数学卷·2018届湖北省襄阳一中高二下学期开学数学试卷（理科） （解析版） 21页

‎2016-2017学年湖北省襄阳一中高二（下）开学数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1．采用系统抽样方法从1000人中抽取50人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，1000，适当分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8．抽到的50人中，编号落入区间[1，400]的人做问卷A，编号落入区间[401，750]的人做问卷B，其余的人做问卷C．则抽到的人中，做问卷C的人数为（　　）‎ A．12 B．13 C．14 D．15‎ ‎2．高一年级某班63人，要选一名学生做代表，每名学生当选是等可能的，若“选出代表是女生”的概率是“选出代表是男生”的概率的，这个班的女生人数为（　　）‎ A．20 B．25 C．30 D．35‎ ‎3．某人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（　　）‎ A．至多有一次中靶 B．两次都中靶 C．两次都不中靶 D．只有一次中靶 ‎4．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．己知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（　　）‎ A．0.648 B．0.432 C．0.36 D．0.312‎ ‎5．在区间[0，9]上随机取一实数x，则该实数x满足不等式1≤log2x≤2的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．在区间[﹣1，1]上任取两数s和t，则关于x的方程x2+2sx+t=0的两根都是正数的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．用0，1，2，3组成没有重复数字的四位数，其中奇数有（　　）‎ A．8个 B．10个 C．18个 D．24个 ‎8．如图所示，使电路接通，开关不同的开闭方式有（　　）‎ A．11种 B．20种 C．21种 D．12种 ‎9．2014年西安地区特长生考试有8所名校招生，若某3位同学恰好被其中的2所名校录取，则不同的录取方法有（　　）‎ A．68种 B．84种 C．168种 D．224种 ‎10．将4名学生分配到甲、乙、丙3个实验室准备实验，每个实验室至少分配1名学生的不同分配方案共有（　　）‎ A．12种 B．24种 C．36种 D．48种 ‎11．点B是点A（1，2，3）在坐标平面yOz内的射影，则OB等于（　　）‎ A． B． C．2 D．‎ ‎12．如图，已知A（4，0）、B（0，4），从点P（2，0）射出的光线经直线AB反向后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是（　　）‎ A．2 B．6 C．3 D．2‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4个小题，每题5分，满分20分）‎ ‎13．某校一天要上语文、数学、外语、历史、政治、体育六节课，在所有可能的安排中，数学不排在最后一节，体育不排在第一节的概率是　　．‎ ‎14．已知关于x的二项式（+）n展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则a的值为　　．‎ ‎15．已知（1+x）+（1+x）2+…+（1+x）n=a0+a1x+a2x2+…+anxn，且a1+a2+…+an﹣1‎ ‎=29﹣n，则n=　　．‎ ‎16．从4名男生、3名女生中任选3人参加一次公益活动，其中男生、女生均不少于1人的选法有中　　．（用数字作答）‎ ‎　‎ 三.解答题（70分）‎ ‎17．（10分）一场晚会有5个唱歌节目和3个舞蹈节目，要求排出一个节目单 ‎（1）前4个节目中要有舞蹈，有多少种排法？‎ ‎（2）3个舞蹈节目要排在一起，有多少种排法？‎ ‎（3）3个舞蹈节目彼此要隔开，有多少种排法？‎ ‎18．（12分）已知圆C经过点A（﹣1，0）和B（3，0），且圆心在直线x﹣y=0上．‎ ‎（1）求圆C的方程；‎ ‎（2）若点P（x，y）为圆C上任意一点，求点P到直线x+2y+4=0的距离的最大值和最小值．‎ ‎19．（12分）某中学的数学测试中设置了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个内容，成绩分为A、B、C、D、E五个等级．