高二数学人教A版选修4-5 1-1-2基本不等式导学案x 5页

‎1.1.2 基本不等式 预习案 一、预习目标及范围 ‎1．了解两个正数的算术平均数与几何平均数．‎ ‎2．理解定理1和定理2(基本不等式)．‎ ‎3．掌握用基本不等式求一些函数的最值及实际的应用问题．‎ 二、预习要点 教材整理1　两个定理及算数平均与几何平均 ‎1．两个定理 定理 内容 等号成立的条件 定理1‎ a2＋b2≥ (a，b∈R)‎ 当且仅当 时，等号成立 定理2‎ ≥ (a，b＞0)‎ 当且仅当 时，等号成立 ‎2.算术平均与几何平均 如果a，b都是正数，我们称 为a，b的算术平均， 为a，b的几何平均．‎ 教材整理2　利用基本不等式求最值 已知x，y为正数，x＋y＝S，xy＝P，则 ‎(1)如果P是 ，那么当且仅当 时，S取得最小值 ；‎ ‎(2)如果S是 ，那么当且仅当x＝y时，P取得最大值 .‎ 三、预习检测 ‎1．下列不等式中，正确的个数是(　　)‎ ‎①若a，b∈R，则≥；‎ ‎②若x∈R，则x2＋2＋≥2；‎ ‎③若x∈R，则x2＋1＋≥2；‎ ‎④若a，b为正实数，则≥.‎ A．0 B．1 C．2 D.3‎ ‎2．若x≠0，则f(x)＝2－3x2－的最大值是________，取得最值时x的值是________.‎ ‎3．已知a，b是正数，求证：‎ ‎(1)≥；‎ ‎(2)≥.‎ 探究案 一、合作探究 题型一、利用基本不等式证明不等式 例1已知a，b，c都是正数，求证：＋＋≥a＋b＋c.‎ ‎【精彩点拨】　观察不等号两边差异，利用基本不等式来构造关系．‎ ‎[再练一题]‎ ‎1．已知x，y，z均为正数，求证：＋＋≥＋＋.‎ 题型二、利用基本不等式求最值 例2设x，y，z均是正数，x－2y＋3z＝0，则的最小值为________．‎ ‎【精彩点拨】　由条件表示y，代入到中，变形为能运用基本不等式求最值的形式，求出最小值，但要注意等号取到的条件．‎ ‎[再练一题]‎ ‎2．已知x>0，y>0，且＋＝1，试求x＋y的最小值.‎ 题型三、基本不等式的实际应用 例3某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2016年里约热内卢奥运会期间进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销售量x万件与年促销费t万元之间满足3－x与t＋1成反比例的关系，如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件．已知2016年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件化妆品需要投入32万元的生产费用，若将每件化妆品的售价定为其生产成本的150%与平均每件促销费的一半之和，则当年生产的化妆品正好能销完．‎ ‎(1)若计划2016年生产的化妆品正好能销售完，试将2016年的利润y(万元)表示为促销费t(万元)的函数；‎ ‎(2)该企业2016年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？‎ ‎【精彩点拨】　(1)两个基本关系式是解答关键，即利润＝销售收入－生产成本－促销费；生产成本＝固定费用＋生产费用；‎ ‎(2)表示出题中的所有已知量和未知量，利用它们之间的关系式列出函数表达式．利用基本不等式求最值．‎ ‎[再练一题]‎ ‎3．如图所示，为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽为2 m的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长度为a m，高度为b m，已知流出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比，现有制箱材料60 m2，问当a，b各为多长时，沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A，B孔的面积忽略不计)?‎ 题型四、基本不等式的理解与判定 例4命题：①任意x>0，lg x＋≥2；②任意x∈R，ax＋≥2；③任意x∈，tan x＋≥2；④任意x∈R，sin x＋≥2.‎ 其中真命题有(　　)‎ A．③ B．③④ C．②③ D.①②③④‎ ‎【精彩点拨】　按基本不等式成立的条件进行判定．‎ ‎[再练一题]‎ ‎4．若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是(　　)‎ A．a2＋b2>2ab B．a＋b≥2 C.＋> D.＋≥2‎ 二、随堂检测 ‎1．下列结论中不正确的是(　　)‎ A．a＞0时，a＋≥2 B.＋≥2‎ C．a2＋b2≥2ab D.a2＋b2≥ ‎【解析】　选项A，C显然正确；选项D中，2(a2＋b2)－(a＋b)2＝a2＋b2－2ab≥0，∴a2＋b2≥成立；而选项B中，＋≥2不成立，因为若ab＜0，则不满足不等式成立的条件．‎ ‎【答案】　B ‎2．下列各式中，最小值等于2的是(　　)‎ A.＋ B. C．tan θ＋ D.2x＋2－x ‎【解析】　∵2x＞0,2－x＞0，∴2x＋2－x≥2＝2，当且仅当2x＝2－x，即x＝0时，等号成立．故选D.‎ ‎【答案】　D ‎3．已知＋＝1(x>0，y>0)，则xy的最小值是(　　)‎ A．15 B．6 C．60 D.1‎ ‎【解析】　∵＋≥2(当且仅当x＝10，y＝6时，取等号)，‎ ‎∴2≤1，∴xy≥60，‎ 故xy的最小值为60.‎ ‎【答案】　C 参考答案 预习检测：‎ ‎1.【解析】　显然①不正确；③正确；对于②，虽然x2＋2＝无解，但x2＋2＋＞2成立，故②正确；‎ ‎④不正确，如a＝1，b＝4.‎ ‎【答案】　C ‎2.【解析】　f(x)＝2－3≤2－3×4＝－10，‎ 当且仅当x2＝，即x＝±时取等号．‎ ‎【答案】　－10　± ‎3.【证明】　(1)左边＝≥＝＝＝右边，原不等式成立．‎ ‎(2)右边＝≤＝＝左边，‎ 原不等式成立．‎ 随堂检测：‎ ‎1.【解析】　选项A，C显然正确；选项D中，2(a2＋b2)－(a＋b)2＝a2＋b2－2ab≥0，∴a2＋b2≥成立；而选项B中，＋≥2不成立，因为若ab＜0，则不满足不等式成立的条件．‎ ‎【答案】　B ‎2.【解析】　∵2x＞0,2－x＞0，∴2x＋2－x≥2＝2，当且仅当2x＝2－x，即x＝0时，等号成立．故选D.‎ ‎【答案】　D ‎3.【解析】　∵＋≥2(当且仅当x＝10，y＝6时，取等号)，‎ ‎∴2≤1，∴xy≥60，‎ 故xy的最小值为60.‎ ‎【答案】　C