数学卷·2018届江西省宜春三中高二上学期第一次月考数学试卷 （解析版） 16页

‎2016-2017学年江西省宜春三中高二（上）第一次月考数学试卷 ‎　‎ 一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1．已知数列{an}是等差数列，且a3+a11=50，又a4=13，则a2等于（　　）‎ A．1 B．4 C．5 D．6‎ ‎2．在等比数列{an}中，a2016=8a2013，则公比q的值为（　　）‎ A．8 B．4 C．3 D．2‎ ‎3．已知△ABC中，A=30°，C=105°，b=4，则a等于（　　）‎ A．4 B．4 C．4 D．4‎ ‎4．△ABC的三边之比为3：5：7，则这个三角形的最大角等于（　　）‎ A．90° B．120° C．135° D．150°‎ ‎5．在△ABC中，若A=60°，b=4，此三角形面积S=2，则a的值是（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎6．设{an}是递增等差数列，前三项的和是12，前三项的积为48，则a3=（　　）‎ A．1 B．2 C．4 D．6‎ ‎7．在△ABC中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是（　　）‎ A．a=80，b=61，A=60° B．a=10，b=14，A=30°‎ C．b=23，A=45°，B=30° D．a=61，c=47，A=120°‎ ‎8．若数列{an}中，an=46﹣3n，则当Sn取最大值时，n=（　　）‎ A．14 B．15 C．15或16 D．16‎ ‎9．等差数列{an}的前m项的和是14，前2m项的和是62，则它的前3m项的和是（　　）‎ A．124 B．134 C．144 D．154‎ ‎10．已知{an}是等比数列，a2=2，a5=，则a1a2+a2a3+…+anan+1=（　　）‎ A．16（1﹣4﹣n） B．16（1﹣2﹣n） C．（1﹣4﹣n） D．（1﹣2﹣n）‎ ‎11．已知数列{an}的通项an=（n+1）•（）n，an是数列{an}的最大项，则m=（　　）‎ A．7 B．7或8 C．8 D．8或9‎ ‎12．已知{an}为等比数列，a4+a7=2，a5a6=﹣8，则a1+a10=（　　）‎ A．7 B．5 C．﹣5 D．﹣7‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．等差数列8，5，2，…的第30项是　　．‎ ‎14．在各项均为正数的等比数列{an}中，若a5•a6=27，则log3a1+log3a2+…+log3a10=　　．‎ ‎15．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=16，b=16，B+C=5A，则角C=　　．‎ ‎16．数列{an}的通项公式an=ncos+1，前n项和为Sn，则S2016=　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6个小题，第17题10分，其它每小题10分，共70分）‎ ‎17．（10分）（1）求等比数列1，，，，…的前9项和．‎ ‎（2）如果等差数列{an}的前4项的和是10，前7项的和是28，求其前3项和．‎ ‎18．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA=a•cosB．‎ ‎（1）求角B的大小；‎ ‎（2）若b=3，sinC=2sinA，分别求a和c的值．‎ ‎19．（12分）在锐角△ABC中，边a、b是方程x2﹣2x+2=0的两根，A、B满足2sin（A+B）﹣=0，解答下列问题：‎ ‎（1）求角C的度数；‎ ‎（2）求边c的长度；‎ ‎（3）求△ABC的面积．‎ ‎20．（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2n2+3n，n∈N*，数列{bn}满足an=4log2bn﹣3，n∈N*．‎ ‎（1）求an，bn；‎ ‎（2）求数列{an•bn}的前n项和Tn．‎ ‎21．（12分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，n∈N*，且a5+a6=24，S3=15．‎ ‎（1）求{an}的通项公式；‎ ‎（2）设bn=，求数列{bn}的前n项和Tn．‎ ‎22．（12分）已知数列{an}的前项和为Sn．若a1=1，an=3Sn﹣1+4（n≥2）．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）令bn=log2，cn=，其中n∈N+，记数列{cn}的前项和为Tn．求Tn+的值．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年江西省宜春三中高二（上）第一次月考数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1．