数学卷·2018届广东省东莞市麻涌中学高二上学期第一次月考数学试卷 （解析版） 16页

‎2016-2017学年广东省东莞市麻涌中学高二（上）第一次月考数学试卷 ‎　‎ 一．选择题.（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．）‎ ‎1．数列的通项公式an=（　　）‎ A．an= B．an= C． D．‎ ‎2．已知数列{an}满足an+1=an+3，a1=0，则数列{an}的通项公式可以是（　　）‎ A．n B．2n C．3n﹣3 D．3n+3‎ ‎3．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若A=60°，a=4，b=4，则B=（　　）‎ A．45°或135° B．135°‎ C．45° D．以上答案都不对 ‎4．如果等差数列{an}中，a1=2，a3+a4=9，那么a7=（　　）‎ A．21 B．28 C．8 D．14‎ ‎5．△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若角A，B，C依次成等差数列，且，则S△ABC等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．设数列{an}是等差数列，a2=﹣6，a8=6，Sn是数列{an}的前n项和，则（　　）‎ A．S4＜S5 B．S4=S5 C．S6＜S5 D．S6=S5‎ ‎7．在△ABC中，若，，B=120°，则a等于（　　）‎ A． B．2 C． D．‎ ‎8．等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．在△ABC中，若A：B：C=1：2：3，则a：b：c等于（　　）‎ A．1：2：3 B．3：2：1 C．2：：1 D．1：：2‎ ‎10．在△ABC中，若acosA=bcosB，则△ABC的形状是（　　）‎ A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 ‎11．要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD=120°，CD=40m，则电视塔的高度为（　　）‎ A．10m B．20m C．20m D．40m ‎12．“若f（x）在区间D上是凸函数，则对于区间D内的任意x1，x2，…，xn，有”设f（x）=sinx在（0，π）上是凸函数，则在△ABC中，sinA+sinB+sinC的最大值是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题.（本大题共4小题，每小题5分，满分20分．）‎ ‎13．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若S3=3，S6=24，则a9=　　．‎ ‎14．已知△ABC中，AB=4，∠BAC=45°，AC=，则△ABC的面积为　　．‎ ‎15．数列{an}的前n项和Sn=3n﹣n2，则an=　　．‎ ‎16．在北京举办的第七届中国花博会期间，某展区用同样的花盆摆成了若干如下图所示的图案，中第①个图案只一个花盆；第②个，第③个，…的图案分别按图所示的方式固定摆放．从第①个图案的第 一个花盆开始，以后每一个图案的花盆都自然摆放在它们的周围，若以an表示第n个图案的花盆总数，则a3=　　；an=　　（答案用n表示）．‎ ‎　‎ 三、解答题.（本大题共6小题，满分70分．）‎ ‎17．在△ABC中，A=60°，a=4，b=4，解三角形．‎ ‎18．等差数列{an}的前n项和记为Sn．已知a10=30，a20=50．‎ ‎（Ⅰ）求通项an；‎ ‎（Ⅱ）若Sn=242，求n．‎ ‎19．设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a=1，b=2，cosC=‎ ‎（Ⅰ）求△ABC的周长；‎ ‎（Ⅱ）求cos（A﹣C）的值．‎ ‎20．已知数列{an}中，已知a1=1，，‎ ‎（1）求证数列是等差数列； ‎ ‎（2）求数列{an}的通项公式．‎ ‎21．为了考核某特警部队的应急反应能力，拟准备把特警队员从一目标处快速运送到另一目标处．