高考数学考点15 三角函数的图象与性质 30页

1 考点 15 三角函数的图象与性质 （1）能画出 y=sin x，y =cos x，y = tan x 的图象，了解三角函数的周期性. （2）理解正弦函数、余弦函数在区间 上的性质（如单调性、 最大值和最小值以及与 x 轴的交点 等），理解正切函数在区间 内的单调性. （3）了解函数 的物理意义；能画出 的图象，了解参数 对函数 图象变化的影响.学—— （4）了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题. 一、正弦函数 ,余弦函数 ,正切函数 的图象与性质 函 数 图 象 定 义 域 值 域 最 值 当 时， ； 当 时， ． 当 时， ； 当 时， ． 既无最大值，也无最小值 周 最小正周期为 最小正周期为 最小正周期为 [0,2π] ,2 2      sin( )y A x   sin( )y A x   , ,A   siny x cosy x tany x siny x cosy x tany x R R ,2x x k k       Z  1,1  1,1 R  π2 π 2x k k  Z max 1y   2 2x k k   Z min 1y    2x k k  Z max 1y   2x k k    Z min 1y   2 2  2 期 性 奇 偶 性 ,奇函数 ，偶函数 ，奇函数 单 调 性 在 上是增函数； 在 上是减函数． 在 上是 增函数； 在 上 是减函数． 在 上是增函数． 对 称 性 对称中心 ； 对称轴 ， 既是中心对称图形又是轴对称 图形. 对称中心 ； 对称轴 ， 既是中心对称图形又是轴对称 图形. 对称中心 ； 无对称轴， 是中心对称图形但不是轴对 称图形. 二、函数 的图象与性质 1．函数 的图象的画法 （1）变换作图法 由函数 的图象通过变换得到 （A>0,ω>0）的图象，有两种主要途径：“先平 移后伸缩”与“先伸缩后平移”.如下图.  sin sinx x    cos cosx x   tan tanx x   [2 ,2 ]( )2 2k k k     Z 3[2 ,2 ]( )2 2k k k     Z   2 ,2k k k    Z   2 ,2k k k    Z ( , )( )2 2k k k     Z ( ,0)( )k k Z  2x k k   Z ( ,0)( )2k k  Z  x k k  Z ( ,0)( )2 k k Z sin( )y A x   sin( )y A x   siny x sin( )y A x   3 （2）五点作图法 找五个关键点，分别为使 y 取得最小值、最大值的点和曲线与 x 轴的交点.其步骤为： ①先确定最小正周期 T= ,在一个周期内作出图象； ②令 ,令 X 分别取 0， , , ,求出对应的 x 值，列表如下： 由此可得五个关键点； ③描点画图，再利用函数的周期性把所得简图向左右分别扩展，从而得到 的简图. 2．函数 （A>0,ω>0）的性质 （1）奇偶性： 时，函数 为奇函数； 时，函数 为 偶函数. （2）周期性： 存在周期性，其最小正周期为 T= . （3）单调性：根据 y=sint 和 t= 的单调性来研究，由 得单调 增区间；由 得单调减区间. （4）对称性：利用 y=sin x 的对称中心为 求解，令 ，求得 x. 2   =X x  2   3 22  , sin( )y A x   sin( )y A x   =k  sin( )y A x   = 2k   sin( )y A x   sin( )y A x   2   x  +2 2 ,2 2k x k k         Z +2 2 ,2 2k x k k        Z ( ,0)( )k k Z x k k     Ζ 4 利用 y=sin x 的对称轴为 求解，令 ，得其对称轴. 3．函数 （A>0,ω>0）的物理意义 当函数 （A>0,ω>0, ）表示一个简谐振动量时，则 A 叫做振幅，T= 叫做 周期，f = 叫做频率, 叫做相位，x=0 时的相位 叫做初相. 三、三角函数的综合应用 （1）函数 ， 的定义域均为 ；函数 的定义域 均为 . （ 2 ） 函 数 ， 的 最 大 值 为 ， 最 小 值 为 ； 函 数 的值域为 . （3）函数 ， 的最小正周期为 ；函数 的最小 正周期为 ． （4）对于 ，当且仅当 时为奇函数，当且仅当 时为 偶 函 数 ； 对 于 ， 当 且 仅 当 时 为 奇 函 数 ， 当 且 仅 当 时为偶函数；对于 ，当且仅当 时为奇函数． （5）函数 的单调递增区间由不等式 来确定，单调递减区间由不等式 来确定；函数 的单调递增区间由不等式 来确 定，单调递减区间由不等式 来确定；函数 的单调递增区间由不等式 来 确定． 