已知数列{an}是等差数列，且a3+a11=50，又a4=13，则a2等于（　　）‎ A．1 B．4 C．5 D．6‎ ‎【考点】等差数列的性质．‎ ‎【分析】由已知条件可得 2a1+12d=50，a1+3d=13，求出a1和d，即可得到a2 的值．‎ ‎【解答】解：根据数列{an}是等差数列，且a3+a11=50，又a4=13，‎ 故有 2a1+12d=50，a1+3d=13，‎ 解得 a1=1，d=4，∴a2=5，‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题主要考查等差数列的定义和性质、通项公式，求出首项和公差d的值，是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎2．在等比数列{an}中，a2016=8a2013，则公比q的值为（　　）‎ A．8 B．4 C．3 D．2‎ ‎【考点】等比数列的通项公式．‎ ‎【分析】利用等比数列的通项公式即可得出．‎ ‎【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，∵a2016=8a2013，∴q3=8，解得q=2．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎3．已知△ABC中，A=30°，C=105°，b=4，则a等于（　　）‎ A．4 B．4 C．4 D．4‎ ‎【考点】正弦定理．‎ ‎【分析】由已知可先求B，然后结合正弦定理，可求a的值．‎ ‎【解答】解：∵A=30°，C=105°，‎ ‎∴B=45°，‎ ‎∵b=4，‎ ‎∴由正弦定理，可得：a===4．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题主要考查了正弦定理的简单应用，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎4．△ABC的三边之比为3：5：7，则这个三角形的最大角等于（　　）‎ A．90° B．120° C．135° D．150°‎ ‎【考点】余弦定理．‎ ‎【分析】设出三边的长度，利用余弦定理即可求出最大角．‎ ‎【解答】解：∵△ABC的三边之比为3：5：7，‎ ‎∴设三边长依次为3t，5t，7t，其中t＞0；‎ 设最大角是C，由余弦定理知，‎ ‎49t2=9t2+25t2﹣2×3t×5tcosC，‎ ‎∴cosC=﹣，‎ ‎∴C=120°．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了余弦定理的应用问题，是基础题目．‎ ‎　‎ ‎5．在△ABC中，若A=60°，b=4，此三角形面积S=2，则a的值是（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎【考点】正弦定理．‎ ‎【分析】由题意和三角形的面积公式求出c的值，由余弦定理求出a的值．‎ ‎【解答】解：∵A=60°，b=4，此三角形面积S=2，‎ ‎∴，则，‎ 解得c=2，‎ 由余弦定理得，a2=b2+c2﹣2bccosA ‎=16+4﹣=12，‎ 则a=，‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题考查了余弦定理，以及三角形面积公式的应用，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎6．设{an}是递增等差数列，前三项的和是12，前三项的积为48，则a3=（　　）‎ A．1 B．2 C．4 D．6‎ ‎【考点】等差数列的性质．‎ ‎【分析】利用等差数列的性质求出a2的值，然后得到a1，a3的方程组，从而求出a1，a3的值．‎ ‎【解答】解：由等差数列的性质可知，a1+a3=2a2，‎ 所以a1+a2+a3=3a2=12，则a2=4，‎ 所以得a1+a3=8，a1a3=12，‎ 因为{an}是递增的等差数列，‎ 所以解得a1=2，a3=6；‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题主要考查了等差数列的性质，以及通项公式，同时考查了运算求解的能力，属于基础试题．‎ ‎　‎ ‎7．在△ABC中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是（　　）‎ A．a=80，b=61，A=60° B．a=10，b=14，A=30°‎ C．b=23，A=45°，B=30° D．a=61，c=47，A=120°‎ ‎【考点】解三角形．‎ ‎【分析】由a，b及sinA的值，利用正弦定理求出sinB的值，由a小于b得到A小于B，可得出此时B有两解，符合题意．‎ ‎【解答】解：∵a=10，b=14，A=30°，‎ ‎∴由正弦定理得：sinB==＞，‎ ‎∵a＜b，∴30°=A＜B，‎ ‎∴B有两解．