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- 2021-06-20 发布
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2019-2020学年江苏省扬州市邗江区高二上学期期中数学试题
一、单选题
1．设是等差数列的前项和,若,则
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，，选A.
2．若a|b| D．a2b2,因此D错误
对于C，根据绝对值的意义可知，那么|a|>|b|成立。
对于A，由于a,b同号，那么利用倒数的性质可知，或者借助于反比例函数图像可知，,故错误。
对于B，由于,显然错误，故选C.
【考点】本试题考查了不等式的性质。
点评：解决该试题的关键是能根据不等式的性质，以及绝对值的含义准确的变形，注意到等价性，属于基础题。
3．等比数列中，，则
A．9 B．8 C．7 D．6
【答案】D
【解析】由等比数列，选D.
4．不等式 的解集为（ ）
A． B． C．
D．
【答案】A
【解析】首先对不等式进行移项、通分、变号，再运用分式不等式求解方法进行计算可得结果．
【详解】
原不等式化为，
即，
解得，
所以原不等式的解集为．
故选A．
【点睛】
本题考查分式不等式的解法，解分式不等式的常用方法是通过移项、通分后化为整式不等式求解，解题时避免通过不等式两边直接同乘以分母的方法求解．
5．“4＜k＜10”是“方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】根据椭圆的定义以及集合的包含关系判断即可.
【详解】
∵方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆，
∴，解得：7＜k＜10，
故“4＜k＜10”是“方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆”的必要不充分条件，
故选:B
【点睛】
本题考查了椭圆的定义，考查充分必要条件，是一道基础题.
6．不等式ax2+bx+1＞0的解集是，则a+b的值是（ ）
A．5 B． C． D．7
【答案】C
【解析】由题意可得，解得即可．
【详解】
∵一元二次不等式ax2+bx+1＞0的解集是，
∴和是一元二次方程ax2+bx+1=0的两根,
∴，解得，
∴a+b=-7．
故选:C
【点睛】
熟练掌握一元二次不等式的解法与相应的一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键．属于中档题.
7．椭圆的焦距为，则m的值为（ ）
A．9 B．23
C．9或23 D．或
【答案】C
【解析】利用椭圆方程求出焦距，得到方程求解即可．
【详解】
解：椭圆的焦距为，则：
当016时，焦点在y轴上时，，解得m=23．
则m的值为9或23.
故选:C
【点睛】
本题考查椭圆的简单性质的应用，注意椭圆的焦点坐标所在的轴，属于基础题.
8．数列的前项和为，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】当n=1时,a1=2a1−4，解得,a1=4；
当n⩾2时,Sn=2an−4,Sn−1=2an−1−4，
故an=2an−2an−1，故an=2an−1，
故数列{an}是以4为首项，2为公比的等比数列；故an=2n+1，
本题选择A选项.
9．已知，，若恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．或 B．或
C． D．
【答案】C
【解析】利用基本不等式求的最小值为，由恒成立得到，解不等式得到的范围.
【详解】
因为，等号成立当且仅当，
所以，解得：.
【点睛】
利用基本不等式求最值，注意“一正、二定、三等”三个条件，要确保等号能取到.
