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  • 2021-06-20 发布

2019年高考数学复习大二轮精准提分练习第二篇 第12练

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第12练 数列的综合问题[中档大题规范练]‎ ‎[明晰考情] 1.命题角度:考查等差数列、等比数列的判定与证明;以an, Sn的关系为切入点,考查数列的通项、前n项和等;数列和函数、不等式的综合应用;一般位于解答题的17题位置.2.题目难度:中等偏下难度.‎ 考点一 等差数列、等比数列的判定与证明 方法技巧 判断等差(比)数列的常用方法 ‎(1)定义法:若an+1-an=d,d为常数,则{an}为等差(比)数列.‎ ‎(2)中项公式法.‎ ‎(3)通项公式法.‎ ‎1.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an≠0,anan+1=λSn-1,其中λ为常数.‎ ‎(1)证明:an+2-an=λ;‎ ‎(2)是否存在λ,使得{an}为等差数列?并说明理由.‎ ‎(1)证明 由题设知,anan+1=λSn-1,an+1an+2=λSn+1-1,‎ 两式相减得an+1(an+2-an)=λan+1,‎ 由于an+1≠0,所以an+2-an=λ.‎ ‎(2)解 由题设知,a1=1,a1a2=λS1-1,可得a2=λ-1.‎ 由(1)知,a3=λ+1.‎ 令2a2=a1+a3,解得λ=4.‎ 故an+2-an=4,由此可得数列{a2n-1}是首项为1,公差为4的等差数列,a2n-1=4n-3;‎ 数列{a2n}是首项为3,公差为4的等差数列,a2n=4n-1.‎ 所以an=2n-1,an+1-an=2,‎ 因此存在λ=4,使得数列{an}为等差数列.‎ ‎2.已知数列{an}满足a1=2,且an+1=2an+2n+1,n∈N*.‎ ‎(1)设bn=,证明:{bn}为等差数列,并求数列{bn}的通项公式;‎ ‎(2)在(1)的条件下,求数列{an}的前n项和Sn.‎ 解 (1)把an=2nbn代入到an+1=2an+2n+1,‎ 得2n+1bn+1=2n+1bn+2n+1,‎ 两边同除以2n+1,‎ 得bn+1=bn+1,即bn+1-bn=1,‎ ‎∴{bn}为等差数列,首项b1==1,公差为1,∴bn=n(n∈N*).‎ ‎(2)由bn=n=,得an=n×2n,‎ ‎∴Sn=1×21+2×22+3×23+…+n×2n,‎ ‎∴2Sn=1×22+2×23+3×24+…+(n-1)×2n+n×2n+1,‎ 两式相减,得-Sn=21+22+23+…+2n-n×2n+1=(1-n)×2n+1-2,‎ ‎∴Sn=(n-1)×2n+1+2(n∈N*).‎ ‎3.已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn=2an+(-1)n(n∈N*).‎ ‎(1)求数列{an}的前三项a1,a2,a3;‎ ‎(2)求证:数列为等比数列,并求出{an}的通项公式.‎ 解 (1)在Sn=2an+(-1)n(n∈N*)中分别令n=1,2,3,‎ 得 解得 ‎(2)由Sn=2an+(-1)n(n∈N*),得Sn-1=2an-1+(-1)n-1(n≥2),‎ 两式相减,得an=2an-1-2(-1)n(n≥2),‎ an=2an-1-(-1)n-(-1)n=2an-1+(-1)n-1-(-1)n(n≥2),‎ ‎∴an+(-1)n=2(n≥2).‎ 故数列是以a1-=为首项,2为公比的等比数列.‎ ‎∴an+(-1)n=×2n-1,‎ ‎∴an=×2n-1-×(-1)n=-(-1)n.‎ 考点二 数列的通项与求和 方法技巧 (1)根据数列的递推关系求通项的常用方法 ‎①累加(乘)法 形如an+1=an+f(n)的数列,可用累加法;‎ 形如=f(n)的数列,可用累乘法.