某班考生两科的考试成绩的数据统计如图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩等级为B的考生有10人．‎ ‎（1）求该班考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A的人数；‎ ‎（2）若等级A、B、C、D、E分别对应5分、4分、3分、2分、1分，该考场中有2人10分，3人9分，从这5人中随机抽取2人，求2人成绩之和为19分的概率．‎ ‎20．（12分）（1）在（1+x）n的展开式中，若第3项与第6项系数相等，且n等于多少？‎ ‎（2）（x+）n的展开式奇数项的二项式系数之和为128，则求展开式中二项式系数最大项．‎ ‎21．（12分）已知关于x的一元二次函数f（x）=ax2﹣bx+1，设集合P={1，2，3}，Q={﹣1，1，2，3，4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b．‎ ‎（1）求函数y=f（x）有零点的概率；‎ ‎（2）求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．‎ ‎22．（12分）已知圆C过点M（0，﹣2），N（3，1），且圆心C在直线x+2y+1=0上．‎ ‎（Ⅰ）求圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）问是否存在满足以下两个条件的直线l：①斜率为1；②直线被圆C截得的弦为AB，以AB为直径的圆C1过原点．若存在这样的直线，请求出其方程；若不存在，说明理由．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年湖北省襄阳一中高二（下）开学数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1．采用系统抽样方法从1000人中抽取50人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，1000，适当分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8．抽到的50人中，编号落入区间[1，400]的人做问卷A，编号落入区间[401，750]的人做问卷B，其余的人做问卷C．则抽到的人中，做问卷C的人数为（　　）‎ A．12 B．13 C．14 D．15‎ ‎【考点】系统抽样方法．‎ ‎【分析】由题意可得抽到的号码构成以8为首项、以20为公差的等差数列，求得此等差数列的通项公式为an，由751≤an≤1000 求得正整数n的个数，即为所求．‎ ‎【解答】解：由1000÷50=20，故由题意可得抽到的号码构成以8为首项、以20为公差的等差数列，‎ 且此等差数列的通项公式为an=8+（n﹣1）20=20n﹣12．‎ 由 751≤20n﹣12≤1000 解得 38.2≤n≤50.6．‎ 再由n为正整数可得 39≤n≤50，且 n∈Z，‎ 故做问卷C的人数为12，‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题主要考查等差数列的通项公式，系统抽样的定义和方法，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎2．高一年级某班63人，要选一名学生做代表，每名学生当选是等可能的，若“选出代表是女生”的概率是“选出代表是男生”的概率的，这个班的女生人数为（　　）‎ A．20 B．25 C．30 D．35‎ ‎【考点】等可能事件的概率．‎ ‎【分析】根据题意，设班中的女生数为x，由班级的总人数可得“选出代表是女生”的概率与“选出代表是男生”的概率，依题意可得=，解可得x的值，即可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，设班中的女生数为x，‎ 则“选出代表是女生”的概率为，“选出代表是男生”的概率为1﹣，‎ 则有==，‎ 解可得x=30，‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查概率的运用，关键是根据题意用x表示出“选出代表是女生”与“选出代表是男生”的概率．‎ ‎　‎ ‎3．某人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（　　）‎ A．至多有一次中靶 B．两次都中靶 C．两次都不中靶 D．只有一次中靶 ‎【考点】互斥事件与对立事件．‎ ‎【分析】事件“至少有一次中靶”包含两次都中靶和两次中有一次中靶，它的互斥事件是两次都不中靶，实际上它的对立事件也是两次都不中靶．