通过测角仪观测到观测站C在目标A南偏西25°的方向上，B、D在A出发的一条南偏东35°走向的公路上（如图），测得C、B相距31千米，D、B相距20千米，C、D相距21千米，求A、D之间的距离．‎ ‎22．设△ABC的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，且满足a2+c2﹣b2=ac ‎（1）求角B的大小；‎ ‎（2）若，BC边上的中线AM的长为，求△ABC的面积．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年广东省东莞市麻涌中学高二（上）第一次月考数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一．选择题.（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．）‎ ‎1．数列的通项公式an=（　　）‎ A．an= B．an= C． D．‎ ‎【考点】数列的函数特性．‎ ‎【分析】根据数列项的规律即可得到结论．‎ ‎【解答】解：数列即为，，，，，…，‎ ‎∴通项公式an=，‎ 故选：C ‎　‎ ‎2．已知数列{an}满足an+1=an+3，a1=0，则数列{an}的通项公式可以是（　　）‎ A．n B．2n C．3n﹣3 D．3n+3‎ ‎【考点】等差数列的通项公式．‎ ‎【分析】数列{an}是首项为0，公差为3的等差数列，由此能求出结果．‎ ‎【解答】解：∵数列{an}满足an+1=an+3，a1=0，‎ ‎∴数列{an}是首项为0，公差为3的等差数列，‎ ‎∴an=a1+（n﹣1）d=3n﹣3．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎3．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若A=60°，a=4，b=4‎ ‎，则B=（　　）‎ A．45°或135° B．135°‎ C．45° D．以上答案都不对 ‎【考点】解三角形；正弦定理．‎ ‎【分析】由正弦定理可得sinB=，再由由大边对大角可得B的值．‎ ‎【解答】解：由正弦定理可得 =，∴sinB=．‎ 再由大边对大角可得B=45°．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎4．如果等差数列{an}中，a1=2，a3+a4=9，那么a7=（　　）‎ A．21 B．28 C．8 D．14‎ ‎【考点】等差数列的通项公式．‎ ‎【分析】设出等差数列的公差，由给出的条件联立求出d的值，然后代入等差数列的通项公式求a7．‎ ‎【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，‎ 由a3+a4=9，‎ 得：a3+a4=（a1+2d）+（a1+3d）=9，‎ 即2a1+5d=9①，‎ 又a1=2，代入①解得d=1．‎ 所以，a7=a1+6d=2+6×1=8．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎5．△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若角A，B，C依次成等差数列，且，则S△ABC等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】正弦定理．‎ ‎【分析】由角A，B，C依次成等差数列并结合三角形内角和公式求得B，再由三角形面积公式即可运算求得结果．‎ ‎【解答】解：∵在△ABC中，由角A，B，C依次成等差数列，可得A+C=2B，‎ 再由三角形内角和公式求得B=．‎ ‎∴由于a=1，c=，‎ ‎∴S△ABC=acsinB==．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎6．设数列{an}是等差数列，a2=﹣6，a8=6，Sn是数列{an}的前n项和，则（　　）‎ A．S4＜S5 B．S4=S5 C．S6＜S5 D．S6=S5‎ ‎【考点】等差数列的性质．‎ ‎【分析】先由通项公式求a1，d，再用前n项和公式验证．‎ ‎【解答】解：∵a2=﹣6，a8=6‎ ‎∴a1+d=﹣6，a1+7d=6‎ 得a1=﹣8，d=2‎ ‎∴S4=S5‎ 故选B ‎　‎ ‎7．在△ABC中，若，，B=120°，则a等于（　　）‎ A． B．