‎ ‎②构造数列法 形如an+1=,可转化为-=,构造等差数列;‎ 形如an+1=pan+q(p×q≠0,且p≠1),可转化为an+1+=p构造等比数列.‎ ‎(2)数列求和的常用方法 ‎①倒序相加法;②分组求和法;③错位相减法;④裂项相消法.‎ ‎4.已知数列{an}的首项a1=1,前n项和为Sn(n∈N*),且数列是公差为2的等差数列.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)若bn=(-1)nan,求数列{bn}的前n项和Tn.‎ 解 (1)由已知得=1+(n-1)×2=2n-1,所以Sn=2n2-n.‎ 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n2-n-[2(n-1)2-(n-1)]=4n-3.‎ 而a1=1=4×1-3满足上式,所以an=4n-3,n∈N*.‎ ‎(2)由(1)可得bn=(-1)nan=(-1)n(4n-3).‎ 当n为偶数时,Tn=(-1+5)+(-9+13)+…+[-(4n-7)+(4n-3)]=4×=2n;‎ 当n为奇数时,n+1为偶数,Tn=Tn+1-bn+1=2(n+1)-(4n+1)=-2n+1.‎ 综上,Tn= ‎5.设等差数列{an}的前n项和为Sn,a22-3a7=2,且,,S3成等比数列,n∈N*.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)令bn=,数列{bn}的前n项和为Tn,若对于任意的n∈N*,都有8Tn<2λ2+5λ成立,求实数λ的取值范围.‎ 解 (1)设等差数列{an}的公差为d,‎ 由 得 即 解得或 当a1=-,d=时,=没有意义,‎ ‎∴a1=2,d=2,此时an=2+2(n-1)=2n.‎ ‎(2)bn===,‎ Tn=b1+b2+b3+…+bn ‎=++++++…++ ‎==-,‎ ‎∴8Tn=3-2<3.‎ 为满足题意,必须使2λ2+5λ≥3,‎ ‎∴λ≥或λ≤-3.‎ ‎6.(2018·张掖高三诊断)已知数列{an}的前n项和为Sn,若an=-3Sn+4,bn=-log2an+1.‎ ‎(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;‎ ‎(2)令cn=+,其中n∈N*,若数列{cn}的前n项和为Tn,求Tn.‎ 解 (1)由a1=-3S1+4=-3a1+4,得a1=1,‎ 由an=-3Sn+4,‎ 知an+1=-3Sn+1+4,‎ 两式相减并化简得an+1=an,‎ ‎∴数列{an}是首项为1,公比为的等比数列,‎ ‎∴an=n-1,‎ bn=-log2an+1=-log2n=2n.‎ ‎(2)由题意知,cn=+.‎ 令Hn=+++…+,①‎ 则Hn=++…++,②‎ ‎①-②得,Hn=+++…+-=1-.‎ ‎∴Hn=2-.‎ 又Mn=1-+-+…+-=1-=,‎ ‎∴Tn=Hn+Mn=2-+.‎ 考点三 数列的综合问题 方法技巧 (1)以函数为背景的数列问题,一般要利用函数的性质或图象进行转化,得出数列的通项或递推关系.‎ ‎(2)数列是特殊的函数,解题时要充分利用函数的性质解决数列问题,如数列中的最值问题.‎ ‎(3)解决数列与不等式综合问题的常用方法有比较法(作差法、作商法)、放缩法等.‎ ‎7.已知{xn}是各项均为正数的等比数列,且x1+x2=3,x3-x2=2.‎ ‎(1)求数列{xn}的通项公式;‎ ‎(2)如图,在平面直角坐标系xOy中,依次连接点P1(x1,1),P2(x2,2),…,Pn+1(xn+1,n+1)得到折线P1P2…Pn+1,求由该折线与直线y=0,x=x1,x=xn+1所围成的区域的面积Tn.‎ 解 (1)设数列{xn}的公比为q.‎ 由题意得 所以3q2-5q-2=0,‎ 由已知得q>0,‎ 所以q=2,x1=1.‎ 因此数列{xn}的通项公式为xn=2n-1.‎ ‎(2)过P1,P2,…,Pn+1向x轴作垂线,垂足分别为Q1,Q2,…,Qn+1.