‎ ‎【解答】解：∵事件“至少有一次中靶”包含两次都中靶和两次中有一次中靶，‎ 它的互斥事件是两次都不中靶，‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查互斥事件和对立事件，对立事件是指同一次试验中，不会同时发生的事件，遇到求用至少来表述的事件的概率时，往往先求它的对立事件的概率．‎ ‎　‎ ‎4．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．己知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（　　）‎ A．0.648 B．0.432 C．0.36 D．0.312‎ ‎【考点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．‎ ‎【分析】判断该同学投篮投中是独立重复试验，然后求解概率即可．‎ ‎【解答】解：由题意可知：同学3次测试满足X∽B（3，0.6），‎ 该同学通过测试的概率为=0.648．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查独立重复试验概率的求法，基本知识的考查．‎ ‎　‎ ‎5．在区间[0，9]上随机取一实数x，则该实数x满足不等式1≤log2x≤2的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】几何概型．‎ ‎【分析】解不等式1≤log2x≤2，可得2≤x≤4，以长度为测度，即可求在区间[0，9]上随机取一实数x，该实数x满足不等式1≤log2x≤2的概率．‎ ‎【解答】解：本题属于几何概型 解不等式1≤log2x≤2，可得2≤x≤4，‎ ‎∴在区间[0，9]上随机取一实数x，该实数x满足不等式1≤log2x≤2的概率为=‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查几何概型，解题的关键是解不等式，确定其测度．‎ ‎　‎ ‎6．在区间[﹣1，1]上任取两数s和t，则关于x的方程x2+2sx+t=0的两根都是正数的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】几何概型．‎ ‎【分析】先将二次方程x2+2sx+t=0的两根都是正数的s，t必须满足的条件列出来，再在坐标系sot中画出区域，最后求出面积比即可．‎ ‎【解答】解：由题意可得，，其区域是边长为2的正方形，面积为4‎ 由二次方程x2+2sx+t=0有两正根可得，其区域如图所示 即其区域如图所示，面积S=s2ds==‎ 所求概率P=‎ 故选B ‎【点评】本题主要考查了与面积有关的几何概率的求解，解题的关键是利用积分求出指定事件的面积 ‎　‎ ‎7．用0，1，2，3组成没有重复数字的四位数，其中奇数有（　　）‎ A．8个 B．10个 C．18个 D．24个 ‎【考点】计数原理的应用．‎ ‎【分析】先确定个位数字有2种方法；再确定千位，有2种方法；最后把剩下的2个数字排在十位和百位上，有种方法．根据分步计数原理，求得满足条件的四位奇数的个数．‎ ‎【解答】解：先确定个位数字为奇数，有2种方法；再确定千位，有2种方法；十位和百位没有限制，把剩下的2个数字排在十位和百位上，有种方法．‎ 根据分步计数原理，满足条件的四位奇数有2×2×=8个，‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题主要考查分步计数原理的应用，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎8．如图所示，使电路接通，开关不同的开闭方式有（　　）‎ A．11种 B．20种 C．21种 D．12种 ‎【考点】排列、组合及简单计数问题．‎ ‎【分析】设5个开关依次为1、2、3、4、5，由电路知识分析可得电路接通，则开关1、2与3、4、5中至少有1个接通，依次分析开关1、2与3、4、5中至少有1个接通的情况数目，由分步计数原理，计算可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，设5个开关依次为1、2、3、4、5，‎ 若电路接通，则开关1、2与3、4、5中至少有1个接通，‎ 对于开关1、2，共有2×2=4种情况，其中全部断开的有1种情况，则其至少有1个接通的有4﹣1=3种情况，‎ 对于开关3、4、5，共有2×2×2=8种情况，其中全部断开的有1种情况，则其至少有1个接通的8﹣1=7种情况，‎ 则电路接通的情况有3×7=21种；‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查分步计数原理的应用，可以用间接法分析开关至少有一个闭合的情况，关键是分析出电路解题的条件．