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  • 2021-06-20 发布

2012高中数学 2_2_1课时同步练习 新人教A版选修2-1

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第2章 ‎‎2.2.1‎ 一、选择题(每小题5分,共20分)‎ ‎1.若方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆,则实数m的取值范围是(  )‎ A.-9<m<25        B.8<m<25‎ C.16<m<25 D.m>8‎ 解析: 依题意有,解得8<m<25,‎ 即实数m的取值范围是8<m<25,故选B.‎ 答案: B ‎2.已知椭圆的焦点为(-1,0)和(1,0),点P(2,0)在椭圆上,则椭圆的方程为(  )‎ A.+=1 B.+y2=1‎ C.+=1 D.+x2=1‎ 解析: c=1,a=2,∴b2=a2-c2=3.‎ ‎∴椭圆的方程为+=1.‎ 答案: A ‎3.已知(0,-4)是椭圆3kx2+ky2=1的一个焦点,则实数k的值是(  )‎ A.6 B. C.24 D. 解析: ∵3kx2+ky2=1,‎ ‎∴+=1.‎ 又∵(0,-4)是椭圆的一个焦点,‎ ‎∴a2=,b2=,c2=a2-b2=-==16,∴k=.‎ 答案: D ‎4.椭圆+=1的焦点为F1,F2,P为椭圆上的一点,已知·=0,则△F1PF2的面积为(  )‎ A.12 B.10‎ C.9 D.8‎ 解析: ∵·=0,∴PF1⊥PF2.‎ ‎∴|PF1|2+|PF2|2=|F‎1F2|2且|PF1|+|PF2|=‎2a.‎ 又a=5,b=3,∴c=4,‎ ‎∴ ‎②2-①,得2|PF1|·|PF2|=102-64,‎ ‎∴|PF1|·|PF2|=18,‎ ‎∴△F1PF2的面积为9.‎ 答案: C 二、填空题(每小题5分,共10分)‎ ‎5.椭圆+=1的焦点为F1,F2,点P在椭圆上,若|PF1|=4,则|PF2|=________;∠F1PF2的大小为________.‎ 解析: 由椭圆标准方程得a=3,b=,‎ 则c==,|F‎1F2|=‎2c=2.‎ 由椭圆的定义得|PF2|=‎2a-|PF1|=2.‎ 在△F1PF2中,由余弦定理得 cos∠F1PF2= ‎==-,‎ 所以∠F1PF2=120°.‎ 答案: 2 120°‎ ‎6.若点O和点F分别为椭圆+=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则·的最大值为________.‎ 解析: 椭圆的左焦点F为(-1,0),设P(x,y),‎ 则+=1,‎ ·=(x,y)·(x+1,y)=x(x+1)+y2‎ ‎=x2+x+3‎ ‎=(x+2)2+2‎ ‎∵-2≤x≤2,∴当x=2时,·有最大值6.‎ 答案: 6‎ 三、解答题(每小题10分,共20分)‎ ‎7.求适合下列条件的椭圆的标准方程:‎ ‎(1)焦点在x轴上,且经过点(2,0)和点(0,1);‎ ‎(2)焦点在y轴上,与y轴的一个交点为P(0,-10),P到它较近的一个焦点的距离等于2.‎ 解析: (1)因为椭圆的焦点在x轴上,‎ 所以可设它的标准方程为+=1(a>b>0),‎ ‎∵椭圆经过点(2,0)和(0,1)‎ ‎∴,∴,‎ 故所求椭圆的标准方程为+y2=1.‎ ‎(2)∵椭圆的焦点在y轴上,所以可设它的标准方程为 +=1(a>b>0),‎ ‎∵P(0,-10)在椭圆上,∴a=10.‎ 又∵P到它较近的一个焦点的距离等于2,‎ ‎∴-c-(-10)=2,故c=8,∴b2=a2-c2=36.‎ ‎∴所求椭圆的标准方程是+=1.‎ ‎8.已知圆x2+y2=9,从这个圆上任意一点P向x轴作垂线段PP′,点M在PP′上,并且=2,求点M的轨迹.‎ 解析: 设点M的坐标为(x,y),点P的坐标为(x0,y0),则x0=x,y0=3y.‎ 因为P(x0,y0)在圆x2+y2=9上,‎ 所以x+y=9.‎ 将x0=x,y0=3y代入,得x2+9y2=9,‎ 即+y2=1.‎ 所以点M的轨迹是一个椭圆.‎ 尖子生题库☆☆☆‎ ‎9.(10分)已知椭圆的中心在原点,两焦点F1,F2在x轴上,且过点A(-4,3).若F‎1A⊥F‎2A,求椭圆的标准方程.‎ 解析: 设所求椭圆的标准方程为+=1(a>b>0).‎ 设焦点F1(-c,0),F2(c,0).‎ ‎∵F‎1A⊥F‎2A,∴·=0,‎ 而=(-4+c,3),=(-4-c,3),‎ ‎∴(-4+c)·(-4-c)+32=0,‎ ‎∴c2=25,即c=5.‎ ‎∴F1(-5,0),F2(5,0).‎ ‎∴‎2a=|AF1|+|AF2|=+=+=4.‎ ‎∴a=2,‎ ‎∴b2=a2-c2=(2)2-52=15.‎ ‎∴所求椭圆的标准方程为+=1.‎ ‎ ‎

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