专题20+不等式选讲-2017年高考数学（理）备考学易黄金易错点 13页

‎1．已知函数f(x)＝＋，M为不等式f(x)<2的解集．‎ ‎(1)求M；‎ ‎(2)证明：当a，b∈M时，|a＋b|<|1＋ab|.‎ ‎(1)解　f(x)＝ 从而(a＋b)2－(1＋ab)2＝a2＋b2－a2b2－1＝(a2－1)(1－b2)<0，即(a＋b)2<(1＋ab)2，因此|a＋b|<|1＋ab|.‎ ‎2．已知函数f(x)＝|x＋1|－2|x－a|，a>0.‎ ‎(1)当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集；‎ ‎(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．‎ 解　(1)当a＝1时，f(x)>1化为|x＋1|－2|x－1|－1>0.‎ 当x≤－1时，不等式化为x－4>0，无解；‎ 当－10，解得0，解得1≤x<2.‎ 所以f(x)>1的解集为.‎ ‎(2)由题设可得，f(x)＝ 所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A，B(2a＋1,0)，C(a，a＋1)，‎ ‎△ABC的面积为(a＋1)2.‎ 由题设得(a＋1)2>6，故a>2.‎ 所以a的取值范围为(2，＋∞)．‎ ‎3．解不等式|x＋3|－|2x－1|<＋1.‎ ‎4．设a，b，c均为正实数，试证明不等式＋＋≥＋＋，并说明等号成立的条件．‎ 解　因为a，b，c均为正实数，‎ 所以≥≥，‎ 当且仅当a＝b时等号成立；‎ ≥≥，当且仅当b＝c时等号成立；‎ ≥≥，当且仅当a＝c时等号成立．‎ 三个不等式相加，得＋＋≥＋＋，‎ 当且仅当a＝b＝c时等号成立．‎ ‎5．若a、b、c均为实数，且a＝x2－2y＋，b＝y2－2z＋，c＝z2－2x＋.求证：a、b、c中至少有一个大于0.‎ 证明　假设a、b、c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0，‎ 所以a＋b＋c≤0.‎ 而a＋b＋c＝(x2－2y＋)＋(y2－2z＋)＋(z2－2x＋)‎ ‎＝(x2－2x)＋(y2－2y)＋(z2－2z)＋π ‎＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3.‎ 所以a＋b＋c>0，这与a＋b＋c≤0矛盾，‎ 故a、b、c中至少有一个大于0.‎ 易错起源1、含绝对值不等式的解法 例1、已知函数f(x)＝|x－a|，其中a＞1.‎ ‎(1)当a＝2时，求不等式f(x)≥4－|x－4|的解集；‎ ‎(2)已知关于x的不等式|f(2x＋a)－2f(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2}，求a的值．‎ ‎(2)记h(x)＝f(2x＋a)－2f(x)，‎ 则h(x)＝ 由|h(x)|≤2，解得≤x≤.‎ 又已知|h(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2}，‎ 所以于是a＝3‎ ‎【变式探究】已知函数f(x)＝|x－2|－|x－5|.‎ ‎(1)证明：－3≤f(x)≤3；‎ ‎(2)求不等式f(x)≥x2－8x＋15的解集．‎ ‎(1)证明　f(x)＝|x－2|－|x－5|＝ 当2a(a>0)⇔f(x)>a或f(x)<－a；‎ ‎(2)|f(x)|0)⇔－ay.求证：2x＋≥2y＋3.‎ ‎(2)已知实数x，y满足：|x＋y|<，|2x－y|<，‎ 求证：|y|<.‎ 证明　(1)因为x>0，y>0，x－y>0，‎ ‎2x＋－2y ‎＝2(x－y)＋ ‎＝(x－y)＋(x－y)＋ ‎≥3＝3，‎ 所以2x＋≥2y＋3，‎ ‎【变式探究】(1)若a，b∈R，求证：≤＋.‎ ‎(2)已知a，b，c均为正数，a＋b＝1，求证：＋＋≥1.‎ 证明　(1)当|a＋b|＝0时，不等式显然成立．‎ 当|a＋b|≠0时，由0<|a＋b|≤|a|＋|b|⇒≥，所以＝≤＝≤＋.‎ ‎(2)因为＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c，‎ 故＋＋＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，‎ 即＋＋≥a＋b＋c，‎ 所以＋＋≥1.‎ ‎【名师点睛】‎ ‎(1)作差法应该是证明不等式的常用方法．作差法证明不等式的一般步骤：①作差；②分解因式；③与0比较；④结论．关键是代数式的变形能力．‎ ‎(2)在不等式的证明中，适当“放”“缩”是常用的推证技巧．‎ ‎【锦囊妙计，战胜自我】‎ ‎1．含有绝对值的不等式的性质 ‎|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|.‎ ‎2．算术—几何平均不等式 定理1：设a，b∈R，则a2＋b2≥2ab.当且仅当a＝b时，等号成立．‎ 定理2：如果a、b为正数，则≥，当且仅当a＝b时，等号成立．