2 C． D．‎ ‎【考点】余弦定理．‎ ‎【分析】由余弦定理可得 b2=a2+c2﹣2ac•cosB，即 6=a2+2﹣2a•（﹣），由此求得b的值．‎ ‎【解答】解：在△ABC中，若，，B=120°，‎ 则由余弦定理可得 b2=a2+c2﹣2ac•cosB，即 6=a2+2﹣2a•（﹣），‎ 解得 a=，或a=﹣2（舍去），‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎8．‎ 等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】数列递推式．‎ ‎【分析】由题意可得，，即 且，从而可求an，然后把n=4代入可求 ‎【解答】解：由题意可得，‎ 即∵‎ ‎∴数列是以为首项，以3为公差的等差数列 ‎∴∴‎ 故选：B ‎　‎ ‎9．在△ABC中，若A：B：C=1：2：3，则a：b：c等于（　　）‎ A．1：2：3 B．3：2：1 C．2：：1 D．1：：2‎ ‎【考点】正弦定理．‎ ‎【分析】根据三角形内角和定理，结合A：B：C=1：2：3，算出A=，B=且C=，从而得出△ABC是直角三角形．由三角函数在直角三角形中的定义算出c=2a且b=，即可得到a：b：c的值．‎ ‎【解答】解：∵在△ABC中，A：B：C=1：2：3，‎ ‎∴设A=x，则B=2x，C=3x，‎ 由A+B+C=π，可得x+2x+3x=π，解之得x=‎ ‎∴A=，B=且C=，可得△ABC是直角三角形 ‎∵sinA==，∴c=2a，得b==‎ 因此，a：b：c=1：：2‎ 故选：D ‎　‎ ‎10．在△ABC中，若acosA=bcosB，则△ABC的形状是（　　）‎ A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 ‎【考点】三角形的形状判断．‎ ‎【分析】利用正弦定理化简已知的等式，再根据二倍角的正弦函数公式变形后，得到sin2A=sin2B，由A和B都为三角形的内角，可得A=B或A+B=90°，从而得到三角形ABC为等腰三角形或直角三角形．‎ ‎【解答】解：由正弦定理asinA=bsinB化简已知的等式得：sinAcosA=sinBcosB，‎ ‎∴sin2A=sin2B，‎ ‎∴sin2A=sin2B，又A和B都为三角形的内角，‎ ‎∴2A=2B或2A+2B=π，即A=B或A+B=，‎ 则△ABC为等腰或直角三角形．‎ 故选D ‎　‎ ‎11．要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD=120°，CD=40m，则电视塔的高度为（　　）‎ A．10m B．20m C．20m D．40m ‎【考点】已知三角函数模型的应用问题．‎ ‎【分析】设出AB=x，进而根据题意可表示出BD，DC，进而在△DBC中利用余弦定理建立方程求得x．‎ ‎【解答】解：由题可设AB=x，则，‎ 在△DBC中，∠BCD=120°，CD=40，由余弦定理得BD2=BC2+CD2﹣2BC•CD•cos∠DCB 即：（）2=（40）2+x2﹣2×40•x•cos120°‎ 整理得：x2﹣20x﹣800=0‎ 解得x=40或x=﹣20（舍）‎ 所以，所求塔高为40米．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎12．“若f（x）在区间D上是凸函数，则对于区间D内的任意x1，x2，…，xn，有”设f（x）=sinx在（0，π）上是凸函数，则在△ABC中，sinA+sinB+sinC的最大值是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】函数的最值及其几何意义．‎ ‎【分析】运用是凸函数的定义，可得 [f（A）+f（B）+f（C）]≤f（），计算即可得到所求最大值，及等号成立的条件．‎ ‎【解答】解：由f（x）=sinx在（0，π）上是凸函数，‎ 可得在△ABC中， [f（A）+f（B）+f（C）]≤f（），‎ 即有（sinA+sinB+sinC）≤sin，‎ 即sinA+sinB+sinC≤3sin=．‎ 当且仅当A=B=C=时，取得等号．‎ 则sinA+sinB+sinC的最大值是．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ 二、填空题.