【注】函数 ， ， （ 有可能为负数）的单 调区间：先利用诱导公式把 化为正数后再求解． （ 6 ） 函 数 图 象 的 对 称 轴 为 ， 对 称 中 心 为 ( )2x k k   Z + 2x k k       Ζ sin( )y A x   sin( )y A x   [0, )x  2   1 2πT  x   sin( )y A x   cos( )y A x   R tan( )y A x   π π{ | , }2 kx x k      Z sin( )y A x   cos( )y A x   | |A | |A tan( )y A x   R sin( )y A x   cos( )y A x   2π  tan( )y A x   π   siny A x    πk k  Z  ππ 2k k   Z  cosy A x    ππ 2k k   Z  πk k  Z  tany A x    π 2k k   Z   sin 0 , 0y A x A      π π2 π 2 π (2 2k x k k      )Z  π 3π2 π 2 π2 2k x k k      Z   cos 0 , 0y A x A       2 π π 2 πk x k k     Z  2 π 2 π πk x k k     Z   tan 0 , 0y A x A       π ππ π2 2k x k k      Z sin( )y A x   cos( )y A x   tan( )y A x     sin( )y A x   π π ( )2 kx k      Z 5 ；函数 图象的对称轴为 ，对称中心为 ；函数 图象的对称中心为 . 【注】函数 ， 的图象与 轴的交点都为对称中心，过最高点 或最低点且垂直于 轴的直线都为对称轴. 函数 的图象与 轴的交点和渐近线与 轴的交点都为对称中心，无对称轴. 考向一 三角函数的图象变换 函数图象的平移变换解题策略 （1）对函数 y=sin x，y=Asin(ωx＋φ)或 y=Acos(ωx＋φ)的图象，无论是先平移再伸缩，还是先伸缩再平移， 只要平移|φ|个单位，都是相应的解析式中的 x 变为 x±|φ|，而不是 ωx 变为 ωx±|φ|. （2）注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应用诱导公式化为同名函数再平移. 典例 1 将函数 图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再将所得图 象向左平移 个单位得到函数 的图象，则在 图象的所有对称轴中，离原点最近的对称轴为 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】将函数 的图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，得到 的图象， 再将所得图象向左平移 个单位得到函数 的图象， 即 ， 由 ，得 ， π( ,0)( )k k   Z cos( )y A x   π ( )kx k    Z π π( ,0)( )2 k k     Z tan( )y A x   π( ,0)( )2 k k   Z sin( )y A x   cos( )y A x   x x tan( )y A x   x x 6 则当 时，离原点最近的对称轴方程为 ，故选 A． 【名师点睛】（1）进行三角函数的图象变换时，要注意无论进行什么样的变换都是变换变量本身；要注意 平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数； （2）在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换．变换只是相对于其中的自变量 而言的， 如果 的系数不是 1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向． 1．已知函数 的部分图象如图所示， 是正三角形，为了得到 的图象，只需将 的图象 A．向左平移 个单位长度 B．向右平移 个单位长度 C．向左平移 1 个单位长度 D．向右平移 1 个单位长度 考向二 确定三角函数的解析式 结合图象及性质求解析式 y=Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)的方法 （1）求 A，B，已知函数的最大值 M 和最小值 m，则 . （2）求 ω，已知函数的周期 T，则 . （3）求 φ，常用方法有： ①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时，A，ω，B 已知)． ②五点法：确定 φ 值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点 作为突破口，具体如下： “第一点”(即图象上升时与 x 轴的交点中距原点最近的交点)为 ωx＋φ=0；“第二点”(即图象的“峰点”)为 ωx＋ φ= ；“第三点”(即图象下降时与 x 轴的交点)为 ωx＋φ=π；“第四点”(即图象的“谷点”)为 ωx＋φ= ；“第五 x x ,2 2 M m M mA B   2π T  ( ,0)  π 2 3π 2 7 点”为 ωx＋φ=2π. 