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- 2021-06-20 发布
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第12练 数列的综合问题[中档大题规范练]
[明晰考情] 1.命题角度:考查等差数列、等比数列的判定与证明;以an, Sn的关系为切入点,考查数列的通项、前n项和等;数列和函数、不等式的综合应用;一般位于解答题的17题位置.2.题目难度:中等偏下难度.
考点一 等差数列、等比数列的判定与证明
方法技巧 判断等差(比)数列的常用方法
(1)定义法:若an+1-an=d,d为常数,则{an}为等差(比)数列.
(2)中项公式法.
(3)通项公式法.
1.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an≠0,anan+1=λSn-1,其中λ为常数.
(1)证明:an+2-an=λ;
(2)是否存在λ,使得{an}为等差数列?并说明理由.
(1)证明 由题设知,anan+1=λSn-1,an+1an+2=λSn+1-1,
两式相减得an+1(an+2-an)=λan+1,
由于an+1≠0,所以an+2-an=λ.
(2)解 由题设知,a1=1,a1a2=λS1-1,可得a2=λ-1.
由(1)知,a3=λ+1.
令2a2=a1+a3,解得λ=4.
故an+2-an=4,由此可得数列{a2n-1}是首项为1,公差为4的等差数列,a2n-1=4n-3;
数列{a2n}是首项为3,公差为4的等差数列,a2n=4n-1.
所以an=2n-1,an+1-an=2,
因此存在λ=4,使得数列{an}为等差数列.
2.已知数列{an}满足a1=2,且an+1=2an+2n+1,n∈N*.
(1)设bn=,证明:{bn}为等差数列,并求数列{bn}的通项公式;
(2)在(1)的条件下,求数列{an}的前n项和Sn.
解 (1)把an=2nbn代入到an+1=2an+2n+1,
得2n+1bn+1=2n+1bn+2n+1,
两边同除以2n+1,
得bn+1=bn+1,即bn+1-bn=1,
∴{bn}为等差数列,首项b1==1,公差为1,∴bn=n(n∈N*).
(2)由bn=n=,得an=n×2n,
∴Sn=1×21+2×22+3×23+…+n×2n,
∴2Sn=1×22+2×23+3×24+…+(n-1)×2n+n×2n+1,
两式相减,得-Sn=21+22+23+…+2n-n×2n+1=(1-n)×2n+1-2,
∴Sn=(n-1)×2n+1+2(n∈N*).
3.已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn=2an+(-1)n(n∈N*).
(1)求数列{an}的前三项a1,a2,a3;
(2)求证:数列为等比数列,并求出{an}的通项公式.
解 (1)在Sn=2an+(-1)n(n∈N*)中分别令n=1,2,3,
得
解得
(2)由Sn=2an+(-1)n(n∈N*),得Sn-1=2an-1+(-1)n-1(n≥2),
两式相减,得an=2an-1-2(-1)n(n≥2),
an=2an-1-(-1)n-(-1)n=2an-1+(-1)n-1-(-1)n(n≥2),
∴an+(-1)n=2(n≥2).
故数列是以a1-=为首项,2为公比的等比数列.
∴an+(-1)n=×2n-1,
∴an=×2n-1-×(-1)n=-(-1)n.
考点二 数列的通项与求和
方法技巧 (1)根据数列的递推关系求通项的常用方法
①累加(乘)法
形如an+1=an+f(n)的数列,可用累加法;
形如=f(n)的数列,可用累乘法.
②构造数列法
形如an+1=,可转化为-=,构造等差数列;
形如an+1=pan+q(p×q≠0,且p≠1),可转化为an+1+=p构造等比数列.
(2)数列求和的常用方法
①倒序相加法;②分组求和法;③错位相减法;④裂项相消法.
4.已知数列{an}的首项a1=1,前n项和为Sn(n∈N*),且数列是公差为2的等差数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若bn=(-1)nan,求数列{bn}的前n项和Tn.
解 (1)由已知得=1+(n-1)×2=2n-1,所以Sn=2n2-n.
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n2-n-[2(n-1)2-(n-1)]=4n-3.
而a1=1=4×1-3满足上式,所以an=4n-3,n∈N*.
(2)由(1)可得bn=(-1)nan=(-1)n(4n-3).
当n为偶数时,Tn=(-1+5)+(-9+13)+…+[-(4n-7)+(4n-3)]=4×=2n;
当n为奇数时,n+1为偶数,Tn=Tn+1-bn+1=2(n+1)-(4n+1)=-2n+1.
综上,Tn=
5.设等差数列{an}的前n项和为Sn,a22-3a7=2,且,,S3成等比数列,n∈N*.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)令bn=,数列{bn}的前n项和为Tn,若对于任意的n∈N*,都有8Tn<2λ2+5λ成立,求实数λ的取值范围.
