专题2-3 导数及其应用-2017年高考数学冲刺专题卷 17页

一、选择题 ‎1．设的导函数为，则的值为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】的导函数为，所以，故选C.‎ 考点：导数的运算.‎ ‎【题型】选择题 ‎【难度】较易 ‎2．（改编）函数，则的值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A 考点：求导法则．‎ ‎【题型】选择题 ‎【难度】较易 ‎3．（改编）已知函数的导函数为，且满足，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】，故选B.‎ 考点：函数导数.‎ ‎【题型】选择题 ‎【难度】较易 ‎4．(改编)曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D[来源:]‎ 考点：导数的几何意义，三角形的面积.‎ ‎【题型】选择题 ‎【难度】一般 ‎5．已知直线是曲线的切线，则实数（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】设切点为，则切线方程是，‎ ‎∴，故选C.‎ 考点：导数的运用.‎ ‎【题型】选择题[来源:]‎ ‎【难度】一般 ‎6．点是曲线上任意一点，则点到直线的最短距离为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】设，因为，故过点的切线的斜率为，易知当切线与直线平行时，切点到这条直线的距离最小，所以，解得或（舍去），故，到直线的距离为，故选D.‎ 考点：导数的几何意义及点到直线的距离公式的综合运用.‎ ‎【题型】选择题 ‎【难度】一般 ‎7．（理科）已知函数为偶函数，若曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A 考点：函数的奇偶性，导数的几何意义.‎ ‎【题型】选择题[来源:]‎ ‎【难度】一般 ‎8．（理科）已知实数满足，实数满足，则的最小值为（ ）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为，所以，记，因为，则，记. 要求的表达式的本质就是曲线上的点到直线距离的最小值. 因为，令，有，，即过原点的切线方程为. 最短距离为. 故选A.‎ 考点：导数的几何意义.‎ ‎【题型】选择题 ‎【难度】一般 ‎9．若点是曲线上任意一点，则点到直线距离的最小值为（ ）‎ A．1 B． C． D．‎ ‎【答案】B 考点：导数几何意义．‎ ‎【题型】选择题 ‎【难度】一般 ‎10．已知函数的最大值为，则等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为，所以，解得，所以，令，解得，令，解得，所以，故选B.‎ 考点：导数与函数的最值.‎ ‎【题型】选择题 ‎【难度】一般 ‎11．（理科）已知为正实数，直线与曲线相切，则的取值范围是（ ）‎ A. B.(0,1) C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为，所以，又因为直线与曲线相切，所以，可得切点为，代入得，因为为正实数，所以，所以，令，则，所以在上递增，所以，所以的取值范围是，故选C.‎ 考点：导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性.‎ ‎【题型】选择题 ‎【难度】较难 ‎12．已知定义在上的函数满足：函数的图象关于直线对称，且当时，（是函数的导函数）成立．若，，，则的大小关系是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A 考点：函数的性质.‎ ‎【题型】选择题 ‎【难度】较难 ‎13．设函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】设，，由题意知存在唯一的整数使得的图象在直线的下方，∵，∴当时，，当时，，∴当时，取最小值，当时，，当时，，直线恒过定点且斜率为，故且，解得，故选D.‎ 考点：函数的零点，利用导数研究函数的极值.‎ ‎【题型】选择题 ‎【难度】较难 ‎14．设函数，若是的极大值点，则的取值范围为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B 考点：函数的极值．‎ ‎【题型】选择题 ‎【难度】较难 ‎15．设函数（），若不等式有解，则实数 的最小值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】∵，∴，令，，故当时，，当时，，故在上是减函数，在上是增函数，故，故选A．‎ 考点：利用导数研究函数的单调性.‎ ‎【题型】选择题 ‎【难度】较难 ‎16．已知，若在区间上只有一个极值点，则的取值范围为（ ）‎ A． B． C. D. ‎ ‎【答案】A 考点：导数与函数极值.‎ ‎【题型】选择题 ‎【难度】较难 ‎17．已知函数的图象上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线重合，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎ 考点：导数的几何意义.‎ ‎【题型】选择题 ‎【难度】较难 ‎18．已知定义在上的函数，满足：（1）；（2）（其中是的导函数），则的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B 考点：函数与导数，构造函数.‎ ‎【题型】选择题 ‎【难度】较难 二、解答题 ‎19．(改编)已知函数，其中.‎ ‎（1）若曲线在点处的切线与直线平行，求的方程；‎ ‎（2）若，函数在上为增函数，求证：.‎ ‎【答案】（1）或 （2）证明见解析 ‎【解析】（1），则，∴或.‎ 当时，，∴的方程为；‎ 当时，，∴的方程为.‎ ‎（2）证明：由题意可得对恒成立， ‎ ‎∵，∴，即对恒成立，‎ ‎∴，即对恒成立，‎ 设，则，∴在上递增，∴，∴．又，∴.‎ 考点：导数的应用.‎ ‎【题型】解答题 ‎【难度】一般 ‎20．已知函数．‎ ‎（1）讨论函数的单调性；‎ ‎（2）当时，恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（3）证明：．‎ ‎【答案】(1) 当时，在上单调递增，当时，在上单调递减，当时，在上单调递增，在上单调递减 (2) (3)证明见解析 所以在上单调递增，在上单调递减，所以，‎ 故．‎ ‎ (3)证明：取，则，可得，取，并将上述各不等式两边加起来可得．‎ 考点：导数的知识分类整合思想及推理论证能力等有关知识的综合运用．‎ ‎【题型】解答题 ‎【难度】较难 ‎21．已知函数（）．‎ ‎（1）若，求值；‎ ‎（2）若存在，使函数的图象在点和点处的切线互相垂直，求的取值范围；‎ ‎（3）若函数在区间上有两个极值点，则是否存在实数，使 对任意的恒成立？若存在，求出的取值范围，若不存在，说明理由．‎ ‎【答案】(1) (2) (3)存在，‎ 当时，，，递减；‎ 当时，，，递增；‎ 当时，，，递减．‎ 结合②可得 ‎，，设，，‎ 则，所以在上递增，所以，又，，所以．‎ 又，所以存在，使，‎ 故存在满足条件的，的取值范围为．‎ 考点：导数与函数的单调性之间的关系、分类整合思想等有关知识的综合运用．‎ ‎【题型】解答题 ‎【难度】较难 ‎22．已知函数（为常数，是自然对数的底数）在点处取极值.‎ ‎（1）求的值及函数的单调区间；‎ ‎（2）设，其中为的导函数，证明：对任意，.‎ ‎【答案】（1），增区间为，减区间为 （2）证明见解析 当时，，‎ 所以，‎ 所以，‎ 因此对任意，. ‎ 考点：导数与函数的单调性之间的关系及分析转化法等有关知识的综合运用.‎ ‎【题型】解答题 ‎【难度】较难 ‎23．已知函数． ‎ ‎（1）若曲线过点，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（2）求函数在区间上的最大值；‎ ‎（3）若函数有两个不同的零点，，求证：． ‎ ‎【答案】（1） （2）当时，，当时，，当时， （3）证明见解析 考点：导数与切线、最值.‎ ‎【题型】解答题 ‎【难度】较难 ‎24．已知函数，其图象在处的切线与直线垂直，函数．‎ ‎（Ⅰ）求实数的值；‎ ‎（Ⅱ）设是函数的两个极值点，若，求 的最小值．‎ ‎【答案】（I） （II）‎ 考点：函数导数与不等式．‎ ‎【题型】解答题 ‎【难度】较难 ‎ ‎