10．已知椭圆：，直线过的一个焦点，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】直线过的一个焦点，得，利用椭圆的性质求出，解出离心率即可．
【详解】
椭圆：，直线过椭圆的一个焦点，可得，
则，所以椭圆的离心率为：．
故选：．
【点睛】
本题考查椭圆的简单性质的应用，属于基础题．
11．已知数列满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【详解】
本题主要考查的是数列与均值不等式。由条件可知
所以
当时，；当时，
故应选C。
12．已知数列的前项和为，，且满足，已知，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由1，得1，利用等差数列的通项公式可得：an＝（2n﹣5）（n﹣6），当且仅当3≤n≤5时，an＜0．即可得出结论．
【详解】
由1，即1，5．
∴数列{}为等差数列，首项为﹣5，公差为1．
∴5+n﹣1，可得：an＝（2n﹣5）（n﹣6），
当且仅当3≤n≤5时，an＜0．
已知n，m∈，n＞m，
则Sn﹣Sm的最小值为＝﹣3﹣6﹣5＝﹣14．
故选：A．
【点睛】
本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式与求和公式、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
二、填空题
13．命题“∃x＞1，使得x2≥2”的否定是______ ．
【答案】，使得
【解析】根据特称命题的否定是全称命题进行求解即可．
【详解】
解：命题是特称命题，则命题的否定是”，∀x＞1，使得x2＜2”，
故答案为:∀x＞1，使得x2＜2
【点睛】
本题主要考查含有量词的命题的否定，根据特称命题的否定是全称命题是解决本题的关键．属于基础题．
14．如果椭圆+=1上一点P到焦点F1的距离等于10，那么点P到另一个焦点F2的距离是______．
【答案】14
【解析】利用椭圆方程，求出长半轴的长，通过椭圆的定义求解点P到另一个焦点F2的距离．
【详解】
由椭圆+=1，可得a=12，由椭圆的定义可知：|PF1|+|PF2|=2a=24，
因为椭圆+=1上一点P到焦点F1的距离等于10，
那么点P到另一个焦点F2的距离是：24-10=14．
故答案为:14．
【点睛】
本题考查椭圆的简单性质以及椭圆的定义的应用，考查计算能力．属于基础题.
15．已知数列1，,9是等比数列，数列1, 9是等差数列，则=______．
______．
【答案】
【解析】由等比数列的中项性质和奇数项的符号相同，可得=3，再由等差数列的中项性质可得，进而得到所求值．
【详解】
数列1,,9是等比数列，可得=1×9，
解得，
由于1，，9均为奇数项，可得，即，
数列1, 9是等差数列，可得,
则=．
故答案为:．
【点睛】
本题考查等差数列和等比数列的中项性质，考查化简运算能力，属于基础题．
16．已知， ，则的最大值为__________．
【答案】
【解析】∵
又∵
∴
∴
令，则，当且仅当时取等号
∴的最大值为
故答案为
点睛：本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题. 利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立.
三、解答题
17．（1）m为何实数时，关于x的方程x2+（2m-4）x+m=0有两个不等实根？
（2）设实数x满足x＞-1，求的最小值，并求对应的x的值．
【答案】（1）或；（2）1
【解析】（1）根据根的判别式即可求出，
（2）利用基本不等式即可求出．
【详解】
（1）因为关于x的方程x2+（2m-4）x+m=0有两个不等实根
所以△＞0，即（2m-4）2-4m＞0，即,解得m＞4或m＜1，
（2）因为,所以,
所以，
当且仅当，即x=0时，最小值为1．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的实根分布,基本不等式求和的最小值,属于基础题.
18．已知p：x2-7x+10＜0，q：x2-4mx+3m2＜0，其中m＞0．
（1）若m=3，p和q都是真命题，求x的取值范围；
（2）若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）分别求解一元二次不等式,化简p与q，结合p和q都是真命题，取交集求x的取值范围；
（2）由p是q的充分不必要条件，可得关于m的不等式组，求解得答案．
【详解】
（1）由x2-7x+10＜0，得2＜x＜5，∴p：2＜x＜5；
由x2-4mx+3m2＜0及，得m＜x＜3m，∴q：m＜x＜3m．
当m=3时，q：3＜x＜9．
∵p，q都为真，∴3＜x＜5；
（2）p：2＜x＜5，q：m＜x＜3m
∵p是q的充分不必要条件，
∴，解得．
∴实数m的取值范围是[，2]．
【点睛】
本题考查充分必要条件的判定，考查复合命题的真假判断，是基础题．
19．等差数列的各项均为正数，,前n项和为．等比数列 中，，且,．
（1）求数列与的通项公式；
（2）求．