‎ ‎　‎ ‎9．2014年西安地区特长生考试有8所名校招生，若某3位同学恰好被其中的2所名校录取，则不同的录取方法有（　　）‎ A．68种 B．84种 C．168种 D．224种 ‎【考点】计数原理的应用．‎ ‎【分析】解决这个问题得分两步步完成，第一步把三个学生分成两组，第二步从8所学校中取两个学校，把学生分到两个学校中，再用乘法原理求解 ‎【解答】解：由题意知本题是一个分步计数问题，‎ 解决这个问题得分两步完成，‎ 第一步把三个学生分成两组，‎ 第二步从8所学校中取两个学校，把学生分到两个学校中，共有C31C22A82=168．‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查分步计数问题，本题解题的关键是把完成题目分成两步，看清每一步所包含的结果数，本题是一个基础题．‎ ‎　‎ ‎10．将4名学生分配到甲、乙、丙3个实验室准备实验，每个实验室至少分配1名学生的不同分配方案共有（　　）‎ A．12种 B．24种 C．36种 D．48种 ‎【考点】计数原理的应用．‎ ‎【分析】根据题意首先把4名学生分为3组，则有C42种分法，再把分好的3组分到甲、乙、丙3个实验室，则有A33种分法，进而再利用分步计数原理计算出答案．‎ ‎【解答】解：因为4名学生分配到甲、乙、丙3个实验室准备实验，每个实验室至少分配1名学生，‎ 所以首先把4名学生分为3组，则有一个组有2人，共有C42种分法，‎ 再把分好的3组分到甲、乙、丙3个实验室，则有A33种分法，‎ 所以共有C42A33=36种分法．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】解决此类问题的关键是熟练掌握分步计数原理与分步计数原理，以及能够观察出4名学生的分配方法．‎ ‎　‎ ‎11．点B是点A（1，2，3）在坐标平面yOz内的射影，则OB等于（　　）‎ A． B． C．2 D．‎ ‎【考点】空间中的点的坐标．‎ ‎【分析】根据点B是A（1，2，3）在yOz坐标平面内的射影，O为坐标原点，得到点B的坐标，点B是A在yoz 上的射影，所以A与B的纵标和竖标相同，横标为0，得到B的坐标，根据两点之间的距离公式得到结果．‎ ‎【解答】解：∵点B是A（1，2，3）在yOz坐标平面内的射影，‎ ‎∴B点的坐标是（0，2，3），‎ ‎∴|OB|=，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查空间直角坐标系，考查空间中两点间的距离公式，是一个基础题，解题的关键是，一个点在一个坐标平面上的射影的坐标同这个点的坐标的关系．‎ ‎　‎ ‎12．如图，已知A（4，0）、B（0，4），从点P（2，0）射出的光线经直线AB反向后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是（　　）‎ A．2 B．6 C．3 D．2‎ ‎【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程．‎ ‎【分析】设点P关于y轴的对称点P′，点P关于直线AB：x+y﹣4=0的对称点P″，由对称特点可求P′和P″的坐标，在利用入射光线上的点关于反射轴的对称点在反射光线所在的直线上，光线所经过的路程|P′P″|．‎ ‎【解答】解：点P关于y轴的对称点P′坐标是（﹣2，0），设点P关于直线AB：x+y﹣4=0的对称点P″（a，b）‎ ‎∴，解得，‎ ‎∴光线所经过的路程|P′P″|=2，‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题考查求一个点关于直线的对称点的方法（利用垂直及中点在轴上），入射光线上的点关于反射轴的对称点在反射光线所在的直线上，把光线走过的路程转化为|P′P″|的长度，属于中档题．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4个小题，每题5分，满分20分）‎ ‎13．某校一天要上语文、数学、外语、历史、政治、体育六节课，在所有可能的安排中，数学不排在最后一节，体育不排在第一节的概率是　　．‎ ‎【考点】古典概型及其概率计算公式．‎ ‎【分析】本题考查古典概型中利用排列组合求基本事件个数，再求概率的类型，有2个特殊元素，从其中一个数学开始讨论，分2种情况讨论即可．