典例 2 已知函数 的部分图象如图. （1）求函数 的解析式. （2）求函数 在区间 上的最值，并求出相应的 值. 【解析】（1）由图象可知 ，又 ，故 . 周期 ， 又 ，∴ . ∴ ∵ . 则函数 的解析式为 . 4 13 π 4 3ππ π3 12 3 3 4T          8 2．已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)+h(A>0,ω>0,0<φ< )的部分图象如图所示. (1)求函数 f(x)的解析式; (2)若将函数 f(x)的图象向右平移 个单位长度,得到函数 g(x)的图象,求函数 g(x)的单调递增区间. 考向三 三角函数的性质 1．三角函数定义域的求法 求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解. 2．求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目及求解方法 （1）形如 y=asinx＋bcosx＋k 的三角函数化为 y=Asin(ωx＋φ)＋k 的形式，再求最值(值域)； （2）形如 y=asin2x＋bsinx＋k 的三角函数，可先设 sinx=t，化为关于 t 的二次函数求值域(最值)； （3）形如 y=asinxcosx＋b(sinx±cosx)＋c 的三角函数，可先设 t=sinx±cosx，化为关于 t 的二次函数求值域 (最值)． 3．三角函数单调性问题的常见类型及解题策略 9 （1）已知三角函数解析式求单调区间．①求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注 意复合函数单调性规律“同增异减”；②求形如 y=Asin（ωx＋φ）或 y=Acos（ωx＋φ）（其中，ω>0）的单 调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果 ω<0，那么一定先借助诱导公式将 ω 化为正数，防止把单调性弄错． （2）已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解． （3）利用三角函数的单调性求值域（或最值）．形如 y=Asin（ωx＋φ）＋b 或可化为 y=Asin（ωx＋φ）＋ b 的三角函数的值域（或最值）问题常利用三角函数的单调性解决. 4．三角函数的奇偶性、周期性、对称性的处理方法 （1）求三角函数的最小正周期，一般先通过恒等变形化为 y=Asin(ωx＋φ)，y=Acos(ωx＋φ)，y=Atan(ωx＋ φ)的形式，再分别应用公式 T= ，T= ，T= 求解． （2）对于函数 y=Asin（ωx＋φ），其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是 函数的零点，因此在判断直线 x=x0 或点（x0，0）是否为函数的对称轴或对称中心时，可通过检验 f（x0）的值进行判断． （3）若 f（x）=Asin（ωx＋φ）为偶函数，则 φ=kπ＋ （k Z），同时当 x=0 时，f（x）取得最大或最小 值．若 f（x）=Asin（ωx＋φ）为奇函数，则 φ=kπ（k∈Z），同时当 x=0 时，f（x）=0. 典例 3 已知函数 . （1）求 的最小正周期； （2）若 在区间 上的最大值与最小值的和为 2，求 的值. 【解析】（1） ， 则 . （2）因为 ，所以 . 当 ，即 时， 单调递增； 2 | |  2 | |  | |  2       22 3sin π cos 2cos 1f x x x x a      f x  f x π π,6 3     a     22 3sin π cos 2cos 1f x x x x a     3sin2 cos2x x a   π2sin 2 6x a      2π π2T   π π 6 3x   π π 5π26 6 6x    π π π2 ,6 6 2x       π π,6 6x       f x 10 当 ，即 时， 单调递减， 所以 . 又因为 ，所以 ， 故 ，因此 . 3．函数 的最大值与最小值分别为 A．最大值为 ，最小值为 B．最大值为 ，最小值为 C．最大值为 2，最小值为 D．