‎ 定理3：如果a、b、c为正数，则≥，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．‎ 定理4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a1，a2，…，an为n个正数，则≥，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立．‎ 易错起源3、柯西不等式的应用 例3　(2015·福建)已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f(x)＝|x＋a|＋|x－b|＋c的最小值为4.‎ ‎(1)求a＋b＋c的值；‎ ‎(2)求a2＋b2＋c2的最小值．‎ (4＋9＋1)≥2＝(a＋b＋c)2＝16，‎ 即a2＋b2＋c2≥.当且仅当＝＝，‎ 即a＝，b＝，c＝时等号成立．‎ 故a2＋b2＋c2的最小值为.‎ ‎【变式探究】已知定义在R上的函数f(x)＝|x＋1|＋|x－2|的最小值为a.‎ ‎(1)求a的值；‎ ‎(2)若p，q，r是正实数，且满足p＋q＋r＝a，求证：p2＋q2＋r2≥3.‎ ‎(1)解　因为|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，当且仅当－1≤x≤2时，等号成立，‎ 所以f(x)的最小值等于3，即a＝3.‎ ‎【名师点睛】‎ ‎(1)使用柯西不等式证明的关键是恰当变形，化为符合它的结构形式，当一个式子与柯西不等式的左边或右边具有一致形式时，就可使用柯西不等式进行证明．‎ ‎(2)利用柯西不等式求最值的一般结构为 ‎(a＋a＋…＋a)(＋＋…＋)≥(1＋1＋…＋1)2＝n2.在使用柯西不等式时，要注意右边为常数且应注意等号成立的条件．‎ ‎【锦囊妙计，战胜自我】‎ 柯西不等式 ‎(1)设a，b，c，d均为实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时等号成立．‎ ‎(2)设a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是实数，则(a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b ‎)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，当且仅当bi＝0(i＝1,2，…，n)或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1,2，…，n)时，等号成立．‎ ‎1．如果关于x的不等式|x－3|－|x－4|－1时，不等式的解集不是空集．‎ 即实数a的取值范围是(－1，＋∞)．‎ ‎2．设x>0，y>0，若不等式＋＋≥0恒成立，求实数λ的最小值．‎ 解　∵x>0，y>0，∴原不等式可化为－λ≤(＋)·(x＋y)＝2＋＋.‎ ‎∵2＋＋≥2＋2＝4，‎ 当且仅当x＝y时等号成立．‎ ‎∴(＋)(x＋y)]min＝4，∴－λ≤4，λ≥－4.即实数λ的最小值是－4.‎ ‎3．若不等式|2x－1|＋|x＋2|≥a2＋a＋2对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围．‎ 任意实数x恒成立，所以≥a2＋a＋2.解不等式≥a2＋a＋2，得－1≤a≤，故a的取值范围为－1，]．‎ ‎4．设不等式|x－2||x＋1|成立，求实数x的取值范围．‎ 解　由柯西不等式知 ‎12＋()2＋()2]a2＋(b)2＋(c)2]‎ ‎≥(1·a＋·b＋·c)2‎ 即6×(a2＋2b2＋3c2)≥ (a＋2b＋3c)2.‎ 又∵a2＋2b2＋3c2＝6，‎ ‎∴6×6≥(a＋2b＋3c)2，‎ ‎∴－6≤a＋2b＋3c≤6，∵存在实数a，b，c，使得不等式a＋2b＋3c>|x＋1|成立．‎ ‎∴|x＋1|<6，∴－70.‎ ‎(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥3x＋2的解集；‎ ‎(2)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤－1}，求a的值．‎ 解　(1)当a＝1时，f(x)≥3x＋2可化为|x－1|≥2.‎ 由此可得x≥3或x≤－1.‎ 故不等式f(x)≥3x＋2的解集为{x|x≥3或x≤－1}．‎ ‎(2)由f(x)≤0得|x－a|＋3x≤0.‎ 此不等式化为不等式组 或 即或 因为a>0，所以不等式组的解集为{x|x≤－}．‎ 由题设可得－＝－1，故a＝2. ‎ ‎8．已知函数f(x)＝|2x－a|＋a.‎ ‎(1)当a＝2时，求不等式f(x)≤6的解集；‎ ‎(2)设函数g(x)＝|2x－1|.当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3，求a的取值范围．‎ 解得a≥2.‎ 所以a的取值范围是2，＋∞)．‎