2019年高考数学（理）原创终极押题卷（新课标Ⅲ卷）（解析版） 7页

‎ ‎ 秘密★启用前 ‎2019年全国普通高等学校招生考试终极押题卷（全国新课标Ⅲ）‎ 理科数学 ‎（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）‎ 注意事项： ‎ ‎1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。‎ ‎2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。‎ ‎3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。‎ ‎4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 第Ⅰ卷 一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．已知为虚数单位,复数,则的实部与虚部之差为(　　)‎ A． 1 B．0‎ C． D．‎ ‎【答案】:D ‎【解析】：复数，∴,故选D.‎ ‎2.如图所示的Venn图中，是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合．若，，，则为(　　)‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】:D ‎【解析】：‎ ‎，故选D.‎ ‎3.某所学校在一个学期的开支分布的饼图如图1所示，在该学期的水、电、交通开支（单位：万元）如图2所示，则该学期的电费开支占总开支的百分比为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【分析】结合图表，通过计算可得：该学期的电费开支占总开支的百分比为 ×20%=11.25%，得解．‎ ‎【详解】由图1，图2可知：该学期的电费开支占总开支的百分比为×20%=11.25%，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查了识图能力及进行简单的合情推理，属简单题．‎ ‎4. 已知向量,若,则等于( )‎ A． 80 B． 160 ‎ C． D． ‎【答案】C ‎【解析】因为，所以，解得，所以，所以，故选C．‎ ‎5. 程序框图如下图所示，若上述程序运行的结果，则判断框中应填入（ ）‎ 数学试题 第13页（共14页） 数学试题 第14页（共14页）‎ ‎ ‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】初始值，；‎ 执行框图如下：；不能满足条件，进入循环；；不能满足条件，进入循环；；此时要输出，因此要满足条件，∴．故选D ‎6. 若等差数列满足递推关系，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎【答案】B ‎【解析】令，得；令，得，两式相加，得，所以，故选B．‎ ‎7. 已知函数，且，则的最小值为（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】∵，‎ 又，即，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∴且或且．‎ ‎∴，，或，，．‎ ‎∴，‎ 显然，当时，的最小值为，故选C．‎ ‎8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，（单位：cm），则该几何体的表面积为( ) ‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据三视图，该几何体为一个圆柱在上半部分的正面截去圆柱所得，它的表面积为。故选B.‎ ‎9．过圆上一点作圆的两条切线，切点分别为、，若，实数（ ）‎ A．2 B．3 ‎ C．4 D．9‎ ‎【答案】A ‎【解析】如图所示，‎ 数学试题 第13页（共14页） 数学试题 第14页（共14页）‎ ‎ ‎ 取圆上一点，过作圆的两条切线、，‎ 当时，，且，；，则实数．故选A．‎ ‎10. 某人5次上班图中所花的时间（单位：分钟）分别为，已知这组数据的平均数为10，方差为2，则=（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】:D ‎【解析】：解析：这是一道最新数学素养考题的体现，据题意有，按一般同学的常规思路解出，导致运算量大而出错，其实由点到直线的距离公式知：代表直线与圆的交点到直线的距离的倍，所以=。故选D.‎ ‎11．对于函数，以下选项正确的是（ ）‎ A．有2个极大值 B．有1个极小值 C．1是极大值点 D．1是极小值点 ‎【答案】:C ‎【解析】：‎ 故选C.‎ ‎12. 如图，过椭圆的左、右焦点分别作斜率为的直线交椭圆上半部分于两点，记的面积分别为，若，则椭圆离心率为( )‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】:C ‎【解析】：作点B关于原点的对称点B1，则有，所以。将直线方程，代入椭圆方程后，由韦达定理解得， ，三式联立，可解得离心率。故选C 第Ⅱ卷 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．若实数满足,则的最大值为______________．‎ ‎【答案】：2‎ ‎【解析】：作出线性可行域如图，当y=2x过点A（2,2）时，纵截距最小，此时z最大，最大值为 数学试题 第13页（共14页） 数学试题 第14页（共14页）‎ ‎ ‎ ‎14. 甲、乙、丙三位同学获得某项竞赛活动的前三名，但具体名次未知，3人作出如下预测：‎ 甲说：我不是第三名；‎ 乙说：我是第三名；‎ 丙说：我不是第一名；‎ 若甲、乙、丙三位同学的预测有且只有一个正确，由此判断获得第一名的同学是______________．‎ ‎【答案】：乙 ‎【解析】：甲、乙、丙的排名及预测对错如下表：‎ 甲 对、错 乙 对、错 丙 对、错 ‎1‎ ‎√‎ ‎2‎ ‎×‎ ‎3‎ ‎√‎ ‎1‎ ‎√‎ ‎3‎ ‎√‎ ‎2‎ ‎√‎ ‎2‎ ‎√‎ ‎1‎ ‎×‎ ‎3‎ ‎√‎ ‎2‎ ‎√‎ ‎3‎ ‎√‎ ‎1‎ ‎ק§‎ ‎3‎ ‎×‎ ‎1‎ ‎×‎ ‎2‎ ‎√‎ ‎3‎ ‎×‎ ‎2‎ ‎×‎ ‎1‎ ‎×‎ 所以满足条件的甲、乙、丙排名依次为第三名，第一名，第二名，故答案为乙。‎ ‎15. 已知变量，，且，若恒成立，则的最大值为______________．‎ ‎【答案】：‎ ‎【解析】，即化为，故在上为增函数，，故的最大值为.‎ ‎16．