最大值为 2，最小值为 4．设函数 . （1）求 的最小正周期； （2）求 的单调递增区间； （3）当 时，求 的最大值和最小值. 典例 4 已知函数 . （1）求函数 图象的对称轴方程； （2）将函数 的图象向右平移 个单位，所得图象对应的函数为 .当 时，求函数 的值域. 【解析】（1） . π π 5π2 ,6 2 6x      π π,6 3x      f x  max π 26f x f a      π π1 13 6f a f a               ，  min π 16f x f a        2 1 2a   1 2a  2 4sin 2cos ( )3 3y x x x     7 4 1 4 7 4 2 1 4 2 ( ) 2cos( )3 2 xf x   ( )f x ( )f x [0,2 ]x  ( )f x   1 π3sin cos cos 22 3f x x x x       f x  f x π 4  g x π0 2x     ，  g x   1 π 3 13sin cos cos 2 sin2 cos22 3 4 4f x x x x x x        1 πsin 22 6x     11 令 ，解得 . 故函数 图象的对称轴方程为 . 5．已知函数 f（x）=sin （ω>0）的最小正周期为 4π，则 A．函数 f（x）的图象关于点 对称 B．函数 f（x）的图象关于直线 x= 对称 C．函数 f（x）的图象向右平移 个单位后，图象关于原点对称 D．函数 f（x）在区间（0，π）内单调递增 6．若函数 与 都在区间 上单调递减，则 的最大值 为 A． B． C． D． 考向四 函数 的性质与其他知识的综合应用 与三角恒等变换、平面向量、解三角形相结合的问题 常先通过三角恒等变换、平面向量的有关知识化简函数解析式为 y=Asin(ωx＋φ)＋B 的形式，再结合正弦函 π π2 π6 2x k k   Z， π π 3 2 kx    f x π π 3 2 kx k  Z， ( )6x  ( ,0)3  3  3  sin( )y A x   12 数 y=sinx 的性质研究其相关性质，若涉及解三角形，则结合解三角形的相关知识求解． 典例 5 已知向量 ，函数 （ ）的最小 正周期是 . （1）求 的值及函数 的单调递减区间； （2）当 时,求函数 的值域. 【解析】（1） ，又 的最小正周期为 ，∴ . ∴ . 令 ，得 ， ∴函数 的单调递减区间为 . （2）∵ ，∴ ，∴ , 故 的值域为 . 典例 6 已知函数 . （1）求函数 的单调递增区间； （2）在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且角 满足 ，若 ， 边上的中 线长为 ，求 的面积 .    3sin , cos , cos ,cosx x x x     a b   1 2f x   a b 0  π   f x π0, 2x      f x    2 1 3 1 1 33sin cos cos sin2 1 cos2 sin22 2 2 2 2f x x x x x x x             1 πcos2 sin 22 6x x        f x π 1    πsin 2 6f x x     π π 3π2 π 2 2 π2 6 2k x k     1 5π π π π,3 6k x k k    Z  f x 1 5π π, π π ,3 6k k k      Z π0 2x  π π 5π26 6 6x    1 πsin 2 12 6x        f x 1 ,12     13 （2） ， ， 因为 ，所以 ， ， 所以 ，则 ， 又 上的中线长为 ，所以 ， 所以 ，即 ， 所以 ，① 由余弦定理得 ，所以 ，② 由①②得： ， 所以 . 7．已知向量 ，函数 的最 大值为 . （1）求函数 的单调递减区间； （2）在 中，内角 的对边分别为 ，若 恒成立， 求实数 的取值范围.     2 sin ,sin cos , 3 cos , sin cos ( 0)x x x x x x      a b  f x  a b 2  f x ABC△ A B C、 、 2,cos 2 b aa b c A c 、 、   0f A m  m 14 1．下列四个函数中，以 为最小正周期，且在区间 上单调递减的函数是 A． B． C． D． 2．函数 f(x)=cos2x＋2sinx 的最大值与最小值的和是 A．−2　　　 B．0 C． 　　　 D． 3．函数 的单调减区间为 A． B． C． D． 4．设函数 ， ，其中 ， ．若 ， ，且 的最小正周期大于 ，则 A． ， B． ， C． ， D． ， 5．