连接球心与正四面体的四个顶点．‎ 把正四面体分成四个高为r的三棱锥，所以4×S•r=•S•h，r=h．‎ ‎（其中S为正四面体一个面的面积，h为正四面体的高）‎ 故选B．‎ ‎　‎ 二．填空题（共4小题）‎ ‎　13．（2017春•荆州区校级月考）观察下列等式 据此规律，第n个等式可为　1﹣+﹣+…+﹣=++…+　．‎ ‎【分析】根据等式，左边有2n项，右边第一项分母为n+1，最后一项分母为n+n=2n，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：根据等式，左边有2n项，右边第一项分母为n+1，最后一项分母为n+n=2n．‎ 据此规律，第n个等式可为1﹣+﹣+…+﹣=++…+．‎ 故答案为：1﹣+﹣+…+﹣=++…+．‎ ‎　‎ ‎14．（2017春•安平县校级月考）已知x、y的取值如表：‎ x ‎0‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎4‎ y ‎2.2‎ ‎4.3‎ ‎4.8‎ ‎6.7‎ 若x、y具有线性相关关系，且回归方程为=0.95x+a，则a的值为　2.6　．‎ ‎【分析】求出样本中心点，代入=0.95x+a，可得a的值．‎ ‎【解答】解：由题意，=（0+1+3+4）=2，=（2.2+4.3+4.8+6.7）=4.5‎ 代入=0.95x+a，可得4.5=0.95×2+a，‎ ‎∴a=2.6．‎ 故答案为：2.6．‎ ‎　‎ ‎15．（2016春•常德校级月考）将点的极坐标（2，）化为直角坐标为　（，1）　．‎ ‎【分析】直接利用极坐标与直角坐标的互化求解即可．‎ ‎【解答】解：将点的极坐标（2，）化为直角坐标为（2cos，2sin），即（，1）．‎ 故答案为：（，1）．‎ ‎　‎ ‎16．（2014秋•金凤区校级月考）将点的直角坐标（，）化为极坐标（ρ＞0，θ∈[0，2π））为　　．‎ ‎【分析】利用，，及点所在的象限即可得出．‎ ‎【解答】解：=π．‎ ‎=，‎ ‎∵点的直角坐标为（，）在第四象限，‎ ‎∴．‎ ‎∴此点的极坐标为．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ 三．解答题（共6小题）‎ ‎17．（2017春•兴庆区校级月考）已知复数z=，若az+b=1﹣i，‎ ‎（1）求z与； ‎ ‎（2）求实数a，b的值．‎ ‎【分析】（1）利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．‎ ‎（2）利用复数的运算法则、复数相等即可得出．‎ ‎【解答】解：（1）z====，‎ ‎∴； ．‎ ‎（2）az+b=1﹣i，‎ ‎∴a+b=1，﹣a=﹣1，‎ 解得．‎ ‎　‎ ‎18．（2017春•西陵区校级月考）在极坐标系中，以点C（2，）为圆心，半径为3的圆C与直线l：θ=（ρ=R）交于A，B两点．‎ ‎（1）求圆C及直线l的普通方程．‎ ‎（2）求弦长|AB|．‎ ‎【分析】（1）先求出C（0，2），由此能求出圆C的普通方程，由l过原点，倾斜角为，能求出直线l的普通方程．‎ ‎（2）先求出圆心C（0，2）到直线l的距离为d=1，由此能求出|AB|．‎ ‎【解答】（本小题满分10分）选修4﹣4：坐标系与参数方程 解：（1）∵圆C以点C（2，）为圆心，半径为3，‎ ‎∴C（0，2）‎ ‎∴圆C的普通方程为x2+（y﹣2）2=9．…．（4分）‎ ‎∵l过原点，倾斜角为，∴直线l的普通方程为y=，即．…．（6分）‎ ‎（2）∵圆心C（0，2）到直线l的距离为d==1，‎ ‎∴|AB|=2=4．…．（10分）‎ ‎　‎ ‎19．