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  • 2021-06-20 发布

高中数学必修4同步练习:向量减法运算及其几何意义

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必修四 2.2.2向量减法运算及其几何意义 一、选择题 ‎1、边长为1的正三角形ABC中,|-|的值为(  )‎ A.1 B.‎2 C. D. ‎2、若||=5,||=8,则||的取值范围是(  )‎ A.[3,8] B.(3,8)‎ C.[3,13] D.(3,13)‎ ‎3、在平行四边形ABCD中,|+|=|-|,则有(  )‎ A. =0 B. =0或=0‎ C.ABCD是矩形 D.ABCD是菱形 ‎4、若O,E,F是不共线的任意三点,则以下各式中成立的是(  )‎ A.=+ B.=-‎ C.=-+ D.=--‎ ‎5、化简-++的结果等于(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎6、在如图四边形ABCD中,设=a,=b,=c,则等于(  )‎ A.a-b+c B.b-(a+c)‎ C.a+b+c D.b-a+c 二、填空题 ‎7、已知非零向量a,b满足|a|=+1,|b|=-1,且|a-b|=4,则 |a+b|=________.‎ ‎8、如图所示,已知O到平行四边形的三个顶点A、B、C的向量分别为a,b,c,则=____________(用a,b,c表示).‎ ‎9、化简(-)-(-)的结果是________.‎ ‎10、如图所示,在梯形ABCD中,AD∥BC,AC与BD交于O点,则--++=________.‎ 三、解答题 ‎11、如图所示,O为△ABC的外心,H为垂心,求证:=++.‎ ‎12、在平行四边形ABCD中,=a,=b,先用a,b表示向量和,并回答:当a,b分别满足什么条件时,四边形ABCD为矩形、菱形、正方形?‎ ‎13、如图所示,已知正方形ABCD的边长等于1,=a,=b,=c,试作出下列向量并分别求出其长度,‎ ‎(1)a+b+c; (2)a-b+c.‎ ‎14、如图所示,O是平行四边形ABCD的对角线AC、BD的交点,设=a,=b,=c,求证:b+c-a=.‎ 以下是答案 一、选择题 ‎1、D [‎ 如图所示,延长CB到点D,使BD=1,连结AD,则-=+‎ ‎=+=.‎ 在△ABD中,AB=BD=1,‎ ‎∠ABD=120°,易求AD=,‎ ‎∴|-|=.]‎ ‎2、C [∵||=|-|且 ‎|||-|||≤|-|≤|A|+||.‎ ‎∴3≤|-|≤13.‎ ‎∴3≤||≤13.]‎ ‎3、C [+与-分别是平行四边形ABCD的两条对角线,且|+|=|-|,‎ ‎∴ABCD是矩形.]‎ ‎4、B ‎5、B ‎ ‎6、A ‎ 二、填空题 ‎7、4‎ 解析 如图所示.‎ 设O=a,O=b,则|B|=|a-b|.‎ 以OA与OB为邻边作平行四边形OACB,‎ 则|O|=|a+b|.由于(+1)2+(-1)2=42.‎ 故|O|2+|O|2=|B|2,‎ 所以△OAB是∠AOB为90°的直角三角形,‎ 从而OA⊥OB,所以▱OACB是矩形,‎ 根据矩形的对角线相等有|O|=|B|=4,‎ 即|a+b|=4.‎ ‎8、a-b+c 解析 =+=+=+-=a+c-b=a-b+c.‎ ‎9、0‎ 解析 方法一 (-)-(-)‎ ‎=--+‎ ‎=+++‎ ‎=(+)+(+)‎ ‎=+=0.‎ 方法二 (-)-(-)‎ ‎=--+‎ ‎=(-)+(-)‎ ‎=+=0.‎ ‎10、‎ 三、解答题 ‎11、证明 作直径BD,连接DA、DC,则=-,‎ DA⊥AB,AH⊥BC,CH⊥AB,CD⊥BC.‎ ‎∴CH∥DA,AH∥DC,‎ 故四边形AHCD是平行四边形.‎ ‎∴=,‎ 又=-=+,‎ ‎∴=+=+=++.‎ ‎12、解 由向量加法的平行四边形法则,得=a+b,‎ ‎=-=a-b.‎ 则有:当a,b满足|a+b|=|a-b|时,平行四边形两条对角线相等,四边形ABCD为矩形;‎ 当a,b满足|a|=|b|时,平行四边形的两条邻边相等,四边形ABCD为菱形;‎ 当a,b满足|a+b|=|a-b|且|a|=|b|时,四边形ABCD为正方形.‎ ‎13、解 (1)由已知得a+b=+=,‎ 又=c,∴延长AC到E,‎ 使||=||.‎ 则a+b+c=,且||=2.‎ ‎∴|a+b+c|=2.‎ ‎(2)作=,连接CF,‎ 则+=,‎ 而=-=a-=a-b,‎ ‎∴a-b+c=+=且||=2.‎ ‎∴|a-b+c|=2.‎ ‎14、证明 方法一 ∵b+c=+=+=,‎ ‎+a=+=,‎ ‎∴b+c=+a,即b+c-a=.‎ 方法二 ∵c-a=-=-=,‎ ‎=+=-b,‎ ‎∴c-a=-b,即b+c-a=.‎

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