‎ 由(1)得xn+1-xn=2n-2n-1=2n-1,‎ 记梯形PnPn+1Qn+1Qn的面积为bn,‎ 由题意得bn=×2n-1=(2n+1)×2n-2,‎ 所以Tn=b1+b2+…+bn ‎=3×2-1+5×20+7×21+…+(2n-1)×2n-3+(2n+1)×2n-2.①‎ 又2Tn=3×20+5×21+7×22+…+(2n-1)×2n-2+(2n+1)×2n-1,②‎ ‎①-②得 ‎-Tn=3×2-1+(2+22+…+2n-1)-(2n+1)×2n-1‎ ‎=+-(2n+1)×2n-1.‎ 所以Tn=.‎ ‎8.已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn+n=2an(n∈N*).‎ ‎(1)证明:数列{an+1}为等比数列,并求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)若bn=(2n+1)an+2n+1,数列{bn}的前n项和为Tn,求满足不等式>2 010的n的最小值.‎ 解 (1)当n=1时,2a1=S1+1=a1+1,∴a1=1.‎ ‎∵2an=Sn+n,n∈N*,∴2an-1=Sn-1+n-1,n≥2,‎ 两式相减,得an=2an-1+1,n≥2,‎ 即an+1=2(an-1+1),n≥2,‎ ‎∴数列{an+1}是以2为首项,2为公比的等比数列,‎ ‎∴an+1=2n,∴an=2n-1,n∈N*.‎ ‎(2)bn=(2n+1)an+2n+1=(2n+1)·2n,‎ ‎∴Tn=3×2+5×22+…+(2n+1)·2n,‎ ‎∴2Tn=3×22+5×23+…+(2n+1)·2n+1,‎ 两式相减可得-Tn=3×2+2×22+2×23+…+2·2n-(2n+1)·2n+1,‎ ‎∴Tn=(2n-1)·2n+1+2,‎ ‎∴>2 010可化为2n+1>2 010.‎ ‎∵210=1 024,211=2 048,‎ ‎∴满足不等式>2 010的n的最小值为10.‎ ‎9.已知数列{an}中,a1=2,an-an-1-2n=0(n≥2,n∈N*).‎ ‎(1)写出a2,a3的值(只写出结果),并求出数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)设bn=+++…+,若对任意的正整数n,不等式t2-2t+>bn恒成立,求实数t的取值范围.‎ 解 (1)a2=6,a3=12,‎ 当n≥2时,‎ an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=2+2×2+2×3+…+2n ‎=2(1+2+3+…+n)=n(n+1).‎ 因为当n=1时,a1=2也满足上式,‎ 所以an=n(n+1).‎ ‎(2)bn=+++…+=++…+ ‎=-+-+…+-=-.‎ 因为bn+1-bn=--=+- ‎=-=<0,‎ 所以bn+1bn恒成立,所以t2-2t+>,‎ 解得t<0或t>2,‎ 所以实数t的取值范围为(-∞,0)∪(2,+∞).‎ 典例 (12分)已知单调递增的等比数列{an}满足:a2+a3+a4=28,且a3+2是a2,a4的等差中项.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)若bn=,Sn=b1+b2+…+bn,求使Sn+n×2n+1>30成立的正整数n的最小值.‎ 审题路线图 ―→―→―→―→ 规范解答·评分标准 解 (1)设等比数列{an}的首项为a1,公比为q.‎ 由题意知2(a3+2)=a2+a4,代入a2+a3+a4=28,可得a3=8,所以a2+a4=20,‎ 所以解得或…………………………………3分 又数列{an}单调递增,所以q=2,a1=2,‎ 所以数列{an}的通项公式为an=2n.……………………………………………………5分 ‎(2)因为bn==-n×2n,………………………………………6分 所以Sn=-(1×2+2×22+…+n×2n),‎ ‎2Sn=-[1×22+2×23+…+(n-1)×2n+n×2n+1],‎ 两式相减,得Sn=2+22+23+…+2n-n×2n+1=2n+1-2-n×2n+1.