‎ 故选B．‎ ‎【点评】此题考查了正弦定理，三角形的边角关系，以及三角形的内角和定理，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎8．若数列{an}中，an=46﹣3n，则当Sn取最大值时，n=（　　）‎ A．14 B．15 C．15或16 D．16‎ ‎【考点】数列的函数特性．‎ ‎【分析】令an=46﹣3n≥0，解出即可得出．‎ ‎【解答】解：令an=46﹣3n≥0，‎ 解得n≤，可知：n≤15．‎ 则当Sn取最大值时，n=15．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了数列的单调性、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎9．等差数列{an}的前m项的和是14，前2m项的和是62，则它的前3m项的和是（　　）‎ A．124 B．134 C．144 D．154‎ ‎【考点】等差数列的性质．‎ ‎【分析】利用等差数列的性质，sm，s2m﹣sm，s3m﹣s2m成等差数列进行求解．‎ ‎【解答】解：∵设{an}为等差数列，‎ ‎∴sm，s2m﹣sm，s3m﹣s2m成等差数列，‎ 即14，（62﹣14），s3m﹣62成等差数列，‎ ‎∴14+s3m﹣62=（62﹣14）×2，‎ 解得s3m=134．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查数列的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用，本题使用了等差数列的一个重要性质，即等差数列的前n项和为sn，则sn，s2n﹣sn，s3n﹣s2n，…成等差数列．‎ ‎　‎ ‎10．已知{an}是等比数列，a2=2，a5=，则a1a2+a2a3+…+anan+1=（　　）‎ A．16（1﹣4﹣n） B．16（1﹣2﹣n） C．（1﹣4﹣n） D．（1﹣2﹣n）‎ ‎【考点】等比数列的前n项和．‎ ‎【分析】首先根据a2和a5求出公比q，根据数列{anan+1}每项的特点发现仍是等比数列，且首项是a1a2=8，公比为．进而根据等比数列求和公式可得出答案．‎ ‎【解答】解：由，解得．‎ 数列{anan+1}仍是等比数列：其首项是a1a2=8，公比为，‎ 所以，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题主要考查等比数列通项的性质和求和公式的应用．应善于从题设条件中发现规律，充分挖掘有效信息．‎ ‎　‎ ‎11．已知数列{an}的通项an=（n+1）•（）n，an是数列{an}的最大项，则m=（　　）‎ A．7 B．7或8 C．8 D．8或9‎ ‎【考点】数列的函数特性．‎ ‎【分析】求数列{an}的最大项，可通过做差或做商比较法，来判断数列的单调性处理即可．‎ ‎【解答】解：因an=（n+1）•（）n＞0，‎ 则==≥1‎ ‎∴n≤8，‎ 即n≤8时，an+1≥an，‎ 当n＞9时，an+1＜an，‎ ‎∴a8或a9最大 故选：D ‎【点评】本题考查数列的最值问题，利用做差或做商比较法判断数列的单调性是求数列最值的常用方式．‎ ‎　‎ ‎12．已知{an}为等比数列，a4+a7=2，a5a6=﹣8，则a1+a10=（　　）‎ A．7 B．5 C．﹣5 D．﹣7‎ ‎【考点】等比数列的性质；等比数列的通项公式．‎ ‎【分析】由a4+a7=2，及a5a6=a4a7=﹣8可求a4，a7，进而可求公比q，代入等比数列的通项可求a1，a10，即可 ‎【解答】解：∵a4+a7=2，由等比数列的性质可得，a5a6=a4a7=﹣8‎ ‎∴a4=4，a7=﹣2或a4=﹣2，a7=4‎ 当a4=4，a7=﹣2时，，‎ ‎∴a1=﹣8，a10=1，‎ ‎∴a1+a10=﹣7‎ 当a4=﹣2，a7=4时，q3=﹣2，则a10=﹣8，a1=1‎ ‎∴a1+a10=﹣7‎ 综上可得，a1+a10=﹣7‎ 故选D ‎【点评】本题主要考查了等比数列的性质及通项公式的应用，考查了基本运算的能力．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．等差数列8，5，2，…的第30项是　﹣79　．‎ ‎【考点】等差数列的通项公式．‎ ‎【分析】根据题意得到此等差数列的首项a1和公差d，写出等差数列的通项公式an，然后令n=30求出a30，即为等差数列的第30项的值．‎ ‎【解答】解：根据题意得：等差数列的首项a1=8，公差d=5﹣8=﹣3，‎ ‎∴等差数列的通项公式an=a1+（n﹣1）d=8﹣3（n﹣1）=11﹣3n，‎ 则此数列的第30项是a30=11﹣3×30=﹣79．‎ 故答案为：﹣79．‎ ‎【点评】此题考查了等差数列的通项公式，找出首项和公差是确定通项公式的关键．‎ ‎　‎ ‎14．在各项均为正数的等比数列{an}中，若a5•a6=27，则log3a1+log3a2+…+log3a10=　15　．