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- 2021-06-20 发布
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第2章 2.2.1
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.若方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆,则实数m的取值范围是( )
A.-9<m<25 B.8<m<25
C.16<m<25 D.m>8
解析: 依题意有,解得8<m<25,
即实数m的取值范围是8<m<25,故选B.
答案: B
2.已知椭圆的焦点为(-1,0)和(1,0),点P(2,0)在椭圆上,则椭圆的方程为( )
A.+=1 B.+y2=1
C.+=1 D.+x2=1
解析: c=1,a=2,∴b2=a2-c2=3.
∴椭圆的方程为+=1.
答案: A
3.已知(0,-4)是椭圆3kx2+ky2=1的一个焦点,则实数k的值是( )
A.6 B.
C.24 D.
解析: ∵3kx2+ky2=1,
∴+=1.
又∵(0,-4)是椭圆的一个焦点,
∴a2=,b2=,c2=a2-b2=-==16,∴k=.
答案: D
4.椭圆+=1的焦点为F1,F2,P为椭圆上的一点,已知·=0,则△F1PF2的面积为( )
A.12 B.10
C.9 D.8
解析: ∵·=0,∴PF1⊥PF2.
∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2且|PF1|+|PF2|=2a.
又a=5,b=3,∴c=4,
∴
②2-①,得2|PF1|·|PF2|=102-64,
∴|PF1|·|PF2|=18,
∴△F1PF2的面积为9.
答案: C
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.椭圆+=1的焦点为F1,F2,点P在椭圆上,若|PF1|=4,则|PF2|=________;∠F1PF2的大小为________.
解析: 由椭圆标准方程得a=3,b=,
则c==,|F1F2|=2c=2.
由椭圆的定义得|PF2|=2a-|PF1|=2.
在△F1PF2中,由余弦定理得
cos∠F1PF2=
==-,
所以∠F1PF2=120°.
答案: 2 120°
6.若点O和点F分别为椭圆+=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则·的最大值为________.
解析: 椭圆的左焦点F为(-1,0),设P(x,y),
则+=1,
·=(x,y)·(x+1,y)=x(x+1)+y2
=x2+x+3
=(x+2)2+2
∵-2≤x≤2,∴当x=2时,·有最大值6.
答案: 6
三、解答题(每小题10分,共20分)
7.求适合下列条件的椭圆的标准方程:
(1)焦点在x轴上,且经过点(2,0)和点(0,1);
(2)焦点在y轴上,与y轴的一个交点为P(0,-10),P到它较近的一个焦点的距离等于2.
解析: (1)因为椭圆的焦点在x轴上,
所以可设它的标准方程为+=1(a>b>0),
∵椭圆经过点(2,0)和(0,1)
∴,∴,
故所求椭圆的标准方程为+y2=1.
(2)∵椭圆的焦点在y轴上,所以可设它的标准方程为
+=1(a>b>0),
∵P(0,-10)在椭圆上,∴a=10.
又∵P到它较近的一个焦点的距离等于2,
∴-c-(-10)=2,故c=8,∴b2=a2-c2=36.
∴所求椭圆的标准方程是+=1.
8.已知圆x2+y2=9,从这个圆上任意一点P向x轴作垂线段PP′,点M在PP′上,并且=2,求点M的轨迹.
解析: 设点M的坐标为(x,y),点P的坐标为(x0,y0),则x0=x,y0=3y.
因为P(x0,y0)在圆x2+y2=9上,
所以x+y=9.
将x0=x,y0=3y代入,得x2+9y2=9,
即+y2=1.
所以点M的轨迹是一个椭圆.
尖子生题库☆☆☆
9.(10分)已知椭圆的中心在原点,两焦点F1,F2在x轴上,且过点A(-4,3).若F1A⊥F2A,求椭圆的标准方程.
解析: 设所求椭圆的标准方程为+=1(a>b>0).
设焦点F1(-c,0),F2(c,0).
∵F1A⊥F2A,∴·=0,
而=(-4+c,3),=(-4-c,3),
∴(-4+c)·(-4-c)+32=0,
∴c2=25,即c=5.
∴F1(-5,0),F2(5,0).
∴2a=|AF1|+|AF2|=+=+=4.
∴a=2,
∴b2=a2-c2=(2)2-52=15.
∴所求椭圆的标准方程为+=1.