………………8分 又Sn+n×2n+1>30,‎ 可得2n+1-2>30,即2n+1>32=25,………………………………………………10分 所以n+1>5,即n>4.‎ 所以使Sn+n×2n+1>30成立的正整数n的最小值为5.‎ ‎…………………………………………………………………………………………12分 构建答题模板 ‎[第一步] 求通项:根据题目条件,列方程(组)求解,得到数列的通项公式.‎ ‎[第二步] 巧求和:根据数列的类型,选择适当方法求和或经适当放缩后求和.‎ ‎[第三步] 得结论:利用不等式或函数性质求证不等式或解决一些最值问题.‎ ‎1.记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知a1=-7,S3=-15.‎ ‎(1)求{an}的通项公式;‎ ‎(2)求Sn,并求Sn的最小值.‎ 解 (1)设{an}的公差为d,由题意得3a1+3d=-15.‎ 由a1=-7得d=2.‎ 所以{an}的通项公式为an=a1+(n-1)d=2n-9.‎ ‎(2)由(1)得Sn=·n=n2-8n=(n-4)2-16.‎ 所以当n=4时,Sn取得最小值-16.‎ ‎2.设数列{an}的前n项和为Sn,已知S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N*.‎ ‎(1)求通项公式an;‎ ‎(2)求数列{|an-n-2|}的前n项和.‎ 解 (1)由题意得得 又当n≥2时,由an+1-an=(2Sn+1)-(2Sn-1+1)=2an,得an+1=3an,‎ 又a2=3a1,‎ ‎∴数列{an}的通项公式为an=3n-1,n∈N*.‎ ‎(2)设bn=|3n-1-n-2|,n∈N*,b1=2,b2=1,‎ 当n≥3时,由于3n-1>n+2,故bn=3n-1-n-2,n≥3.‎ 设数列{bn}的前n项和为Tn,则T1=2,T2=3,‎ 当n≥3时,Tn=3+-=,经验证T2符合上求.‎ ‎∴Tn= ‎3.(2018·黔东南州模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn=(an-1),n∈N*.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)令bn=log2an,记数列的前n项和为Tn,证明:Tn<.‎ ‎(1)解 当n=1时,有a1=S1=(a1-1),解得a1=4.‎ 当n≥2时,有Sn-1=(an-1-1),则an=Sn-Sn-1=(an-1)-(an-1-1),整理得=4,‎ ‎∴数列{an}是以q=4为公比,以a1=4为首项的等比数列.‎ ‎∴an=4×4n-1=4n(n∈N*)‎ 即数列{an}的通项公式为an=4n(n∈N*).‎ ‎(2)证明 由(1)得bn=log2an=log24n=2n,则 == ‎∴Tn==<.‎ ‎4.已知数列{an}的前n项和为Sn,且an+Sn=4.‎ ‎(1)求证:数列{an}是等比数列;‎ ‎(2)是否存在正整数k,使>2成立?若存在,求出k的值;若不存在,说明理由.‎ ‎(1)证明 由题意,知an+Sn=4,an+1+Sn+1=4,‎ 两式相减,得(Sn+1+an+1)-(Sn+an)=0,‎ 即2an+1-an=0,an+1=an.‎ 又a1+S1=4,所以2a1=4,即a1=2.‎ 所以数列{an}是首项为a1=2,公比为的等比数列.‎ ‎(2)解 由(1)得an=2·n-1,‎ 则Sn==4-22-n.‎ 假设存在正整数k,使>2成立,‎ 由Sk-2≠0知k≠1,即k>1,k∈N*.‎ 由>2,整理得<21-k<1,即1<2k-1<,‎ 因为k∈N*,所以2k-1∈N*,这与2k-1∈相矛盾,故不存在这样的正整数k,使已知不等式成立.‎

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