专题7-2 一元二次不等式及其解法（讲）-2018年高考数学一轮复习讲练测（江苏版） 9页

‎ ‎ ‎【考纲解读】‎ 内 容 要 求 备注 A　　‎ B　　‎ C　　‎ 集合 一元二次不等式 ‎　‎ ‎√‎ 对知识的考查要求依次分为了解、理解、掌握三个层次（在表中分别用A、B、C表示）.‎ 了解：要求对所列知识的含义有最基本的认识，并能解决相关的简单问题.‎ 理解：要求对所列知识有较深刻的认识，并能解决有一定综合性的问题.‎ 掌握：要求系统地掌握知识的内在联系，并能解决综合性较强的或较为困难的问题.‎ 线性规划 ‎　√‎ ‎　　‎ 基本不等式 ‎　　‎ ‎　‎ ‎　√　‎ ‎【直击考点】‎ 题组一 常识题 ‎1．不等式－x2－x＋2≥0的解集是________．‎ ‎2．某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式为y＝3000＋20x－0.1x2(0＜x＜240，x∈N)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是________台．‎ ‎【解析】根据题意，得3000＋20x－0.1x2≤25x，‎ 整理得x2＋50x－30 000≥0，解得x≤－200(舍去)或x≥150.‎ 因为x∈N，所以生产者不亏本时的最低产量是150台． ‎ ‎3. 若关于x的一元二次方程mx2－(1－m)x＋m＝0没有实数根，则m的取值范围是______________．‎ ‎【解析】易知m≠0，Δ＝[－(1－m)]2－4m2<0，整理得－3m2－2m＋1<0，即3m2＋2m－1>0，解得m<－1或m>，所以m的取值范围是(－∞，－1)∪.‎ ‎4．已知函数f(x)＝(ax－1)·(x＋b)，如果不等式f(x)＞0的解集是(－1，3)，则不等式f(－2x)＜0的解集是 ______________.‎ 题组二　常错题 ‎5．不等式x(2－x)>0的解集为________．‎ ‎【解析】由不等式x(2－x)＞0，得不等式x(x－2)＜0，则0＜x＜2.‎ ‎6．不等式(ax－1)(x－2)＜0(a≤0)的解集是________．‎ ‎【解析】当a<0时，不等式(ax－1)(x－2)＜0可化为(x－2)>0，解得x＜或x>2；当a＝0时，不等式(ax－1)(x－2)＜0可化为x－2＞0，解得x＞2.‎ ‎7．不等式≤0的解集是________．‎ ‎【解析】原不等式等价于解得－＜x≤1.‎ 题组三　常考题 ‎8． 设集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|2x－3>0}，则A∩B＝________________．‎ ‎【解析】集合A＝(1，3)，B＝，所以A∩B＝.‎ ‎9． 不等式2x2－x＜4的解集为________．‎ ‎【解析】因为2x2－x<4＝22，所以x2－x<2，解得－10，∴a<－4或a>4.‎ ‎【1-5】解不等式 ‎【思想方法】‎ ‎1．解一元二次不等式首先要看二次项系数a是否为正；若为负，则将其变为正数；‎ ‎2．若相应方程有实数根，求根时注意灵活运用因式分解和配方法；‎ ‎3．写不等式的解集时首先应判断两根的大小，若不能判断两根的大小应分类讨论；‎ ‎4．根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根，我们可以利用韦达定理，找到不等式的解集与其系数之间的关系；‎ ‎5．若所给不等式最高项系数含有字母，还需要讨论最高项的系数.‎ ‎【温馨提醒】‎ 注意一元二次方程、二次函数、二次不等式的联系，解二次不等式应尽量结合二次函数图象来解决，培养并提高数形结合的分析能力；当时，需要计算相应二次方程的根，其解集是用根表示，对于含参数的二次不等式，需要针对开口方向、判别式的符号、根的大小分类讨论.‎ 考点2 一元二次不等式恒成立问题 ‎【2-1】不等式x2－2x＋5≥a2－‎3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为 .‎ ‎【答案】[－1,4]‎ ‎【解析】x2－2x＋5＝(x－1)2＋4的最小值为4，所以x2－2x＋5≥a2－‎3a对任意实数x恒成立，只需a2－‎3a≤4，解得－1≤a≤4，故选A.‎ ‎【2-2】若不等式的解集是R，则m的范围是 .‎ ‎【答案】‎ ‎【2-3】若不等式对满足的所有都成立，则x的取值范围是 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】不等式化为：，令，则时，恒成立 所以只需即，‎ 所以x的范围是.‎ ‎【2-4】若不等式成立的一个充分条件是，则实数的取值范围应为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】记，因为不同时为，所以仅需.‎ ‎【2-5】在上定义运算：，若不等式对任意实数都成立，则的取值范围是 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据定义可得不等式为即，此不等式对任意实数都成立，所以，从中解得.‎ ‎【思想方法】‎ ‎(1)解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数．一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．‎ ‎(2)对于二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴上方；恒小于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴下方．‎ ‎【温馨提醒】‎ 二次函数的恒成立问题实质是相应的图象落在x轴上方或者下方，借助数形结合思想或者分类讨论思想求解.‎ 考点3 一元二次不等式的应用 ‎【3-1】有纯农药液一桶，倒出‎8升后用水补满，然后又倒出‎4升 后再用水补满，此时桶中的农药不超过容积的28%，则桶的容积的取值范围是________．‎ ‎【答案】‎ ‎【3-2】汽车在行驶中，由于惯性作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故的一个重要因素．在一个限速‎40 km/h以内的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了，事发后现场测得甲车的刹车距离略超过‎12 m，乙车的刹车距离略超过‎10 m，又知甲、乙两种车型的刹车距离s(m)车速x(km/h)之间有如下关系：，.问：超速行驶应负主要责任的是谁？‎ ‎【答案】A ‎【思想方法】‎ 不等式应用问题常以函数、数列的模型出现，在解题中主要涉及不等式的解以及不等式的应用问题，解不等式应用题，重在审题，构造数学模型，这是解题关键．‎ ‎【温馨提醒】仔细分析已知条件，将实际问题转化为数学模型．考点4 不等式性质的应用 ‎【易错试题常警惕】‎ ‎1．对于不等式ax2＋bx＋c>0，求解时不要忘记讨论a＝0时的情形．‎ ‎2．当Δ<0时，ax2＋bx＋c>0 (a≠0)的解集为R还是∅，要注意区别．‎ ‎3．含参数的不等式要注意选好分类标准，避免盲目讨论．‎ ‎ ‎