解 (1)设等差数列{an}的公差为d,
由
得
即
解得或
当a1=-,d=时,=没有意义,
∴a1=2,d=2,此时an=2+2(n-1)=2n.
(2)bn===,
Tn=b1+b2+b3+…+bn
=++++++…++
==-,
∴8Tn=3-2<3.
为满足题意,必须使2λ2+5λ≥3,
∴λ≥或λ≤-3.
6.(2018·张掖高三诊断)已知数列{an}的前n项和为Sn,若an=-3Sn+4,bn=-log2an+1.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;
(2)令cn=+,其中n∈N*,若数列{cn}的前n项和为Tn,求Tn.
解 (1)由a1=-3S1+4=-3a1+4,得a1=1,
由an=-3Sn+4,
知an+1=-3Sn+1+4,
两式相减并化简得an+1=an,
∴数列{an}是首项为1,公比为的等比数列,
∴an=n-1,
bn=-log2an+1=-log2n=2n.
(2)由题意知,cn=+.
令Hn=+++…+,①
则Hn=++…++,②
①-②得,Hn=+++…+-=1-.
∴Hn=2-.
又Mn=1-+-+…+-=1-=,
∴Tn=Hn+Mn=2-+.
考点三 数列的综合问题
方法技巧 (1)以函数为背景的数列问题,一般要利用函数的性质或图象进行转化,得出数列的通项或递推关系.
(2)数列是特殊的函数,解题时要充分利用函数的性质解决数列问题,如数列中的最值问题.
(3)解决数列与不等式综合问题的常用方法有比较法(作差法、作商法)、放缩法等.
7.已知{xn}是各项均为正数的等比数列,且x1+x2=3,x3-x2=2.
(1)求数列{xn}的通项公式;
(2)如图,在平面直角坐标系xOy中,依次连接点P1(x1,1),P2(x2,2),…,Pn+1(xn+1,n+1)得到折线P1P2…Pn+1,求由该折线与直线y=0,x=x1,x=xn+1所围成的区域的面积Tn.
解 (1)设数列{xn}的公比为q.
由题意得
所以3q2-5q-2=0,
由已知得q>0,
所以q=2,x1=1.
因此数列{xn}的通项公式为xn=2n-1.
(2)过P1,P2,…,Pn+1向x轴作垂线,垂足分别为Q1,Q2,…,Qn+1.
由(1)得xn+1-xn=2n-2n-1=2n-1,
记梯形PnPn+1Qn+1Qn的面积为bn,
由题意得bn=×2n-1=(2n+1)×2n-2,
所以Tn=b1+b2+…+bn
=3×2-1+5×20+7×21+…+(2n-1)×2n-3+(2n+1)×2n-2.①
又2Tn=3×20+5×21+7×22+…+(2n-1)×2n-2+(2n+1)×2n-1,②
①-②得
-Tn=3×2-1+(2+22+…+2n-1)-(2n+1)×2n-1
=+-(2n+1)×2n-1.
所以Tn=.
8.已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn+n=2an(n∈N*).
(1)证明:数列{an+1}为等比数列,并求数列{an}的通项公式;
(2)若bn=(2n+1)an+2n+1,数列{bn}的前n项和为Tn,求满足不等式>2 010的n的最小值.
解 (1)当n=1时,2a1=S1+1=a1+1,∴a1=1.
∵2an=Sn+n,n∈N*,∴2an-1=Sn-1+n-1,n≥2,
两式相减,得an=2an-1+1,n≥2,
即an+1=2(an-1+1),n≥2,
∴数列{an+1}是以2为首项,2为公比的等比数列,
∴an+1=2n,∴an=2n-1,n∈N*.
(2)bn=(2n+1)an+2n+1=(2n+1)·2n,
∴Tn=3×2+5×22+…+(2n+1)·2n,
∴2Tn=3×22+5×23+…+(2n+1)·2n+1,
两式相减可得-Tn=3×2+2×22+2×23+…+2·2n-(2n+1)·2n+1,
∴Tn=(2n-1)·2n+1+2,
∴>2 010可化为2n+1>2 010.
∵210=1 024,211=2 048,
∴满足不等式>2 010的n的最小值为10.
9.已知数列{an}中,a1=2,an-an-1-2n=0(n≥2,n∈N*).
(1)写出a2,a3的值(只写出结果),并求出数列{an}的通项公式;
(2)设bn=+++…+,若对任意的正整数n,不等式t2-2t+>bn恒成立,求实数t的取值范围.
