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- 2021-06-20 发布
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课时分层训练(五十七) 定点、定值、范围、最值问题
(对应学生用书第308页)
1.(2017·山西临汾一中月考)已知椭圆C:+y2=1(a>0),过椭圆C的右顶点和上顶点的直线与圆x2+y2=相切.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设M是椭圆C的上顶点,过点M分别作直线MA,MB交椭圆C于A,B两点,设这两条直线的斜率分别为k1,k2,且k1+k2=2,证明:直线AB过定点.
[解] (1)∵直线过点(a,0)和(0,1),∴直线的方程为x+ay-a=0,∵直线与圆x2+y2=相切,∴=,解得a2=2,∴椭圆C的方程为+y2=1.
(2)证明:当直线AB的斜率不存在时,设A(x0,y0),则B(x0,-y0),由k1+k2=2得+=2,解得x0=-1.当直线AB的斜率存在时,设AB的方程为y=kx+m(m≠1),A(x1,y1),B(x2,y2),
由⇒(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0,得x1+x2=,x1·x2=,由k1+k2=2⇒+=2⇒=2,
即(2-2k)x1x2=(m-1)(x1+x2)⇒(2-2k)(2m2-2)=(m-1)(-4km),即(1-k)(m2-1)=-km(m-1),
由m≠1,得(1-k)(m+1)=-km⇒k=m+1,即y=kx+m=(m+1)x+m⇒m(x
+1)=y-x,
故直线AB过定点(-1,-1).
综上,直线AB过定点(-1,-1).
2.(2018·云南二检)已知点A,B是椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右顶点,F为左焦点,点P是椭圆上异于A,B的任意一点.直线AP与过点B且垂直于x轴的直线l交于点M,直线MN⊥BP于点N.
(1)求证:直线AP与直线BP的斜率之积为定值;
(2)若直线MN过焦点F,=λ(λ∈R),求实数λ的值.
【导学号:79140311】
[解] (1)证明:设P(x0,y0)(x0≠±a),
由已知A(-a,0),B(a,0),
∴kAP·kBP=·=. ①
∵点P在椭圆上,∴+=1. ②
由①②得kAP·kBP===-.
∴直线AP与直线BP的斜率之积为定值-.
(2)设直线AP与BP的斜率分别为k1,k2,由已知F(-c,0),直线AP的方程为y=k1(x+a),
直线l的方程为x=a,则M(a,2ak1).
∵MN⊥BP,∴kMN·k2=-1.
由(1)知k1·k2=-,∴kMN=·k1.
又F,N,M三点共线,得kMF=kMN,
即=k1,得2b2=a(a+c).
∵b2=a2-c2,
∴2(a2-c2)=a2+ac,化简整理得2c2+ac-a2=0,
即2+-1=0,解得=或=-1(舍去).
∴a=2c.
由=λ,得(a-c,0)=λ(a+c,0),
将a=2c代入,得(c,0)=λ(3c,0),即c=3λc,
∴λ=.
3.(2018·呼和浩特一调)已知抛物线C1的方程为y2=4x,椭圆C2与抛物线C1有公共的焦点,且C2的中心在坐标原点,过点M(4,0)的直线l与抛物线C1分别交于A,B两点.
(1)若=,求直线l的方程;
(2)若坐标原点O关于直线l的对称点P在抛物线C1上,直线l与椭圆C2有公共点,求椭圆C2的长轴长的最小值.
【导学号:79140312】
[解] (1)当直线l的斜率不存在时,l⊥x轴,=与已知=矛盾,所以直线l的斜率必存在.
设直线l的斜率为k(k≠0),
则直线l的方程为y=k(x-4).
联立消去x,
得ky2-4y-16k=0,所以Δ=16+64k2>0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则
又因为=,
所以(4-x1,-y1)=(x2-4,y2),
即y1=-y2. ③
由式①②③消去y1,y2,得k2=2,即k=或k=-,
故直线l的方程为y=x-4或y=-x+4.
(2)设P(m,n),则OP的中点为.
因为O,P两点关于直线y=k(x-4)对称,
所以
解得
将其代入抛物线方程,得=4·.
所以k2=1.
设椭圆的方程为+=1(a>b>0),
则a2-b2=1,即b2=a2-1.
联立消去y,
得(b2+a2k2)x2-8k2a2x+16a2k2-a2b2=0.
因为直线与椭圆有交点,
所以Δ=(-8k2a2)2-4(b2+a2k2)(16a2k2-a2b2)≥0.
化简整理得Δ=4a2b2(b2+a2k2-16k2)
=4a2(a2-1)(2a2-17)≥0.
所以(a2-1)(2a2-17)≥0.
因为a2=b2+1>1,所以2a2≥17.
所以2a≥,
因此椭圆C2的长轴长的最小值为.
4.(2016·全国卷Ⅱ)已知椭圆E:+=1的焦点在x轴上,A是E的左顶点,斜率为k(k>0)的直线交E于A,M两点,点N在E上,MA⊥NA.
(1)当t=4,|AM|=|AN|时,求△AMN的面积;
(2)当2|AM|=|AN|时,求k的取值范围.
[解] 设M(x1,y1),则由题意知y1>0.
(1)当t=4时,E的方程为+=1,A(-2,0).
由已知及椭圆的对称性知,直线AM的倾斜角为.
因此直线AM的方程为y=x+2.
将x=y-2代入+=1得7y2-12y=0.
解得y=0或y=,所以y1=.
因此△AMN的面积S△AMN=2×××=.
(2)由题意t>3,k>0,A(-,0).
将直线AM的方程y=k(x+)代入+=1得
(3+tk2)x2+2·tk2x+t2k2-3t=0.
由x1·(-)=得x1=,
故|AM|=|x1+|=.
由题设,直线AN的方程为y=-(x+),
故同理可得|AN|=.
由2|AM|=|AN|得=,
即(k3-2)t=3k(2k-1).
当k=时上式不成立,因此t=.
t>3等价于=<0,
即<0.
由此得或解得<k<2.
因此k的取值范围是(,2).