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- 2021-06-20 发布
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必修四 2.2.2向量减法运算及其几何意义
一、选择题
1、边长为1的正三角形ABC中,|-|的值为( )
A.1 B.2 C. D.
2、若||=5,||=8,则||的取值范围是( )
A.[3,8] B.(3,8)
C.[3,13] D.(3,13)
3、在平行四边形ABCD中,|+|=|-|,则有( )
A. =0 B. =0或=0
C.ABCD是矩形 D.ABCD是菱形
4、若O,E,F是不共线的任意三点,则以下各式中成立的是( )
A.=+ B.=-
C.=-+ D.=--
5、化简-++的结果等于( )
A. B. C. D.
6、在如图四边形ABCD中,设=a,=b,=c,则等于( )
A.a-b+c
B.b-(a+c)
C.a+b+c
D.b-a+c
二、填空题
7、已知非零向量a,b满足|a|=+1,|b|=-1,且|a-b|=4,则 |a+b|=________.
8、如图所示,已知O到平行四边形的三个顶点A、B、C的向量分别为a,b,c,则=____________(用a,b,c表示).
9、化简(-)-(-)的结果是________.
10、如图所示,在梯形ABCD中,AD∥BC,AC与BD交于O点,则--++=________.
三、解答题
11、如图所示,O为△ABC的外心,H为垂心,求证:=++.
12、在平行四边形ABCD中,=a,=b,先用a,b表示向量和,并回答:当a,b分别满足什么条件时,四边形ABCD为矩形、菱形、正方形?
13、如图所示,已知正方形ABCD的边长等于1,=a,=b,=c,试作出下列向量并分别求出其长度,
(1)a+b+c; (2)a-b+c.
14、如图所示,O是平行四边形ABCD的对角线AC、BD的交点,设=a,=b,=c,求证:b+c-a=.
以下是答案
一、选择题
1、D [
如图所示,延长CB到点D,使BD=1,连结AD,则-=+
=+=.
在△ABD中,AB=BD=1,
∠ABD=120°,易求AD=,
∴|-|=.]
2、C [∵||=|-|且
|||-|||≤|-|≤|A|+||.
∴3≤|-|≤13.
∴3≤||≤13.]
3、C [+与-分别是平行四边形ABCD的两条对角线,且|+|=|-|,
∴ABCD是矩形.]
4、B
5、B
6、A
二、填空题
7、4
解析 如图所示.
设O=a,O=b,则|B|=|a-b|.
以OA与OB为邻边作平行四边形OACB,
则|O|=|a+b|.由于(+1)2+(-1)2=42.
故|O|2+|O|2=|B|2,
所以△OAB是∠AOB为90°的直角三角形,
从而OA⊥OB,所以▱OACB是矩形,
根据矩形的对角线相等有|O|=|B|=4,
即|a+b|=4.
8、a-b+c
解析 =+=+=+-=a+c-b=a-b+c.
9、0
解析 方法一 (-)-(-)
=--+
=+++
=(+)+(+)
=+=0.
方法二 (-)-(-)
=--+
=(-)+(-)
=+=0.
10、
三、解答题
11、证明 作直径BD,连接DA、DC,则=-,
DA⊥AB,AH⊥BC,CH⊥AB,CD⊥BC.
∴CH∥DA,AH∥DC,
故四边形AHCD是平行四边形.
∴=,
又=-=+,
∴=+=+=++.
12、解 由向量加法的平行四边形法则,得=a+b,
=-=a-b.
则有:当a,b满足|a+b|=|a-b|时,平行四边形两条对角线相等,四边形ABCD为矩形;
当a,b满足|a|=|b|时,平行四边形的两条邻边相等,四边形ABCD为菱形;
当a,b满足|a+b|=|a-b|且|a|=|b|时,四边形ABCD为正方形.
13、解 (1)由已知得a+b=+=,
又=c,∴延长AC到E,
使||=||.
则a+b+c=,且||=2.
∴|a+b+c|=2.
(2)作=,连接CF,
则+=,
而=-=a-=a-b,
∴a-b+c=+=且||=2.
∴|a-b+c|=2.
14、证明 方法一 ∵b+c=+=+=,
+a=+=,
∴b+c=+a,即b+c-a=.
方法二 ∵c-a=-=-=,
=+=-b,
∴c-a=-b,即b+c-a=.