已知函数 （ ， ），其图象相邻两条对称轴之间的距离为 ，将函数 的 图象向左平移 个单位后，得到的图象关于 轴对称，那么函数 的图象 A．关于点 对称 B．关于点 对称 C．关于直线 对称 D．关于直线 对称 6．函数 （ ， ）的部分图象如图所示，将函数 的图象向右平移 个单 位后得到函数 的图象，若函数 在区间 ( )上的值域为 ，则 等于  ( , )2   sin 2y x 2 cosy x cos 2 xy   tany x  3 2 1 2 1 2 log sin(2 )4y x   ( , ]( )4k k k   Z ( , ]( )8 8k k k     Z 3( , ] ( )8 8k k k     Z 3( , ]( )8 8k k k     Z ( ) 2sin( )f x x   xR 0  | |   5( ) 28f   ( ) 08f   ( )f x 2 2 3  12  2 3  12   1 3  24   1 3  24  15 A． B． C． D． 7．已知函数 的最小正周期为 ，且 ，则 A． B． C． D． 8．若函数 的最大值为 ，则 的最小正周期为__________． 9．已知函数 ， ，直线 与 、 的图象分别交于 、 两点，则 的最大值是________． 10．函数 的最大值是__________． 11．将函数 的图象向左平移 个单位长度，得到偶函数 的图象，则 的最大 值是__________．学+ 12．已知函数 ，若 ，则 __________． 13．设函数 . （1）求函数 的最小正周期和单调递增区间； （2）当 时，求函数 的最大值.    2cos cos 3sinf x x x x   xR  y f x π0, 2x      f x 16 14．已知函数 . （1）求函数 的单调递减区间； （2）若 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， ， ， ，求 . 15．已知向量 ， ，设函数 ． （1）若函数 的图象关于直线 对称，且 时，求函数 的单调增区间； （2）在（1）的条件下，当 时，函数 有且只有一个零点，求实数 的取值范围． 16．已知函数 的图象经过点 . （1）求 的值，并求函数 的单调递增区间； （2）若当 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围. 1．（2018 天津理科）将函数 的图象向右平移 个单位长度，所得图象对应的函数 sin(2 )5y x   10  17 A．在区间 上单调递增 B．在区间 上单调递减 C．在区间 上单调递增 D．在区间 上单调递减 2．（2017 新课标全国Ⅰ理科）已知曲线 C1：y=cos x，C2：y=sin (2x+ )，则下面结论正确的是 A．把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个单位长度，得 到曲线 C2 B．把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 个单位长度，得 到曲线 C2 C．把 C1 上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个单位长度，得 到曲线 C2 D．把 C1 上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 个单位长度， 得到曲线 C2 3．（2017 新课标全国Ⅲ理科）设函数 ，则下列结论错误的是 A． 的一个周期为 B． 的图象关于直线 对称 C． 的一个零点为 D． 在( , )单调递减 4．（2018 北京理科）设函数 f（x）= ，若 对任意的实数 x 都成立，则 ω 的最 小值为__________． 5．（2018 新课标全国Ⅲ理科）函数 在 的零点个数为________． 6．（2017 新课标全国Ⅱ理科）函数 ( )的最大值是 . 7．（2017 浙江）已知函数 ． 3 5[ , ]4 4   3[ , ]4   5 3[ , ]4 2   3[ ,2 ]2   2π 3 π 6 π 12 1 2 π 6 1 2 π 12   π( 3cos )f x x  ( )f x 2π ( )y f x 8π 3x  ( π)f x  π 6x  ( )f x π 2 π πcos( )( 0)6x   π( ) ( )4f x f   πcos 3 6f x x      0 π，   2 3sin 3 cos 4f x x x   π0, 2x     2 2sin cos 2 3sin cos ( )( ) x x xf x x x   R 18 （1）求 的值． （2）求 的最小正周期及单调递增区间． 8．