（本大题共4小题，每小题5分，满分20分．）‎ ‎13．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若S3=3，S6=24，则a9=　15　．‎ ‎【考点】等差数列的前n项和．‎ ‎【分析】利用等差数列的前n项和公式列出方程组，求出首项与公差，由此能求出a9．‎ ‎【解答】解：∵Sn为等差数列{an}的前n项和，若S3=3，S6=24，‎ ‎∴，‎ 解得a1=﹣1，d=2，‎ ‎∴a9=﹣1+8×2=15．‎ 故答案为：15．‎ ‎　‎ ‎14．已知△ABC中，AB=4，∠BAC=45°，AC=，则△ABC的面积为　6　．‎ ‎【考点】三角形中的几何计算；解三角形．‎ ‎【分析】直接利用三角形的面积公式，运算求得结果．‎ ‎【解答】解：△ABC的面积为==6，‎ 故答案为 6．‎ ‎　‎ ‎15．数列{an}的前n项和Sn=3n﹣n2，则an=　﹣2n+4　．‎ ‎【考点】等差数列的通项公式．‎ ‎【分析】由给出的数列的前n项和，分类求出n=1时的值及n≥2时的表达式，验证n=1后得数列的通项公式．‎ ‎【解答】解：由数列{an}的前n项和Sn=3n﹣n2，‎ 当n=1时，；‎ 当n≥2时，‎ ‎ =﹣2n+4．‎ 此式对于n=1成立．‎ ‎∴an=﹣2n+4．‎ 故答案为﹣2n+4．‎ ‎　‎ ‎16．在北京举办的第七届中国花博会期间，某展区用同样的花盆摆成了若干如下图所示的图案，中第①个图案只一个花盆；第②个，第③个，…的图案分别按图所示的方式固定摆放．从第①个图案的第 一个花盆开始，以后每一个图案的花盆都自然摆放在它们的周围，若以an表示第n个图案的花盆总数，则a3=　19　；an=　3n2﹣3n+1　（答案用n表示）．‎ ‎【考点】归纳推理．‎ ‎【分析】观察图形很容易看出第一个图象由一盆花，第二个图形比第一个图形多放了6盆，第三个图形比第二个图形多放了2×6盆，可得后面图形花盆数前面图形花盆数存在关系，an﹣an﹣1=6×（n﹣1），利用累加法可得答案．‎ ‎【解答】解：由图知a1=1‎ a2﹣a1=6=6×（2﹣1），‎ a3﹣a2=12=6×（3﹣1），‎ ‎…‎ an﹣an﹣1=6×（n﹣1），‎ ‎∴an=1+6+12+…+6×（n﹣1）=1+=3n2﹣3n+1‎ ‎∴a3=19‎ 故答案为 19，3n2﹣3n+1‎ ‎　‎ 三、解答题.（本大题共6小题，满分70分．）‎ ‎17．在△ABC中，A=60°，a=4，b=4，解三角形．‎ ‎【考点】正弦定理．‎ ‎【分析】由sinA，a，b的值，利用正弦定理求出sinB的值，确定出B的度数，求出C的度数，再由sinC，a，sinA的值，利用正弦定理即可求出c的值．‎ ‎【解答】解：∵在△ABC中，A=60°，a=4，b=4，‎ ‎∴由正弦定理=，得sinB===，‎ ‎∵a＞b，‎ ‎∴A＞B，而A=60°，‎ ‎∴B为锐角，∴B=45°，‎ ‎∴C=180°﹣（A+B）=75°，‎ 即sinC=sin75°=sin（45°+30°）=sin45°cos30°+cos45°sin30°=，‎ 由正弦定理=得：c===2（+）．‎ ‎　‎ ‎18．等差数列{an}的前n项和记为Sn．已知a10=30，a20=50．‎ ‎（Ⅰ）求通项an；‎ ‎（Ⅱ）若Sn=242，求n．‎ ‎【考点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和．‎ ‎【分析】（1）利用等差数列的通项公式，根据a10和a20的值建立方程组，求得a1和d，则通项an可得．‎ ‎（2）把等差数列的求和公式代入Sn=242进而求得n．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由an=a1+（n﹣1）d，a10=30，a20=50，得 方程组 解得a1=12，d=2．所以an=2n+10．‎ ‎（Ⅱ）由得 方程．‎ 解得n=11或n=﹣22（舍去）．‎ ‎　‎ ‎19．设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a=1，b=2，cosC=‎ ‎（Ⅰ）求△ABC的周长；‎ ‎（Ⅱ）求cos（A﹣C）的值．‎ ‎【考点】余弦定理；两角和与差的余弦函数．