‎ ‎【解答】解：从元素入手，特殊元素优先，先排数学，分2类：‎ ‎①当数学在第一节时，其他5个元素全排列即可，‎ ‎②当数学不在第一节时，也不排在最后一节，则应为；再排体育，又不排在第一节，应为，然后剩下4个元素全排列，即本类排法为，‎ 综上共有+=504‎ 又基本事件共有=720‎ 所以概率P==，‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】利用排列组合求概率，属于排列中的特殊元素特殊位置类型，从元素入手或者从位置入手都可，但讨论标准讨论完前，不可更换．‎ ‎　‎ ‎14．已知关于x的二项式（+）n展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则a的值为　2　．‎ ‎【考点】二项式系数的性质．‎ ‎【分析】利用二项式系数的和，求出n，通过二项展开式的通项公式求出通项，令x的指数为0，即可求出a的值．‎ ‎【解答】解：二项式（+）n展开式的二项式系数之和为32，‎ ‎∴2n=32，∴n=5；‎ ‎∴=，令，可得r=3，‎ ‎∵展开式的常数项是80，‎ ‎∴，‎ 解得a=2．‎ 故答案为：2．‎ ‎【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题，考查计算能力．‎ ‎　‎ ‎15．已知（1+x）+（1+x）2+…+（1+x）n=a0+a1x+a2x2+…+anxn，且a1+a2+…+an﹣1=29﹣n，则n=　4　．‎ ‎【考点】二项式系数的性质．‎ ‎【分析】先求出an，通过给已知等式中的x分别赋值1和0，求出展开式的所有项的系数和及a0；进一步求出a1+a2+…+an﹣1，列出方程求出n的值．‎ ‎【解答】解：由于左边只有（1+x）n的展开式中含xn，‎ 所以an=1‎ 令已知等式中的x=1得 a0+a1+a2+…+an=2+22+…+2n=2n+1﹣2‎ 令已知等式中的x=0得 a0=n ‎∴a1+a2+…+an﹣1=2n+1﹣2﹣n﹣1‎ ‎∴2n+1﹣n﹣3=29﹣n 解得n=4．‎ 故答案为：4‎ ‎【点评】本题考查求展开式的系数和问题，常通过观察给展开式中的未知数赋值，求出系数和．‎ ‎　‎ ‎16．从4名男生、3名女生中任选3人参加一次公益活动，其中男生、女生均不少于1人的选法有中　30　．（用数字作答）‎ ‎【考点】排列、组合及简单计数问题．‎ ‎【分析】满足条件的事件是男生、女生均不少于1人，包含：男生两个，女生一个；男生一个，女生两个．‎ ‎【解答】解：由题得；满足条件的事件包含：男生两个，女生一个；男生一个，女生两个；‎ 所以：选法总数为： •+•=18+12=30．‎ 故答案为：30．‎ ‎【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题．解决本题的关键在于分析出满足条件的基本事件．‎ ‎　‎ 三.解答题（70分）‎ ‎17．（10分）（2016秋•新余期末）一场晚会有5个唱歌节目和3个舞蹈节目，要求排出一个节目单 ‎（1）前4个节目中要有舞蹈，有多少种排法？‎ ‎（2）3个舞蹈节目要排在一起，有多少种排法？‎ ‎（3）3个舞蹈节目彼此要隔开，有多少种排法？‎ ‎【考点】排列及排列数公式；排列、组合的实际应用．‎ ‎【分析】（1）先不考虑限制条件，8个节目全排列有A88种方法，前4个节目中要有舞蹈的否定是前四个节目全是唱歌有A54A44，用所有的排列减去不符合条件的排列，得到结果．‎ ‎（2）要把3个舞蹈节目要排在一起，则可以采用捆绑法，把三个舞蹈节目看做一个元素和另外5个元素进行全排列，不要忽略三个舞蹈节目本身也有一个排列．‎ ‎（3）3个舞蹈节目彼此要隔开，可以用插空法来解，即先把5个唱歌节目排列，形成6个位置，选三个把舞蹈节目排列．‎ ‎【解答】解（1）∵8个节目全排列有A88=40320种方法，‎ 若前4个节目中要有舞蹈的否定是前四个节目全是唱歌有A54A44，‎ ‎∴前4个节目中要有舞蹈有A88﹣A54A44=37440‎ ‎（2）∵3个舞蹈节目要排在一起，‎ ‎∴可以把三个舞蹈节目看做一个元素和另外5个元素进行全排列，‎ 三个舞蹈节目本身也有一个排列有A66A33=4320，‎ ‎（3）3个舞蹈节目彼此要隔开，‎ 可以用插空法来解，‎ 先把5个唱歌节目排列，形成6个位置，选三个把舞蹈节目排列，‎ 有A55A63=14400．‎ ‎【点评】本题是一个排列组合典型，文科在高考时能考到，理科近几年单独考查排列组合的题目都是以选择和填空出现，实际上所有的排列都可以看作是先取组合，再做全排列；同样，组合如补充一个阶段（排序）可转化为排列问题．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）（2013秋•金台区期末）已知圆C经过点A（﹣1，0）和B（3，0），且圆心在直线x﹣y=0上．