（2017 江苏）已知向量 （1）若 a∥b，求 的值； （2）记 ，求 的最大值和最小值以及对应的 的值． 1．【答案】C 【解析】 ，由 是正三角形可知 ， 则 .令 ，代入 可得 ，解得 .故选 C. 2．【解析】(1)由函数的图象可知, ,解得 . 设函数 f(x)的最小正周期为 T,则由题意得 - ,所以 T=π, 所以 =π,解得 ω=2. 因为函数 f(x)的图象过点( ,2),且 0<φ< , 所以 2=sin(2× +φ)+1,解得 φ= . 所以函数 f(x)的解析式为 f(x)=sin(2x+ )+1. 2( )3f  ( )f x (cos , sin ), (3, 3), [0,π].x x x   a b x ( )f x  a b ( )f x x 变式拓展 2π  π 12 π 2 π 12 π 3 π 3 19 3．【答案】B 【解析】由题意，知 ， ，∴ ，∴当 时， ，当 时， .故选 B． 4．【解析】（1）∵函数 ， 故它的最小正周期为 . （2）令 ，求得 ， 故函数 的单调递增区间为 ， . （3）当 时， ，∴ ， 故当 时，函数 取得最小值，为-1， 当 时，函数 取得最大值，为 2. 5．【答案】C 【解析】因为函数的最小正周期 T= =4π，所以 ω= ，所以 f（x）=sin . 因为 =sin =sin = ，所以 A，B 错误． 将函数 f（x）的图象向右平移 个单位后得到 g（x）=sin =sin 的图象，关于原点对称， 2 2 2sin 2cos cos 2cos 1 (cos 1) 2y x x x x x          4 3 3x     11 cos 2x   1cos 2x max 7 4y  cos 1 x min 2y   ( ) 2cos( ) 2cos( )3 2 2 3 x xf x      2 41 2    2 22 3 xk k       4 24 43 3k x k       ( )f x 4 2[4 ,4 ]3 3k k     k Z [0,2 ]x  2[ , ]2 3 3 3 x      1cos( ) [ ,1]2 3 2 x    2 2 3 3 x    ( )f x 02 3 x   ( )f x 2   1 2 1( )2 6x  ( )3f  1( )2 3 6    3  3 2 3  1[ ( ) ]2 3 6x    2 x 20 所以 C 正确． 由− ＋2kπ≤ x＋ ≤ ＋2kπ（k Z），得− ＋4kπ≤x≤ ＋4kπ（k Z），所以 f（x）=sin 的单调递增区间为 ，k Z，所以 D 错误． 故选 C. 6．【答案】B 对于函数 ，令 ，解得 , 当 时，令 ，则 . 对于函数 ，令 ，解得 ， 当 时，令 ，则 . 易得当函数 与 均在区间 上单调递减时， 的最大值为 ， 的最小值为 ， 所以 的最大值为 ，故选 B． 7．【解析】（1）函数 + ， 因为 的最大值为 2， 所以解得 .则 ， 由 ，可得： ， ， 所得函数 的单调减区间为 . （2）由 ，可得 ，即 . 解得 ，即 . 因为 ， 2  1 2 6  2   4 3  2 3   1( )2 6x  4 2[ 4 4 ]3 3k k         2 3 sin cosf x x x  a b  sin cosx x   sin cosx x  2 22 3 sin cos sin cosx x x x     3sin 2 cos2x x  3 12 sin 2 cos22 2x x       π2 sin 2 6x       f x 1    π2sin 2 6f x x     π π 3π2 π 2 2 π2 6 2k x k     2π 5π2 π 2 2 π3 3k x k    π 5ππ π3 6k x k     f x  π 5ππ π3 6k k k      Z， 2 2 22cos 2 2 b a b c aA c bc     2 2 2 22b ab b c a    2 2 2b a c ab   1cos 2C  π 3C  2π0 3A  21 所以 ， ， 因为 恒成立， 所以 恒成立，即 . 所以实数 的取值范围是 . 1．【答案】D 【解析】观察各选项可知，最小正周期为 的函数有 A、B、D， 在 上有增有减， 在 上是增函数， 在 上是减函数．故选 D． 3．【答案】B 【解析】由对数函数的定义域和复合函数的单调性可知， ，所以有 ， ， 即 ，故选 B. 4．【答案】A π π 7π26 6 6A    1 πsin 2 12 6A         π2sin 2 06f A m A m        π2sin 2 6A m     1 2m   m 1( , ]2  考点冲关  sin 2y x ( , )2   2 cosy x ( , )2   tan( )y x  ( , )2   sin(2 ) 04 2 2 2 ,2 4 2 x k x k k               Z 2 2 24 2k x k       k Z ( )8 8k x k k       Z 22 5．