‎ ‎【分析】（I）利用余弦定理表示出c的平方，把a，b及cosC的值代入求出c的值，从而求出三角形ABC的周长；‎ ‎（II）根据cosC的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值，然后由a，c及sinC的值，利用正弦定理即可求出sinA的值，根据大边对大角，由a小于c得到A小于C，即A为锐角，则根据sinA的值利用同角三角函数间的基本关系求出cosA的值，然后利用两角差的余弦函数公式化简所求的式子，把各自的值代入即可求出值．‎ ‎【解答】解：（I）∵c2=a2+b2﹣2abcosC=1+4﹣4×=4，‎ ‎∴c=2，‎ ‎∴△ABC的周长为a+b+c=1+2+2=5．‎ ‎（II）∵cosC=，∴sinC===．‎ ‎∴sinA===．‎ ‎∵a＜c，∴A＜C，故A为锐角．则cosA==，‎ ‎∴cos（A﹣C）=cosAcosC+sinAsinC=×+×=．‎ ‎　‎ ‎20．已知数列{an}中，已知a1=1，，‎ ‎（1）求证数列是等差数列； ‎ ‎（2）求数列{an}的通项公式．‎ ‎【考点】数列递推式．‎ ‎【分析】（1）利用已知条件转化求解数列是等差数列；‎ ‎（2）利用（1）求出通项公式，然后求解数列{an}的通项公式．‎ ‎【解答】解：（1）数列{an}中，已知a1=1，，‎ 可得an+1+2an+1an=an，‎ 可得=2．‎ 所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列．‎ ‎（2）由（1）可得=1+2（n﹣1）=2n﹣1，‎ ‎∴数列{an}的通项公式：an=．‎ ‎　‎ ‎21．为了考核某特警部队的应急反应能力，拟准备把特警队员从一目标处快速运送到另一目标处．通过测角仪观测到观测站C在目标A南偏西25°的方向上，B、D在A出发的一条南偏东35°走向的公路上（如图），测得C、B相距31千米，D、B相距20千米，C、D相距21千米，求A、D之间的距离．‎ ‎【考点】解三角形的实际应用．‎ ‎【分析】由图形求出∠CAD的度数，以及BC，BD及CD的长，利用余弦定理求出cosB的值，再利用同角三角函数间的基本关系求出sinB的值，由sinA，sinB及BC的长，利用正弦定理求出AC的长，由BC，AC及cosA的值，利用余弦定理求出AB的长，由AB﹣BD即可求出AD的长．‎ ‎【解答】解：如图，易知∠CAD=25°+35°=60°，BC=31，BD=20，CD=21，‎ 由余弦定理得：cosB===，‎ ‎∴sinB==，‎ 又在△ABC中，由正弦定理得：AC===24，‎ 由余弦定理得BC2=AC2+AB2﹣2AC•ABcosA，即312=AB2+242﹣2×AB×24cos60°，‎ ‎∴AB2﹣24AB﹣385=0，‎ 解得：AB=35或AB=﹣11（舍去），‎ ‎∴AD=AB﹣BD=35﹣20=15（km）．‎ ‎　‎ ‎22．设△ABC的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，且满足a2+c2﹣b2=ac ‎（1）求角B的大小；‎ ‎（2）若，BC边上的中线AM的长为，求△ABC的面积．‎ ‎【考点】余弦定理；三角形的面积公式．‎ ‎【分析】（1）利用余弦定理表示出cosB，将已知等式变形后代入求出cosB的值，由B为三角形内角，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；‎ ‎（2）利用正弦定理化简已知等式，求出cosA的值，由A为三角形内角，利用利用特殊角的三角函数值求出A的度数，确定出C的度数，设|AC|=m，则|BC|=m，|AB|=m，|CM|=m，利用余弦定理列出关于m的方程，求出方程的解得到m的值，确定出|CA|与|CB|，即可确定出三角形ABC的面积．‎ ‎【解答】解：（1）∵a2+c2﹣b2=ac，‎ ‎∴cosB===，‎ ‎∵B为三角形内角，‎ ‎∴B=；‎ ‎（2）由正弦定理： ==，‎ 将2bcosA=（ccosA+acosC）化简得：2sinBcosA=（sinCcosA+sinAcosC），即2sinBcosA=sinB，‎ ‎∴cosA=，‎ ‎∴A=，C=，‎ 设|AC|=m，则|BC|=m，|AB|=m，|CM|=m，‎ 由余弦定理可知：|AM|2=|CM|2+|AC|2﹣2|CM||AC|cos，即7=m2+m2+m，‎ 解得：m=2，‎ 则S△ABC=|CA|•|CB|•sin=．‎