高中数学必修2同步练习：模块综合检测(A) 9页

必修二 模块综合检测(A)‎ 一、选择题 ‎1、在平面直角坐标系中，与点A(1,2)距离为1，且与点B(3,1)的距离为2的直线共有(　　)‎ A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 ‎2、给出下列四个命题：‎ ‎①垂直于同一直线的两条直线互相平行；‎ ‎②垂直于同一平面的两个平面互相平行；‎ ‎③若直线l1，l2与同一平面所成的角相等，则l1，l2互相平行；‎ ‎④若直线l1，l2是异面直线，则与l1，l2都相交的两条直线是异面直线．‎ 其中假命题的个数是(　　)‎ A．1 B．‎2 ‎ C．3 D．4‎ ‎3、方程y＝ax＋表示的直线可能是(　　)‎ ‎4、若l、m、n是互不相同的空间直线，α、β是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是(　　)‎ A．若α∥β，l⊂α，n⊂β，则l∥n B．若α⊥β，l⊂α，则l⊥β C．若l⊥n，m⊥n，则l∥m D．若l⊥α，l∥β，则α⊥β ‎5、已知三棱锥S—ABC的各顶点都在一个半径为r的球面上，球心O在AB上，SO⊥底面ABC，AC＝r，则球的体积与三棱锥体积之比是(　　)‎ A．π B．2π C．3π D．4π ‎6、如图，在正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，E、F、G、H分别为AA1、AB、BB1、B‎1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于(　　)‎ A．45° B．60°‎ C．90° D．120°‎ ‎7、直线x－2y＋1＝0关于直线x＝1对称的直线方程是(　　)‎ A．x＋2y－1＝0 B．2x＋y－1＝0‎ C．2x＋y－3＝0 D．x＋2y－3＝0‎ ‎8、以等腰直角三角形ABC斜边BC上的高AD为折痕，将△ABC折成二面角C－AD－B为多大时，在折成的图形中，△ABC为等边三角形．(　　)‎ A．90° B．60° C．45° D．30°‎ ‎9、经过点M(1,1)且在两坐标轴上截距相等的直线是(　　)‎ A．x＋y＝2 B．x＋y＝1‎ C．x＝1或y＝1 D．x＋y＝2或x＝y ‎10、直线x＝tan 60°的倾斜角是(　　)‎ A．90° B．60°‎ C．30° D．不存在 ‎11、直线x＋y－2＝0截圆x2＋y2＝4得的劣弧所对的圆心角是(　　)‎ A．30° B．45° C．60° D．90°‎ ‎12、若圆x2＋y2－2x－4y＝0的圆心到直线x－y＋a＝0的距离为，则a的值为(　　)‎ A．－2或2 B．或 C．2或0 D．－2或0‎ 二、填空题 ‎13、已知点A(－2,3,4)，在y轴上有一点B，且|AB|＝3，则点B的坐标为________．‎ ‎14、圆x2＋y2＋x－6y＋3＝0上两点P、Q关于直线kx－y＋4＝0对称，则k＝________．‎ ‎15、如图，某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积为________．‎ ‎16、已知圆C：x2＋y2－4x－6y＋8＝0，若圆C和坐标轴的交点间的线段恰为圆C′直径，则圆C′的标准方程为__________________．