【答案】（1），；（2）
【解析】（1）由题意,要求数列与的通项公式,只需求公差，公比,因此可将公差,公比分别设为d，q,然后根据等差数列的前项和公式,代入,,求出d，q即可写出数列与的通项公式．
（2）由（1）可得,即,而要求,故结合的特征可变形为,代入化简即可．
【详解】
（1）设等差数列的公差为d，d＞0，的等比为q
则 ,,
依题意有，解得或（舍去）
故,
（2）由（1）可得
∴
∴
=．
【点睛】
本题第一问主要考查了求数列的通项公式,较简单,只要能写出的表达式,然后代入题中的条件正确计算即可得解,但要注意d＞0．第二问考查了求数列的前n项和，关键是要分析数列通项的特征,将等价变形为,然后代入计算，这也是求数列前n项和的一种常用方法--裂项相消法！
20．为迎接2018年省运会，宁德市某体育馆需要重新铺设塑胶跑道．已知每毫米厚的跑道的铺设成本为10万元，跑道平均每年的维护费C（单位：万元）与跑道厚度x（单位：毫米）的关系为C（x）=，x∈[10，15]．若跑道厚度为10毫米，则平均每年的维护费需要9万元．设总费用f（x）为跑道铺设费用与10年维护费之和．
（1）求k的值与总费用f（x）的表达式；
（2）塑胶跑道铺设多厚时，总费用f（x）最小，并求最小值．
【答案】（1）；（2）当毫米时，总费用最小，最小值为180万元．
【解析】（1）依题意，x=10时，C（10）=，求得k值，得到C（x）=，则f（x）的解析式可求；
（2）由（1）得f（x）=10x+，变形后利用基本不等式求最值．
【详解】
（1）依题意，x=10时，C（10）=，解得k=36，
∴C（x）=，则f（x）=10x+=10x+，x∈[10，15]；
（2）由（1）得f（x）=10x+=10x-60+，
=10（x-6）+，
当且仅当10（x-6）=，即x=12时取最小值，
答：当x=12毫米时，总费用f（x）最小，最小值为180万元．
【点睛】
本题考查简单的数学建模思想方法，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．
21．在平面直角坐标系 中，椭圆 的中心为坐标原点，左焦点为F1（﹣1，0），离心率．
（1）求椭圆G 的标准方程；
（2）已知直线 与椭圆 交于 两点，直线 与椭圆 交于 两点，且 ，如图所示．
①证明： ；
②求四边形 的面积 的最大值．
【答案】（1） （2）①见解析②
【解析】试题分析：
(1)由题意结合椭圆的性质可求得，则，椭圆方程为;
(2)设出点的坐标：A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），
①联立直线方程与椭圆的方程，结合弦长公式求得弦长，结合|AB|=|CD|得到关于实数m的等式，整理所得的等式可得m1+m2=0；
②由题意求得面积函数，结合均值不等式的结论可知当2k2+1=2m12时，四边形ABCD 的面积S 的最大值为.
试题解析：
（1）设椭圆G的方程为（a＞b＞0）
∵左焦点为F1（﹣1，0），离心率e=．∴c=1，a=，
b2=a2﹣c2=1
椭圆G 的标准方程为：．
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）
①证明：由消去y得（1+2k2）x2+4km1x+2m12﹣2=0
，
x1+x2=，x1x2=；
|AB|==2；
同理|CD|=2，
由|AB|=|CD|得2=2，
∵m1≠m2，∴m1+m2=0
②四边形ABCD 是平行四边形，设AB，CD间的距离d=
∵m1+m2=0，∴
∴s=|AB|×d=2×
=.
所以当2k2+1=2m12时，四边形ABCD 的面积S 的最大值为2
点睛：(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．
(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．
22．已知数列的前n项和为,（n∈N）．
（1）证明数列是等比数列，求出数列的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和；
（3）数列中是否存在三项，它们可以构成等差数列？若存在，求出一组符合条件的项；若不存在，说明理由.
【答案】（1）证明见解析，；（2）；（3）不存在满足条件的三项
【解析】（1）由已知数列递推式可得数列是等比数列，结合等比数列的通项公式求得数列的通项公式；
（2）把数列的通项公式代入，然后利用错位相减法求数列的前项和；
（3）假设存在，且，使得成等差数列，然后推出矛盾可得假设不成立,从而可得不存在满足条件的三项．
【详解】
（1）证明：∵，∴，
则，∴，
即，
∴数列是公比为2的等比数列，
,，则，
∴；
（2）解：，
，
令，①
，②
①-②得，，
，
∴；
（3）解：设存在，且，使得成等差数列，
则，
即，
即，，
∵为偶数，为奇数，
∴不成立，故不存在满足条件的三项．
【点睛】
本题考查数列递推式，训练了错位相减法求数列的和，考查数列的函数特性，训练了学生的逻辑思维能力与推理运算能力，是中档题．
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