‎ ‎（1）求圆C的方程；‎ ‎（2）若点P（x，y）为圆C上任意一点，求点P到直线x+2y+4=0的距离的最大值和最小值．‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】（1）确定圆心坐标与半径，可求圆C的方程；‎ ‎（2）点P到直线x+2y+4=0的距离转化为圆心到直线x+2y+4=0的距离问题．‎ ‎【解答】解：（1）AB的中点坐标为（1，0），‎ ‎∴圆心在直线x=1上，…（1分）‎ 又知圆心在直线x﹣y=0上，‎ ‎∴圆心坐标是（1，1），圆心半径是，…（4分）‎ ‎∴圆方程是（x﹣1）2+（y﹣1）2=5；…（7分）‎ ‎（2）设圆心到直线x+2y+4=0的距离，‎ ‎∴直线x+2y+4=0与圆C相离，…（9分）‎ ‎∴点P到直线x+2y+4=0的距离的最大值是 ‎，…（12分）‎ 最小值是．…（15分）‎ ‎【点评】本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生的转化能力，正确转化是关键．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）（2014•武侯区校级三模）某中学的数学测试中设置了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个内容，成绩分为A、B、C、D、E五个等级．某班考生两科的考试成绩的数据统计如图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩等级为B的考生有10人．‎ ‎（1）求该班考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A的人数；‎ ‎（2）若等级A、B、C、D、E分别对应5分、4分、3分、2分、1分，该考场中有2人10分，3人9分，从这5人中随机抽取2人，求2人成绩之和为19分的概率．‎ ‎【考点】古典概型及其概率计算公式；频率分布直方图．‎ ‎【分析】（1）首先根据题意及频率直方图计算出班级总人数，再利用样本估计总体即可求出“阅读与表达”科目中成绩等级为A的人数；‎ ‎（2）分别列出从5人种任选两人及成绩之和为19分的情况，利用古典概型概率计算公式即可求出概率．‎ ‎【解答】解：（1）由题意得，‎ 该班总人数是 10÷0.25=40人 ‎ ‎∴“阅读与表达”科目中成绩等级为A的人数为 ‎40×（1﹣0.375﹣0.375﹣0.15﹣0.025）=40×0.075=3人 ‎（2）设10分的两人为：x1，x2，‎ ‎9分的三人为；y1，y2，y3．‎ 从5人种任意抽取两人有 ‎（x1，x2），（y1，y2），（y1，y3），（y2，y3），（x1，y1），‎ ‎（x1，y2），（x1，y3），（x2，y1），（x2，y2）（x2，y3）‎ 共10种情况．‎ 其中2人成绩之和为19分的有 ‎（x1，y1），（x1，y2），（x1，y3），（x2，y1），（x2，y2）（x2，y3）‎ 六中情况．‎ ‎∴从这5人中随机抽取2人，求2人成绩之和为19分的概率为．‎ ‎【点评】本题考查样本估计总体，古典概型及概率计算等知识的综合应用，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）（2014•海淀区校级模拟）（1）在（1+x）n的展开式中，若第3项与第6项系数相等，且n等于多少？‎ ‎（2）（x+）n的展开式奇数项的二项式系数之和为128，则求展开式中二项式系数最大项．‎ ‎【考点】二项式定理．‎ ‎【分析】（1）利用二项展开式的通项求出展开式的第3项与第6项系数，列出方程解出n．‎ ‎（2）利用展开式的二项式系数性质列出方程求出n，利用二项展开式的二项式系数的性质中间项的二项式系数最大，‎ 再利用二项展开式的通项公式求出展开式中二项式系数最大项．‎ ‎【解答】解：（1）由已知得Cn2=Cn5⇒n=7‎ ‎（2）由已知得Cn1+Cn3+Cn5+…=128，‎ ‎∴2n﹣1=128‎ ‎∴n=8，‎ 而展开式中二项式 系数最大项是=70．‎ ‎【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题；本题考查二项式系数的性质．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）（2014•蓟县一模）已知关于x的一元二次函数f（x）=ax2﹣bx+1，设集合P={1，2，3}，Q={﹣1，1，2，3，4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b．