解 (1)a2=6,a3=12,
当n≥2时,
an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=2+2×2+2×3+…+2n
=2(1+2+3+…+n)=n(n+1).
因为当n=1时,a1=2也满足上式,
所以an=n(n+1).
(2)bn=+++…+=++…+
=-+-+…+-=-.
因为bn+1-bn=--=+-
=-=<0,
所以bn+1bn恒成立,所以t2-2t+>,
解得t<0或t>2,
所以实数t的取值范围为(-∞,0)∪(2,+∞).
典例 (12分)已知单调递增的等比数列{an}满足:a2+a3+a4=28,且a3+2是a2,a4的等差中项.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若bn=,Sn=b1+b2+…+bn,求使Sn+n×2n+1>30成立的正整数n的最小值.
审题路线图
―→―→―→―→
规范解答·评分标准
解 (1)设等比数列{an}的首项为a1,公比为q.
由题意知2(a3+2)=a2+a4,代入a2+a3+a4=28,可得a3=8,所以a2+a4=20,
所以解得或…………………………………3分
又数列{an}单调递增,所以q=2,a1=2,
所以数列{an}的通项公式为an=2n.……………………………………………………5分
(2)因为bn==-n×2n,………………………………………6分
所以Sn=-(1×2+2×22+…+n×2n),
2Sn=-[1×22+2×23+…+(n-1)×2n+n×2n+1],
两式相减,得Sn=2+22+23+…+2n-n×2n+1=2n+1-2-n×2n+1.………………8分
又Sn+n×2n+1>30,
可得2n+1-2>30,即2n+1>32=25,………………………………………………10分
所以n+1>5,即n>4.
所以使Sn+n×2n+1>30成立的正整数n的最小值为5.
…………………………………………………………………………………………12分
构建答题模板
[第一步] 求通项:根据题目条件,列方程(组)求解,得到数列的通项公式.
[第二步] 巧求和:根据数列的类型,选择适当方法求和或经适当放缩后求和.
[第三步] 得结论:利用不等式或函数性质求证不等式或解决一些最值问题.
1.记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知a1=-7,S3=-15.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求Sn,并求Sn的最小值.
解 (1)设{an}的公差为d,由题意得3a1+3d=-15.
由a1=-7得d=2.
所以{an}的通项公式为an=a1+(n-1)d=2n-9.
(2)由(1)得Sn=·n=n2-8n=(n-4)2-16.
所以当n=4时,Sn取得最小值-16.
2.设数列{an}的前n项和为Sn,已知S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N*.
(1)求通项公式an;
(2)求数列{|an-n-2|}的前n项和.
解 (1)由题意得得
又当n≥2时,由an+1-an=(2Sn+1)-(2Sn-1+1)=2an,得an+1=3an,
又a2=3a1,
∴数列{an}的通项公式为an=3n-1,n∈N*.
(2)设bn=|3n-1-n-2|,n∈N*,b1=2,b2=1,
当n≥3时,由于3n-1>n+2,故bn=3n-1-n-2,n≥3.
设数列{bn}的前n项和为Tn,则T1=2,T2=3,
当n≥3时,Tn=3+-=,经验证T2符合上求.
∴Tn=
3.(2018·黔东南州模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn=(an-1),n∈N*.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)令bn=log2an,记数列的前n项和为Tn,证明:Tn<.
(1)解 当n=1时,有a1=S1=(a1-1),解得a1=4.
当n≥2时,有Sn-1=(an-1-1),则an=Sn-Sn-1=(an-1)-(an-1-1),整理得=4,
∴数列{an}是以q=4为公比,以a1=4为首项的等比数列.
∴an=4×4n-1=4n(n∈N*)
即数列{an}的通项公式为an=4n(n∈N*).
(2)证明 由(1)得bn=log2an=log24n=2n,则
==
∴Tn==<.
4.已知数列{an}的前n项和为Sn,且an+Sn=4.
(1)求证:数列{an}是等比数列;
(2)是否存在正整数k,使>2成立?若存在,求出k的值;若不存在,说明理由.
(1)证明 由题意,知an+Sn=4,an+1+Sn+1=4,
两式相减,得(Sn+1+an+1)-(Sn+an)=0,
即2an+1-an=0,an+1=an.
又a1+S1=4,所以2a1=4,即a1=2.
所以数列{an}是首项为a1=2,公比为的等比数列.
(2)解 由(1)得an=2·n-1,
则Sn==4-22-n.
假设存在正整数k,使>2成立,
由Sk-2≠0知k≠1,即k>1,k∈N*.
由>2,整理得<21-k<1,即1<2k-1<,
因为k∈N*,所以2k-1∈N*,这与2k-1∈相矛盾,故不存在这样的正整数k,使已知不等式成立.