（2016春•衡水校级月考）已知曲线（φ为参数）．‎ ‎（Ⅰ）将C的参数方程化为普通方程；‎ ‎（Ⅱ）若点P（x，y）是曲线C上的动点，求x+y的取值范围．‎ ‎【分析】（Ⅰ）根据平方和等于1消去参数得到普通方程；‎ ‎（Ⅱ）把参数方程代入x+y得到关于θ的三角函数，根据三角函数的性质求出最值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵（φ为参数），∴曲线C的普通方程为=1．‎ ‎（Ⅱ）∵x+y=4cosθ+3sinθ=5sin（φ+θ）（tanφ=）．‎ ‎∴当sin（φ+θ）=1时，x+y取得最大值5，‎ 当sin（φ+θ）=﹣1时，x+y取得最小值﹣5．‎ ‎∴x+y的取值范围是[﹣5，5]．‎ ‎　‎ ‎20．（2013春•东河区校级月考）（1）在极坐标系中，已知圆ρ=2cosθ与直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切，求实数a的值．‎ ‎（2）在极坐标系中，求点P（2，）到直线ρsin（θ﹣）=1的距离．‎ ‎【分析】（1）把极坐标化为直角坐标，利用直线与圆相切的性质即可得出；‎ ‎（2）把极坐标化为直角坐标、点到直线的距离公式即可得出．‎ ‎【解答】解：（1）圆ρ=2cosθ化为ρ2=2ρcosθ，可得x2+y2=2x，化为（x﹣1）2+y2=1．圆心为（1，0），半径r=1．‎ 直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0化为3x+4y+a=0，∵直线与圆相切可得：=1，解得a=2或﹣8．‎ ‎（2）点P（2，），=2=，y=2=﹣1，P．‎ 直线ρsin（θ﹣）=1化为=1，，化为x﹣+2=0．‎ ‎∴点P到直线的距离d==+1．‎ ‎　‎ ‎21．（2013秋•银川校级月考）已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ．‎ ‎（1）把C1，C2的方程化成普通方程；‎ ‎（2）求C1与C2交点的极坐标（ρ＞0，O≤θ＜2π）．‎ ‎【分析】（1）把给出的参数方程移项后两边平方作和即可化为普通方程；把给出的极坐标方程 两边同时乘以ρ，利用ρ2=x2+y2，ρsinθ=y即可化极坐标方程为普通方程；‎ ‎（2）联立方程组求解交点的直角坐标，然后直接化为极坐标．‎ ‎【解答】解：（1）由，得，平方作和得（x﹣4）2+（y﹣5）2=25．‎ 由ρ=2sinθ，得ρ2=2ρsinθ，即x2+y2﹣2y=0．‎ ‎∴C1的普通方程为（x﹣4）2+（y﹣5）2=25，‎ C2的普通方程为x2+y2﹣2y=0；‎ ‎（2）联立，解得：或．‎ ‎∴C1与C2交点的坐标为（0，2），（1，1）．‎ 化极坐标为：（2，），（）．‎ ‎　‎ ‎22．（2013春•南湖区校级月考）若对于正整数k，g（k）表示k的最大奇数因数，例如g（3）=3，g（10）=5．设Sn=g（1）+g（2）+g（3）+g（4）+…+g（2n）．‎ ‎（Ⅰ）求g（6），g（20）的值；‎ ‎（Ⅱ）求3S1﹣2，3S2﹣2，3S3﹣2的值；并由此猜想{Sn}的通项公式（不必证明）‎ ‎【分析】（Ⅰ）由题意，g（6）=3，g（10）=5，‎ ‎（Ⅱ）由题意，仿照数列通项公式求法解决．‎ ‎【解答】解：Ⅰ）由题意，g（6）=3，g（10）=5，‎ ‎（Ⅱ）3S1﹣2=3g（1）﹣2=1，‎ ‎3S2﹣2=3[g（1）+g（2）+g（3）+g（4）]﹣2=3×6﹣2=16‎ ‎3S3﹣2=3[g（1）+g（2）+g（3）+g（4）+…+g（8）]﹣2=3×21﹣2=60‎ 所以对n∈N*，猜想Sn=（4n+2）‎