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  • 2021-06-20 发布

2019高三数学理北师大版一轮课时分层训练57 定点、定值、范围、最值问题

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课时分层训练(五十七) 定点、定值、范围、最值问题 ‎(对应学生用书第308页)‎ ‎1.(2017·山西临汾一中月考)已知椭圆C:+y2=1(a>0),过椭圆C的右顶点和上顶点的直线与圆x2+y2=相切.‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)设M是椭圆C的上顶点,过点M分别作直线MA,MB交椭圆C于A,B两点,设这两条直线的斜率分别为k1,k2,且k1+k2=2,证明:直线AB过定点.‎ ‎[解] (1)∵直线过点(a,0)和(0,1),∴直线的方程为x+ay-a=0,∵直线与圆x2+y2=相切,∴=,解得a2=2,∴椭圆C的方程为+y2=1.‎ ‎(2)证明:当直线AB的斜率不存在时,设A(x0,y0),则B(x0,-y0),由k1+k2=2得+=2,解得x0=-1.当直线AB的斜率存在时,设AB的方程为y=kx+m(m≠1),A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 由⇒(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0,得x1+x2=,x1·x2=,由k1+k2=2⇒+=2⇒=2,‎ 即(2-2k)x1x2=(m-1)(x1+x2)⇒(2-2k)(2m2-2)=(m-1)(-4km),即(1-k)(m2-1)=-km(m-1),‎ 由m≠1,得(1-k)(m+1)=-km⇒k=m+1,即y=kx+m=(m+1)x+m⇒m(x ‎+1)=y-x,‎ 故直线AB过定点(-1,-1).‎ 综上,直线AB过定点(-1,-1).‎ ‎2.(2018·云南二检)已知点A,B是椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右顶点,F为左焦点,点P是椭圆上异于A,B的任意一点.直线AP与过点B且垂直于x轴的直线l交于点M,直线MN⊥BP于点N.‎ ‎(1)求证:直线AP与直线BP的斜率之积为定值;‎ ‎(2)若直线MN过焦点F,=λ(λ∈R),求实数λ的值. ‎ ‎【导学号:79140311】‎ ‎[解] (1)证明:设P(x0,y0)(x0≠±a),‎ 由已知A(-a,0),B(a,0),‎ ‎∴kAP·kBP=·=. ①‎ ‎∵点P在椭圆上,∴+=1. ②‎ 由①②得kAP·kBP===-.‎ ‎∴直线AP与直线BP的斜率之积为定值-.‎ ‎(2)设直线AP与BP的斜率分别为k1,k2,由已知F(-c,0),直线AP的方程为y=k1(x+a),‎ 直线l的方程为x=a,则M(a,2ak1).‎ ‎∵MN⊥BP,∴kMN·k2=-1.‎ 由(1)知k1·k2=-,∴kMN=·k1.‎ 又F,N,M三点共线,得kMF=kMN,‎ 即=k1,得2b2=a(a+c).‎ ‎∵b2=a2-c2,‎ ‎∴2(a2-c2)=a2+ac,化简整理得2c2+ac-a2=0,‎ 即2+-1=0,解得=或=-1(舍去).‎ ‎∴a=2c.‎ 由=λ,得(a-c,0)=λ(a+c,0),‎ 将a=2c代入,得(c,0)=λ(3c,0),即c=3λc,‎ ‎∴λ=.‎ ‎3.(2018·呼和浩特一调)已知抛物线C1的方程为y2=4x,椭圆C2与抛物线C1有公共的焦点,且C2的中心在坐标原点,过点M(4,0)的直线l与抛物线C1分别交于A,B两点.‎ ‎(1)若=,求直线l的方程;‎ ‎(2)若坐标原点O关于直线l的对称点P在抛物线C1上,直线l与椭圆C2有公共点,求椭圆C2的长轴长的最小值. ‎ ‎【导学号:79140312】‎ ‎[解] (1)当直线l的斜率不存在时,l⊥x轴,=与已知=矛盾,所以直线l的斜率必存在.‎ 设直线l的斜率为k(k≠0),‎ 则直线l的方程为y=k(x-4).‎ 联立消去x,‎ 得ky2-4y-16k=0,所以Δ=16+64k2>0.‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2),则 又因为=,‎ 所以(4-x1,-y1)=(x2-4,y2),‎ 即y1=-y2.   ③‎ 由式①②③消去y1,y2,得k2=2,即k=或k=-,‎ 故直线l的方程为y=x-4或y=-x+4.‎ ‎(2)设P(m,n),则OP的中点为.‎ 因为O,P两点关于直线y=k(x-4)对称,‎ 所以 解得 将其代入抛物线方程,得=4·.‎ 所以k2=1.‎ 设椭圆的方程为+=1(a>b>0),‎ 则a2-b2=1,即b2=a2-1.‎ 联立消去y,‎ 得(b2+a2k2)x2-8k2a2x+16a2k2-a2b2=0.‎ 因为直线与椭圆有交点,‎ 所以Δ=(-8k2a2)2-4(b2+a2k2)(16a2k2-a2b2)≥0.‎ 化简整理得Δ=4a2b2(b2+a2k2-16k2)‎ ‎ =4a2(a2-1)(2a2-17)≥0.‎ 所以(a2-1)(2a2-17)≥0.‎ 因为a2=b2+1>1,所以2a2≥17.‎ 所以2a≥,‎ 因此椭圆C2的长轴长的最小值为.‎ ‎4.(2016·全国卷Ⅱ)已知椭圆E:+=1的焦点在x轴上,A是E的左顶点,斜率为k(k>0)的直线交E于A,M两点,点N在E上,MA⊥NA.‎ ‎(1)当t=4,|AM|=|AN|时,求△AMN的面积;‎ ‎(2)当2|AM|=|AN|时,求k的取值范围.‎ ‎[解] 设M(x1,y1),则由题意知y1>0.‎ ‎(1)当t=4时,E的方程为+=1,A(-2,0).‎ 由已知及椭圆的对称性知,直线AM的倾斜角为.‎ 因此直线AM的方程为y=x+2.‎ 将x=y-2代入+=1得7y2-12y=0.‎ 解得y=0或y=,所以y1=.‎ 因此△AMN的面积S△AMN=2×××=.‎ ‎(2)由题意t>3,k>0,A(-,0).‎ 将直线AM的方程y=k(x+)代入+=1得 ‎(3+tk2)x2+2·tk2x+t2k2-3t=0.‎ 由x1·(-)=得x1=,‎ 故|AM|=|x1+|=.‎ 由题设,直线AN的方程为y=-(x+),‎ 故同理可得|AN|=.‎ 由2|AM|=|AN|得=,‎ 即(k3-2)t=3k(2k-1).‎ 当k=时上式不成立,因此t=.‎ t>3等价于=<0,‎ 即<0.‎ 由此得或解得<k<2.‎ 因此k的取值范围是(,2).‎

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