‎ ‎【考点】等差数列与等比数列的综合．‎ ‎【分析】由等比数列的性质及对数的运算性质可知：log3a1+log3a2+…+log3a10=log3（a1•a2•…•a10）=log3（3）15=15．‎ ‎【解答】解：由等比数列的性质可得：a1•a10=a2•a9=…=a5•a6，‎ 由对数的运算性质可知：log3a1+log3a2+…+log3a10=log3（a1•a2•…•a10）=log3（27）5=log3（3）15=15，‎ 故答案为：15．‎ ‎【点评】本题考查对数的运算性质，等比数列的性质，考查计算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎15．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=16，b=16，B+C=5A，则角C=　90°或30°　．‎ ‎【考点】正弦定理；余弦定理．‎ ‎【分析】由已知及三角形内角和定理可求A，利用正弦定理可求sinB的值，结合B的范围可求B，进而可求C的值．‎ ‎【解答】解：∵B+C=5A，可得：A+B+C=6A=180°，解得A=30°，‎ ‎∴由正弦定理可得：sinB===，‎ ‎∴由B∈（0°，180°），可得：B=60°，或120°，‎ ‎∴C=180°﹣A﹣B=90°或30°．‎ 故答案为：90°或30°．‎ ‎【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，正弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎16．数列{an}的通项公式an=ncos+1，前n项和为Sn，则S2016=　3024　．‎ ‎【考点】数列的求和．‎ ‎【分析】先求出的规律，进而得到的规律，即可求出数列的规律即可求出结论．‎ ‎【解答】解：∵ =0，﹣1，0，1，0，﹣1，0，1…，‎ ‎=0，﹣2，0，4，0，﹣6，0，8…，‎ 每四项的和为2，‎ ‎∴数列{an}每四项的和为2+4=6，‎ 而2016÷4=504，‎ ‎∴S2016=3024．‎ ‎【点评】本题考查数列的求和，解决本题的关键在于求出数列各项的规律，属于中档题．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6个小题，第17题10分，其它每小题10分，共70分）‎ ‎17．（10分）（2016秋•袁州区校级月考）（1）求等比数列1，，，，…的前9项和．‎ ‎（2）如果等差数列{an}的前4项的和是10，前7项的和是28，求其前3项和．‎ ‎【考点】数列的求和．‎ ‎【分析】（1）利用等比数列的求和公式即可得出．‎ ‎（2）利用等差数列的求和公式即可得出．‎ ‎【解答】解：（1）公比q=，首项为1，∴等比数列1，，，，…的前9项和==2﹣=．‎ ‎（2）设等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d．‎ ‎∵S4=10，S7=28，‎ ‎∴4a1+d=10，7a1+d=28，‎ 联立解得a1=d=1．‎ ‎∴其前3项和=×1=6．‎ ‎【点评】本题考查了等差数列与等比数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）（2012•浙江）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA=a•cosB．‎ ‎（1）求角B的大小；‎ ‎（2）若b=3，sinC=2sinA，分别求a和c的值．‎ ‎【考点】正弦定理；余弦定理．‎ ‎【分析】（1）由bsinA=a•cosB，由正弦定理可得：sinBsinA=sinAcosB，化简整理即可得出．‎ ‎（2）由sinC=2sinA，可得c=2a，由余弦定理可得：b2=a2+c2﹣2accosB，代入计算即可得出．‎ ‎【解答】解：（1）∵bsinA=a•cosB，由正弦定理可得：sinBsinA=sinAcosB，‎ ‎∵sinA≠0，∴sinB=cosB，‎ B∈（0，π），‎ 可知：cosB≠0，否则矛盾．‎ ‎∴tanB=，∴B=．‎ ‎（2）∵sinC=2sinA，∴c=2a，‎ 由余弦定理可得：b2=a2+c2﹣2accosB，‎ ‎∴9=a2+c2﹣ac，‎ 把c=2a代入上式化为：a2=3，解得a=，‎ ‎∴．‎ ‎【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、三角形内角和定理与三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）（2016秋•袁州区校级月考）在锐角△ABC中，边a、b是方程x2﹣2x+2=0的两根，A、B满足2sin（A+B）﹣=0，解答下列问题：‎ ‎（1）求角C的度数；‎ ‎（2）求边c的长度；‎ ‎（3）求△ABC的面积．