‎ 三、解答题 ‎17、如图所示，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是半径为R的圆的内接四边形，其中BD是圆的直径，∠ABD＝60°，∠BDC＝45°．PD垂直底面ABCD，PD＝2R，E，F分别是PB，CD上的点，且＝，过点E作BC的平行线交PC于G．‎ ‎(1)求BD与平面ABP所成角θ的正弦值；‎ ‎(2)证明：△EFG是直角三角形；‎ ‎(3)当＝时，求△EFG的面积．‎ ‎18、已知△ABC三边所在直线方程为AB：3x＋4y＋12＝0，BC：4x－3y＋16＝0，CA：2x＋y－2＝0．求AC边上的高所在的直线方程．‎ ‎19、求经过点P(6，－4)且被定圆O：x2＋y2＝20截得的弦长为6的直线AB的方程．‎ ‎20、如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，E为侧棱PC的中点，求证PA∥平面EDB．‎ ‎21、如图所示，在四棱柱(侧棱垂直于底面的四棱柱)ABCD－A1B‎1C1D1中，已知DC＝DD1＝2AD＝2AB，AD⊥DC，AB∥DC．‎ ‎(1)求证D‎1C⊥AC1；‎ ‎(2)设E是DC上一点，试确定E的位置，使D1E∥平面A1BD，并说明理由．‎ ‎22、已知M与两定点O(0,0)、A(3,0)的距离之比为．‎ ‎(1)求M点的轨迹方程；‎ ‎(2)若M的轨迹为曲线C，求C关于直线2x＋y－4＝0对称的曲线C′的方程．‎ 以下是答案 一、选择题 ‎1、B　[满足要求的直线应为圆心分别为A、B，半径为1和2的两圆的公切线，而圆A与圆B相交，所以公切线有两条．]‎ ‎2、D　[①忽视两直线可以相交，②可以相交、平行，③l1、l2可以异面、相交，④与l1、l2都相交的两直线可以相交，故选D．]‎ ‎3、B　[注意到直线的斜率a与在y轴上的截距同号，故B正确．]‎ ‎4、D ‎5、D　[∵SO⊥底面ABC，∴SO为三棱锥的高线，‎ ‎∴SO＝r，‎ 又∵O在AB上，AB＝2r，AC＝r，∠ACB＝90°‎ ‎∴BC＝r，∴VS－ABC＝××r×r×r＝r3．‎ 又∵球的体积V＝πr3，‎ ‎∴＝＝4π．]‎ ‎6、B　[连接A1B，BC1，A‎1C1，‎ ‎∵E、F、G、H分别为AA1、AB、BB1、B‎1C1的中点，‎ ‎∴EF∥A1B，GH∥BC1，‎ ‎∴∠A1BC1即为异面直线EF与GH所成的角．‎ 又∵ABCD—A1B‎1C1D1是正方体 ‎∴A1B＝BC1＝A‎1C1，‎ ‎∴∠A1BC1＝60°．]‎ ‎7、D　[直线x－2y＋1＝0与x＝1的交点为A(1,1)，点(－1,0)关于x＝1的对称点为B(3,0)也在所求直线上，∴所求直线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋2y－3＝0．]‎ ‎8、A　[‎ 关键利用折叠前后不变的垂直关系，如图所示，可知∠BDC为二面角的平面角，设 BD＝CD＝a，则可求BC＝AB＝AC＝a，故∠BDC＝90°．]‎ ‎9、D　[截距相等问题关键不要忽略过原点的情况．]‎ ‎10、A ‎11、C　[可先求出圆心到直线的距离d＝，由于半径为2，设圆心角为θ，则知 cos＝，∴θ＝60°．]‎ ‎12、C　[圆的方程可化为(x－1)2＋(y－2)2＝5，‎ 则圆心为(1,2)．‎ 由点到直线的距离公式得d＝＝，‎ 解得a＝2或0．]‎ 二、填空题 ‎13、(0,8,0)或(0，－2,0)‎ ‎14、2‎ 解析　由已知可知PQ的垂直平分线为kx－y＋4＝0，‎ ‎∴直线kx－y＋4＝0过圆心，‎ ‎∴－k＋1＝0，k＝2．