2021版高考数学一轮复习核心素养测评三十基本不等式苏教版 7页

核心素养测评三十 基本不等式 ‎(25分钟　50分)‎ 一、选择题(每小题5分,共35分)‎ ‎1.若mn=1,其中m>0,则m+3n的最小值等于 (　　)‎ A.2 B.2 C.2 D.‎ ‎【解析】选C.因为mn=1,其中m>0,所以n>0,‎ 所以m+3n≥2=2,当且仅当m=,n=时取等号,所以m+3n的最小值等于2.‎ ‎2.(2020·宿迁模拟)已知函数y=x-4+(x>-1),当x=a时,y取得最小值b,则‎2a+3b等于 (　　)‎ A.9　 B.7　 C.5　　 D.3‎ ‎【解析】选B.因为x>-1,所以x+1>0,‎ 所以y=x-4+=x+1+-5≥‎ ‎2-5=1,当且仅当x+1=,即x=2时取等号,‎ 所以y取得最小值b=1,此时x=a=2,所以‎2a+3b=7.‎ ‎3.(多选)若log2x+log2y=1,则2x+y可以取的值为 (　　)‎ A.2 B‎.3 ‎ C.4 D.5‎ ‎【解析】选CD.因为log2x+log2y=1,‎ 所以log2(xy)=1,所以xy=2,所以2x+y≥2=4,当且仅当2x=y,即x=1,y=2时取等号.所以2x+y的最小值为4.故选CD.‎ ‎4.(2019·温州模拟)若ab>0,则的最小值为 (　　)‎ - 7 -‎ A.2 B. C.3 D.2‎ ‎【解析】选A.因为ab>0,所以=+‎ ‎≥2=2,当且仅当=,即a=b时取等号.‎ ‎5.若a,b都是正数,且a+b=1,则(a+1)(b+1)的最大值为 (　　)‎ A.　 B‎.2　‎ C.　 D.4‎ ‎【解析】选C.由题意可知(a+1)(b+1)≤==,当且仅当a=b=时取等号.‎ ‎6.(2020·滨州模拟)已知a>0,b>0,‎4a+b=2,则+的最小值是 (　　)‎ A.4　　 B.　　 C.5　　　 D.9‎ ‎【解析】选B.因为a>0,b>0,‎4a+b=2,‎ 所以+=(‎4a+b)‎ ‎=‎ ‎≥=,‎ 当且仅当=,即a=,b=时取等号.‎ ‎7.已知非负数x,y满足xy+y2=1,则x+2y的最小值是 (　　)‎ - 7 -‎ A. B.2 C. D.-‎ ‎【解析】选B.已知非负数x,y满足xy+y2=1,则有:y(x+y)=1,由已知可得:y≠0,由y>0,x为非负数,‎ 当x=0时,y=1,则x+2y=2;‎ 当x≠0时,y>0,x+y>0,‎ 则x+2y=y+(x+y)≥2=2,当且仅当y=x+y时取等号.即x=0,y=1时取等号.‎ 二、填空题(每小题5分,共15分)‎ ‎8.某公司购买一批机器投入生产,据市场分析,每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位:万元)与机器运转时间x(单位:年)的关系式为y=-x2+18x-25(x∈N*),则当每台机器运转________年时,年平均利润最大,最大值是________万元. ‎ ‎【解析】每台机器运转x年的年平均利润为=18-,而x>0,故≤18-2=8,当且仅当x=5时等号成立,此时年平均利润最大,最大值为8万元.‎ 答案:5　8‎ ‎9.已知a>b>0,则a2+的最小值是________.  ‎ ‎【解析】因为a>b>0,所以b(a-b)≤=,‎ 当且仅当a=2b时等号成立.‎ 所以a2+≥a2+=a2+≥2=16,‎ 当且仅当a=2时等号成立.‎ 所以当a=2,b=时,a2+取得最小值16.‎ 答案:16‎ - 7 -‎ ‎10.(2019·徐州模拟)函数y=(x<1)的最大值为________,此时x的值为________.  ‎ ‎【解析】函数y==‎ ‎=x+1+=(x-1)++2 (x<1),‎ 因为(1-x)+≥2,当且仅当x=0时,取等号,所以(x-1)+≤-2,当且仅当x=0时,取等号.‎ 故函数y=的最大值为0.‎ 答案:0　0‎ ‎(15分钟　25分)‎ ‎1.(5分)(多选)设a>0,b>0,则下列不等式中一定成立的是 (　　)‎ A.a+b+≥2 B.≥‎ C.≥a+b D.(a+b)≥4‎ ‎【解析】选ACD.因为a>0,b>0,‎ 所以a+b+≥2+≥2,当且仅当a=b且2=,即a=b=时取等号,故A成立;‎ 因为a+b≥2>0,所以≤,‎ 当且仅当a=b时取等号,‎ - 7 -‎ 所以≥不一定成立,故B不成立,‎ 因为≤=,当且仅当a=b时取等号,‎ ‎==a+b-≥2-,当且仅当a=b时取等号,‎ 所以≥,所以≥a+b,故C一定成立,因为(a+b)=2++≥4,‎ 当且仅当a=b时取等号,故D一定成立.‎ ‎2.(5分)正数a,b满足+=1,若不等式a+b≥-x2+4x+18-m对任意实数x恒成立,则实数m的取值范围是 (　　)‎ A.[3,+∞) B.(-∞,3]‎ C.(-∞,6] D.[6,+∞)‎ ‎【解析】选D.因为a>0,b>0,+=1,‎ 所以a+b=(a+b)=10++≥16,‎ 当且仅当=,即a=4,b=12时取等号.‎ 依题意,16≥-x2+4x+18-m,‎ 即x2-4x-2≥-m对任意实数x恒成立.‎ 又x2-4x-2=(x-2)2-6,‎ 所以x2-4x-2的最小值为-6,所以-6≥-m,即m≥6.‎ - 7 -‎ ‎3.(5分)(2019·聊城模拟)已知两圆x2+y2+4ax+‎4a2-4=0和x2+y2-2by+b2-1=0恰有三条公切线,若a∈R,b∈R,且ab≠0,则+的最小值为 (　　)‎ A.3 B.1 C. D.‎ ‎【解析】选B.由题意得两圆相外切,两圆的标准方程分别为(x+‎2a)2+y2=4,x2+(y-b)2=1,圆心分别为(-‎2a,0),(0,b),半径分别为2和1,‎ 所以=3,所以‎4a2+b2=9,‎ 所以+=×=++≥+=1.‎ 当且仅当=时,等号成立,‎ 所以+的最小值为1.‎ ‎4.(5分)已知正数x,y满足x+y=5,则+的最小值为________.  ‎ ‎【解析】正数x,y满足x+y=5,所以(x+1)+(y+2)=8,‎ 则+=[(x+1)+(y+2)]+=‎ ‎≥=,‎ 当且仅当x+1=y+2,即x=3,y=2时,上式取得最小值.‎ 答案:‎ - 7 -‎ ‎5.(5分)(2020·朝阳模拟)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a2+b2+ab=c2,且△ABC的面积为c,则ab的最小值为________.  ‎ ‎【解析】在△ABC中,a2+b2+ab=c2,结合余弦定理a2+b2-2abcos C=c2,‎ 可得cos C=- ,所以sin C=.‎ 由三角形面积公式,可得c=absin C代入化简可得c=,‎ 代入a2+b2+ab=c2中可得a2+b2=-ab,‎ 因为a2+b2≥2ab,所以-ab≥2ab,解不等式可得ab≥48,‎ 所以ab的最小值为48.‎ 答案:48‎ - 7 -‎