‎ ‎【考点】余弦定理．‎ ‎【分析】（1）由题意得sin（A+B）=，结合△ABC是锐角三角形，由特殊角的三角函数值即可得解．‎ ‎（2）由题意可得a+b=2，ab=2，进而利用余弦定理可得c的值．‎ ‎（3）利用三角形面积公式即可计算得解．‎ ‎【解答】解：（1）由题意，得sin（A+B）=，‎ 因△ABC是锐角三角形，‎ 故A+B=120°，C=60°；‎ ‎（2）由a、b是方程x2﹣2x+2=0的两根，‎ 解得：a+b=2，ab=2，‎ 由余弦定理，得c2=a2+b2﹣2abcosC=（a+b）2﹣3ab=12﹣6=6，故c=．‎ ‎（3）故S△ABC=absinC==．‎ ‎【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，诱导公式，三角形面积公式，余弦定理，韦达定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）（2016秋•袁州区校级月考）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2n2+3n，n∈N*，数列{bn}满足an=4log2bn﹣3，n∈N*．‎ ‎（1）求an，bn；‎ ‎（2）求数列{an•bn}的前n项和Tn．‎ ‎【考点】数列递推式；数列的求和．‎ ‎【分析】（1）直接由数列的前n项和结合an=Sn﹣Sn﹣1求得an，把an代入an=4log2bn﹣3，由对数的运算性质求得bn；‎ ‎（2）利用错位相减法求数列{an•bn}的前n项和Tn．‎ ‎【解答】解：（1）由Sn=2n2+n，得当n=1时，a1=S1=3；‎ 当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=4n﹣1．‎ ‎∴an=4n﹣1（n∈N*）．‎ 由an=4log2bn+3=4n﹣1，得bn=2n﹣1（n∈N*）；‎ ‎（2）由（1）知an•bn=（4n﹣1）•2n﹣1，n∈N*，‎ ‎∴Tn=3+7×2+11×22+…+（4n﹣1）×2n﹣1，‎ ‎2Tn=3×2+7×22+…+（4n﹣5）×2n﹣1+（4n﹣1）×2n．‎ ‎∴2Tn﹣Tn=（4n﹣1）×2n﹣[3+4（2+22+…+2n﹣1]=（4n﹣5）2n+5．‎ 得Tn=（4n﹣5）2n+5．‎ ‎【点评】本题考查数列递推式，训练了错位相减法求数列的前n项和，是中档题．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）（2016•河北模拟）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，n∈N*，且a5+a6=24，S3=15．‎ ‎（1）求{an}的通项公式；‎ ‎（2）设bn=，求数列{bn}的前n项和Tn．‎ ‎【考点】数列的求和．‎ ‎【分析】（1）利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出；‎ ‎（2）利用“裂项求和”方法即可得出．‎ ‎【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，∵a5+a6=24，S3=15．‎ ‎∴2a1+9d=24，3a1+3d=15，‎ 解得a1=3，d=2．‎ ‎∴an=3+2（n﹣1）=2n+1．‎ ‎（2）bn===，‎ ‎∴数列{bn}的前n项和Tn=+…+‎ ‎=‎ ‎=．‎ ‎【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎22．（12分）（2016春•成都校级期末）已知数列{an}的前项和为Sn．若a1=1，an=3Sn﹣1+4（n≥2）．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）令bn=log2，cn=，其中n∈N+，记数列{cn}的前项和为Tn．求Tn+的值．‎ ‎【考点】数列的求和；数列递推式．‎ ‎【分析】（1）根据题意和，分别列出式子化简、验证后求出an；‎ ‎（2）由（1）化简和对数的运算法则化简bn=log2，代入cn=化简，利用错位相减法和等比数列的前n项和公式求出前n项和Tn，即可求出答案．‎ ‎【解答】解：（1）由题意得，a1=1，an=3Sn﹣1+4（n≥2），‎ 当n=2时，a2=3S1+4=7，‎ 当n≥2时，由an=3Sn﹣1+4（n≥2），得an+1=3Sn+4，‎ 两式相减得，an+1=4an（n≥2），‎ ‎∴数列{an}从第二项起是以4为公比、7为首项的等比数列，‎ 则（n≥2），此时对n=1不成立，‎ ‎∴；‎ ‎（2）由（1）得，bn=log2==2n，‎ 则cn==，‎ ‎∴，①‎ ‎，②‎ ‎①﹣②得，‎ ‎=﹣=，‎ ‎∴，即．‎ ‎【点评】本题考查了等比数列的通项公式、前n项和公式，以及的应用，考查了错位相减法求数列的和，化简、变形能力．‎ ‎　‎