‎ ‎15、π 解析　由三视图可知，该几何体是半个圆锥，底面半径为1，高为，故体积为π×12×＝π．‎ ‎16、x2＋(y－3)2＝1‎ 解析　圆C：x2＋y2－4x－6y＋8＝0与x轴没有交点，只与y轴相交，取x＝0，得y2－6y＋8＝0解得两交点分别为(0,2)和(0,4)，由此得圆C′的圆心坐标为(0,3)，半径为1，所以标准方程为x2＋(y－3)2＝1．‎ 三、解答题 ‎17、(1)解　在Rt△BAD中，‎ ‎∵∠ABD＝60°，∴AB＝R，AD＝R．‎ 而PD垂直底面ABCD，‎ PA＝＝＝R，‎ PB＝＝＝2R．‎ 在△PAB中，PA2＋AB2＝PB2，即△PAB是以∠PAB为直角的三角形，设点D到面PAB的距离为h，‎ 由VP—ABD＝VD—PAB有PA·AB·h＝AB·AD·PD，‎ 即h＝＝＝R，‎ ‎∴sin θ＝＝．‎ ‎(2)证明　∵EG∥BC，∴＝．而＝，‎ ‎∴＝，∴GF∥PD，‎ ‎∴GF⊥BC．而BC∥EG，‎ ‎∴GF⊥EG，‎ ‎∴△EFG是直角三角形．‎ ‎(3)解　当＝时，＝＝，＝＝，‎ 即EG＝BC＝×2R×sin45°＝R，‎ GF＝PD＝×2R＝R，‎ ‎∴S△EFG＝EG·GF＝×R×R＝R2．‎ ‎18、解　由，‎ 解得交点B(－4,0)，‎ ‎∵BD⊥AC，∴kBD＝－＝，‎ ‎∴AC边上的高线BD的方程为 y＝(x＋4)，即x－2y＋4＝0．‎ ‎19、解　由题意知，直线AB的斜率存在，且|AB|＝6，OA＝2，作OC⊥AB于C．‎ 在Rt△OAC中，|OC|＝＝．‎ 设所求直线的斜率为k，‎ 则直线的方程为y＋4＝k(x－6)，‎ 即kx－y－6k－4＝0．‎ ‎∵圆心到直线的距离为，‎ ‎∴＝，即17k2＋24k＋7＝0，‎ ‎∴k＝－1或k＝－．‎ 故所求直线的方程为x＋y－2＝0或7x＋17y＋26＝0．‎ ‎20、证明　‎ 如图所示，连接AC，BD，交于点O，连接EO，因为四边形ABCD为正方形，所以O为AC的中点，又E为PC的中点，所以OE为△PAC的中位线，所以EO∥PA，又EO⊂平面EDB，且PA⊄平面EDB，所以PA∥平面EDB．‎ ‎21、(1)证明　‎ 在直四棱柱ABCD－A1B‎1C1D1中，连接C1D，‎ ‎∵DC＝DD1，‎ ‎∴四边形DCC1D1是正方形，‎ ‎∴DC1⊥D‎1C．‎ 又AD⊥DC，AD⊥DD1，DC∩DD1＝D，‎ ‎∴AD⊥平面DCC1D1，D‎1C⊂平面DCC1D1，‎ ‎∴AD⊥D‎1C．‎ ‎∵AD，DC1⊂平面ADC1，且AD∩DC1＝D，‎ ‎∴D‎1C⊥平面ADC1，‎ 又AC1⊂平面ADC1，‎ ‎∴D‎1C⊥AC1．‎ ‎(2)解　‎ 在DC上取一点E，连接AD1，AE，设AD1∩A1D＝M，BD∩AE＝N，连接MN，‎ ‎∵平面AD1E∩平面A1BD＝MN，要使D1E∥平面A1BD，须使MN∥D1E，又M是AD1的中点．‎ ‎∴N是AE的中点．‎ 又易知△ABN≌△EDN，‎ ‎∴AB＝DE．‎ 即E是DC的中点．‎ 综上所述，当E是DC的中点时，可使D1E∥平面A1BD．‎ ‎22、解　(1)设M坐标为(x，y)，由题意得＝，整理得(x＋1)2＋y2＝4．‎ 所以M点的轨迹方程为(x＋1)2＋y2＝4．‎ ‎(2)因为曲线C：(x＋1)2＋y2＝4，‎ 所以C关于直线2x＋y－4＝0对称的曲线C′是与C半径相同的圆，故只需求C′的圆心坐标即可，设C′的圆心坐标(x0，y0)．‎ 由题意得，解得．‎ 故曲线C′的方程为2＋2＝4．‎