在四面体中，△为等边三角形，边长为，,则四面体为 ______________．‎ ‎【答案】：‎ ‎【解析】：如图作PH垂直于平面ABC于H点，‎ 三、三、解答题（共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答。）‎ ‎（一）必考题：共60分。‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 已知在中，，，分别为角，，的对应边，点为边的中点，的面积为．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若，，求．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）由的面积为且为的中点可知：的面积为，‎ 由三角形的面积公式可知，在中 由正弦定理可得，所以．……………………6分 ‎（2），又因为为的中点，所以，即，‎ 在中，由正弦定理可得，所以，‎ 数学试题 第13页（共14页） 数学试题 第14页（共14页）‎ ‎ ‎ 由（1）可知，所以，，‎ ‎，，在直角中，，所以，．‎ ‎，，在中用余弦定理，可得，．……………………………………………………………………………………12分 ‎18．（本小题满分12分）‎ 为了迎接2019年高考，了解学生的成绩状况，在一次省质检中，某省教育部门随机抽取了500名学生的数学考试成绩，统计如下表所示：‎ 成绩 人数 ‎30‎ ‎120‎ ‎210‎ ‎100‎ ‎40‎ ‎（1）计算各组成绩的频率，并填写在表中；‎ 成绩 人数 ‎30‎ ‎120‎ ‎210‎ ‎100‎ ‎40‎ 频率 ‎（2）已知本次质检数学测试的成绩，其中近似为样本的平均数，近似为样本方差，若该省有10万考生，试估计数学成绩在的人数；（以各组区间的中点值代表该组的取值）‎ ‎（3）将频率视为概率，若从该省所有考生中随机抽取4人，记这4人中成绩在的人数为，求的分布列以及数学期望.‎ 参考数据：若，则， ，.‎ ‎【答案】：见解析 ‎【解析】：‎ ‎（1）填表如下：‎ 成绩 人数 ‎30‎ ‎120‎ ‎210‎ ‎100‎ ‎40‎ 频率 ‎0.06‎ ‎0.24‎ ‎0.42‎ ‎0.2‎ ‎0.08‎ ‎………………………………………………………………………………………………………………2分 ‎（2）依题意，， ‎ 故， ‎ 故，故， 故所求人数为(人). ……………………………………………6分 ‎（3）依题意，任取1人，成绩在的概率为，，‎ ，，，， ，…………………………………10分 所以的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎………………………………………………………………………………………………………………11分 故.………………………………………………………………………………………12分 ‎19．（本小题满分12分）‎ 如图，在直三棱柱—中，。‎ （1） 求证：平面；‎ ‎( 2 )若D在上，满足，求与平面所成的角的正弦值。‎ ‎【答案】：见解析 数学试题 第13页（共14页） 数学试题 第14页（共14页）‎ ‎ ‎ ‎【解析】：‎ ‎（1）根据已知条件易得，由面，得 所以平面。 ………………………………………………6分 ‎（2）以A1B1,A1C1为x,y轴建立直角坐标系，设AB=a，‎ 则，，，‎ 所以，设面的法向量为，则 可计算得到 所以与平面所成的角的正弦值为。………………………………………………12分 ‎20．（本小题满分12分）‎ 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，点的纵坐标为8，且．‎ ‎（1）求抛物线的方程；‎ ‎（2）若点是抛物线准线上的任意一点，过点作直线与抛物线相切于点，证明：．‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析．‎ ‎【解析】（1）由题意可知，抛物线的准线方程为，‎ 又点的纵坐标为8，且，于是，∴，故抛物线的方程为．………4分 ‎（2）设点，，，∵，∴，‎ 切线方程为，即，……………………………………6分 令，可解得，∴，……………………………………8分 又，∴，……………………………………10分 ‎∴．∴．……………………………12分 ‎21．（本小题满分12分）‎ 已知函数．‎ ‎（1）当时，讨论函数的单调性；‎ ‎（2）当，时，对任意，，都有成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）．‎ ‎【解析】（1）函数的定义域为．‎ 当时，，∴．‎ 当时，，∴函数在上单调递增．‎ 当时，令，解得，‎ 当时，，∴函数在上单调递减；‎ 当时，，∴函数在上单调递增．‎ 综上所述，当，时，函数在上单调递增；‎ 当，时，函数在上单调递减，在上单调递增．……………6分 ‎（2）∵对任意，，都有成立，‎ ‎∴，∴成立，……………7分 ‎∵，时，，．‎ 当时，，当时，，‎ ‎∴在单调递减，在单调递增，‎ ‎，，，……………8分 设，，．‎ ‎∴在递增，∴，∴，可得，‎ ‎∴，即，……………10分 数学试题 第13页（共14页） 数学试题 第14页（共14页）‎ ‎ ‎ 设，，在恒成立．‎ ‎∴在单调递增，且，∴不等式的解集为．‎ ‎∴实数的取值范围为．……………………………………12分 ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎22．（本小题满分10分）‎ 在直角坐标系中，曲线的方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（1）求，交点的直角坐标；‎ ‎（2）设点的极坐标为，点是曲线上的点，求面积的最大值．‎ ‎【答案】（1），；（2）．‎ ‎【解析】（1），，∴，∴．‎ 联立方程组得，解得，，‎ ‎∴所求交点的坐标为，．……………5分 ‎（2）设，则．‎ ‎∴的面积 ‎，∴当时，．……………10分 ‎[选修4-5：不等式选讲]（10分）‎ ‎23. （本小题满分10分）‎ 已知．‎ ‎（1）时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若的解集包含，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1），，‎ ‎，则或，不等式的解集为．……………5分 ‎（2）的解集包含，即为在上恒成立．‎ ‎，．‎ 故，即为，即．‎ 所以，，‎ 又因为，，则．……………10分 数学试题 第13页（共14页） 数学试题 第14页（共14页）‎