【答案】B 【解析】因为函数 的图象相邻两条对称轴之间的距离为 ，所以函数 的周期为 ，则 ， 从而 ， 将函数 的图象向左平移 个单位后，得到函数 的图象， 由题意知该图象关于 轴对称，则 ，即 ， 又 ，则 ， 令 ，解得 ， 当 时，得 的图象关于点 对称，故选 B． 6．【答案】B 【解析】由图象可知， ，所以 ，当 （ ）时， ， 因为值域里有 ，所以 ， ，选 B. 【名师点睛】本题学生容易经验性的认为 ,但此时 在 内无解，所以 .已知函数 的图象求解析式： (1) . 23 (2)由函数的周期 求 (3)利用“五点法”中相对应的特殊点求 ，一般用最高点或最低点求. 7．【答案】B 【解析】函数 ，其中 ， 所以 的最小正周期为 ，解得 ， 所以 ， 又 ，即 ，即 ， 所以 ，故选 B． 8．【答案】 【解析】∵函数 的最大值为 因此 的最小正周期为 9．【答案】 【解析】 ， 的最大值是 . 【名师点睛】三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化 为 的形式再借助三角函数图象研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特 征． 10．【答案】 【解析】因为 ， 所以 即最大值是 . 11．【答案】 24 12．【答案】 【解析】因为周期 ， 所以 . 因为 ， ， 所以 为相邻的对称中心，所以 ， 所以 ，所以 . 因为 ，所以 ， 所以 . 因为 ，所以 ，所以 ， 所以 . 13．【解析】（1） . 则函数 的最小正周期为 . 令 ， ， 函数 的单调递增区间为 . （2） ， ， ，    2cos cos 3sinf x x x x   π2sin 2 16x      y f x π π π2 π 22 6k x    π2 π ( )2k k Z π ππ π ( )3 6k x k k     Z   y f x π ππ , π3 6k k     ( )k Z π0, 2x     π π 7π2 ,6 6 6x       π 1sin 2 ,16 2x             25 故 的最大值是 3. 14．【解析】（1） . 由 ， ， 得 ， . ∴函数 的单调递减区间为 ， . 15．【解析】向量 ， ， 则 , （1）∵函数 的图象关于直线 对称， ∴ ，解得： ， ∵ ，∴ ， ∴ ， 由 ，解得： ， 故函数 的单调增区间为 ． （2）由（1）知 ，   π2sin 2 16f x x       3sin ,1xm  2cos ,cos 1x x  n   2· 3sin cos cos 1f x b x x x b       m n 3 1 3 π 3sin2 cos2 sin 22 2 2 6 2x x b x b              f x π 6x   π π π2 π6 6 2k k     Z  3 1k k   Z  0,3  1    π 3sin 2 6 2f x x b       π π π2 π 2 2 π2 6 2k x k      π ππ π3 6k x k k    Z  f x  π ππ , π3 6k k k      Z   π 3sin 2 6 2f x x b       26 ∵ ，∴ ， ∴ ，即 时，函数 单调递增； ，即 时，函数 单调递减． 又 ， ∴当 或 时函数 有且只有一个零点． 即 或 ， 所以满足条件的 ． 16．【解析】（1） 因为 经过点 ，所以 ， ， 因为 的单调递增区间为 ， 所以 ， 所以 ， 故 的单调递增区间为 . （2）由（1）知 ， 因为 ，所以 ， 当 ，即 时， ， 7π0, 12x     π π 4π2 ,6 6 3x      π π π2 ,6 6 2x      π0, 6x      f x π π 4π2 ,6 6 3x      π 7π,6 12x      f x   π0 3f f      π 7π03 12f f           π 06f       f x 4π 3 5πsin sin3 2 6b    31 02 b   3 3 5( 2, ] { }2 2b    27 因为 恒成立即 ，所以 . 1．【答案】A 【解析】由函数图象平移变换的性质可知：将 的图象向右平移 个单位长度之后的解析 式为 .则函数的单调递增区间满足 ，即 ，令 可得一个单调递增区间为 .函数的单调递减区间满足： ，即 ，令 可得一个单调递减区间为： .