‎ ‎（1）求函数y=f（x）有零点的概率；‎ ‎（2）求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．‎ ‎【考点】古典概型及其概率计算公式．‎ ‎【分析】利用乘法原理可求出基本事件的总数．‎ ‎（1）利用一元二次方程有实数根（函数有零点）的充要条件即可得出所包括基本事件的个数；‎ ‎（2）利用二次函数的单调性即可得出所包括的基本事件的个数．‎ ‎【解答】解：（a，b）共有（1，﹣1），（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，﹣1），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，﹣1），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4）15种情况．‎ ‎（1）满足△=b2﹣4a≥0，有（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）共6种情况．‎ ‎∴函数y=f（x）有零点的概率P=．‎ ‎（2）二次函数f（x）=ax2﹣bx+1的对称轴x=，‎ ‎∵函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，∴，‎ 有（1，﹣1），（1，1），（1，2），（2，﹣1），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，﹣1），（3，2），（3，3），（3，4），共13种情况．‎ ‎∴函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率P=．‎ ‎【点评】掌握乘法原理、一元二次方程有实数根（函数有零点）的充要条件、二次函数的单调性、古典概型的计算公式是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎22．（12分）（2014秋•南阳期末）已知圆C过点M（0，﹣2），N（3，1），且圆心C在直线x+2y+1=0上．‎ ‎（Ⅰ）求圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）问是否存在满足以下两个条件的直线l：①斜率为1；②直线被圆C截得的弦为AB，以AB为直径的圆C1过原点．若存在这样的直线，请求出其方程；若不存在，说明理由．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．‎ ‎【分析】（Ⅰ）设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，利用点在圆上，圆心在直线上，列出方程组，解得D，E，F，即可求得圆C方程．‎ ‎（Ⅱ）设直线存在，其方程为y=x+b，它与圆C的交点设为A（x1，y1）、B（x2，y2），利用直线与圆的方程联立方程组，利用韦达定理，推出x1x2，y1y2，利用垂直关系得到，求得b=﹣1或b=﹣4时方程（*）有实根．说明存在这样的直线l有两条，即可．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0‎ 则解得D=﹣6，E=4，F=4‎ ‎∴圆C方程为x2+y2﹣6x+4y+4=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ ‎（Ⅱ）设直线存在，其方程为y=x+b，它与圆C的交点设为A（x1，y1）、B（x2，y2），‎ 则由得2x2+2（b﹣1）x+b2+4b+4=0（*）‎ ‎∴‎ ‎﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）‎ ‎∴y1y2=（x1+b）（x2+b）=，‎ ‎∵AB为直径，∴，∠AOB=90°，∴OA2+OB2=AB2，‎ ‎∴‎ 得x1x2+y1y2=0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）‎ ‎∴，‎ 即b2+4b+4+b（1﹣b）+b2=0，b2+5b+4=0，∴b=﹣1或b=﹣4﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）‎ 容易验证b=﹣1或b=﹣4时方程（*）有实根．‎ 故存在这样的直线l有两条，其方程是y=x﹣1或y=x﹣4．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）‎ ‎【点评】本题考查直线与圆的位置关系，直线与圆的方程的综合应用，考查转化思想以及计算能力．‎