故选 A. 【名师点睛】本题主要考查三角函数的平移变换，三角函数的单调区间的判断等知识，意在考查学生的 转化能力和计算求解能力. 2．【答案】D 【解析】因为 函数名不同，所以先将 利用诱导公式转化成与 相同的函数名，则 ，则由 上各点的横坐标缩短到原来的 倍变 为 ，再将曲线向左平移 个单位长度得到 ，故选 D. 【名师点睛】对于三角函数图象变换问题，首先要将不同名函数转换成同名函数，利用诱导公式，需要 重点记住 ；另外，在进行图象变换时，提倡先平移后伸缩，而先 伸缩后平移在考试中也经常出现，无论哪种变换，记住每一个变换总是对变量 而言. 3．【答案】D 【解析】函数 的最小正周期为 ，则函数 的周期为 ，取 ， 可得函数 的一个周期为 ，选项 A 正确； 函数 图象的对称轴为 ，即 ，取 ，可得 y=f(x)的图象关 直通高考 1 2,C C 2C 1C 2 2π 2π π π: sin(2 ) cos(2 ) cos(2 )3 3 2 6C y x x x       1C 1 2 cos2y x π 12 2C π πsin cos( ),cos sin( )2 2       x ( )f x 2π 2π1T   ( )f x  2 πT k k Z 1k    f x 2π ( )f x  π π3x k k  Z  ππ 3x k k  Z 3k  28 于直线 对称，选项 B 正确； ， 函 数 的 零 点 满 足 ， 即 ，取 ，可得 的一个零点为 ，选项 C 正确； 当 时， ，函数 在该区间内不单调，选项 D 错误. 故选 D. 【名师点睛】（1）求最小正周期时可先把所给三角函数式化为 或 的形式，则最小正周期为 ；奇偶性的判断关键是解析式是否为 或 的形式. （2）求 的对称轴，只需令 ，求 x；求 f(x)的对称 中心的横坐标，只需令 即可. 4．【答案】 【解析】因为 对任意的实数 x 都成立，所以 取最大值，所以 ，因为 ，所以当 时，ω 取最小值为 . 6．【答案】1 【解析】化简三角函数的解析式： ， 由自变量的范围： 可得： ， 8π 3x    π ππ cos π cos3 3f x x x                   ( )f x  π ππ3 2x k k   Z  ππ 6x k k  Z 0k  ( π)f x  π 6x  π ,π2x     π 5π 4π,3 6 3x      ( )f x (n )siy A x   (s )coy A x   2πT  siny A x cosy A x b     sin 0( )f x A x     ππ 2x k k    Z π( )x k k   Z   2 2 23 1 31 cos 3 cos cos 3 cos cos 14 4 2f x x x x x x                π0, 2x      cos 0,1x 29 当 时，函数 取得最大值 1. 【名师点睛】本题经三角函数式的化简将三角函数的问题转化为二次函数的问题，二次函数、二次方程 与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是 探求解题思路的有效方法.一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面 分析. 7．【解析】（1）由 ， ， ． 得 ． 【名师点睛】本题主要考查了三角函数的化简，以及函数 的性质，是高考中的常考知 识点，属于基础题，强调基础的重要性；三角函数解答题中，涉及到周期，单调性，单调区间以及最值 等考点时，都属于考查三角函数的性质，首先应把它化为三角函数的基本形式即 ，然 后利用三角函数 的性质求解． 8．【解析】（1）因为 ， ，a∥b，所以 ． 若 ，则 ，与 矛盾，故 ． 于是 ．又 ，所以 ． （2） ． 因为 ，所以 ，从而 ． 3cos 2x   f x 2 3sin 3 2   2 1cos 3 2    2 22 3 1 3 1( ) ( ) ( ) 2 3 ( )3 2 2 2 2f         2( ) 23f      xAy sin    xAy sin uAy sin co( )s ,sinx xa (3, 3) b 3 cos 3sinx x  cos 0x  sin 0x  2 2sin cos 1x x  cos 0x  3tan 3x   5π 6x  π(cos ,sin ) (3, 3) 3cos 3sin 2 3 cos(( ) )6f x x x x x x        a b π π 7π[ , ]6 6 6x   π 31 cos( )6 2x    30 于是，当 ，即 时， 取到最大值 3； 当 ，即 时， 取到最小值 ． π π 6 6x   0x  π 6x    5π 6x  2 3