2021高考数学大一轮复习考点规范练19同角三角函数的基本关系及诱导公式理新人教A版 5页

考点规范练19　同角三角函数的基本关系及诱导公式 ‎　考点规范练A册第12页　 ‎ 基础巩固 ‎1.已知sin(θ+π)<0,cos(θ-π)>0,则下列不等关系中必定成立的是(　　)‎ A.sin θ<0,cos θ>0 ‎ B.sin θ>0,cos θ<0‎ C.sin θ>0,cos θ>0 ‎ D.sin θ<0,cos θ<0‎ 答案:B 解析:∵sin(θ+π)<0,∴-sinθ<0,即sinθ>0.‎ ‎∵cos(θ-π)>0,∴-cosθ>0,即cosθ<0.故选B.‎ ‎2.若cosπ‎2‎‎-α‎=‎‎2‎‎3‎,则cos(π-2α)=(　　)‎ A‎.‎‎2‎‎9‎ B‎.‎‎5‎‎9‎ C.-‎2‎‎9‎ D.-‎‎5‎‎9‎ 答案:D 解析:∵cosπ‎2‎‎-α‎=‎‎2‎‎3‎,∴sinα=‎‎2‎‎3‎‎.‎ ‎∵cos(π-2α)=-cos2α=2sin2α-1=2‎×‎‎2‎‎3‎‎2‎-1=-‎‎5‎‎9‎‎.‎ ‎3.已知tan(α-π)=‎3‎‎4‎,且α∈‎π‎2‎‎,‎‎3π‎2‎,则sinα+‎π‎2‎=(　　)‎ A‎.‎‎4‎‎5‎ B.-‎4‎‎5‎ C‎.‎‎3‎‎5‎ D.-‎‎3‎‎5‎ 答案:B 解析:∵tan(α-π)=‎3‎‎4‎,∴tanα=‎3‎‎4‎‎.‎又α∈‎π‎2‎‎,‎‎3π‎2‎,∴α为第三象限角.∴sinα+‎π‎2‎=cosα=-‎‎4‎‎5‎‎.‎ ‎4.sin‎29π‎6‎+cos‎-‎‎29π‎3‎-tan‎25π‎4‎=(　　)‎ A.0 B‎.‎‎1‎‎2‎ C.1 D.-‎‎1‎‎2‎ 5‎ 答案:A 解析:原式=sin‎4π+‎‎5π‎6‎+cos‎-10π+‎π‎3‎-tan‎6π+‎π‎4‎=sin‎5π‎6‎+cosπ‎3‎-tanπ‎4‎‎=‎1‎‎2‎+‎‎1‎‎2‎-1=0.‎ ‎5.已知sinα-2cosα‎3sinα+5cosα=-5,则tan α的值为(　　)‎ A.-2 B.2 C‎.‎‎23‎‎16‎ D.-‎‎23‎‎16‎ 答案:D 解析:由题意可知cosα≠0,‎ ‎∴sinα-2cosα‎3sinα+5cosα=‎tanα-2‎‎3tanα+5‎‎=-5,解得tanα=-‎‎23‎‎16‎‎.‎ ‎6.(2019山东济宁一模)若sin x=3sinx-‎π‎2‎,则cos x·cosx+‎π‎2‎=(　　)‎ A‎.‎‎3‎‎10‎ B.-‎3‎‎10‎ C‎.‎‎3‎‎4‎ D.-‎‎3‎‎4‎ 答案:A 解析:由sinx=3sinx-‎π‎2‎,得sinx=-3cosx,即tanx=-3,‎ 所以cosx·cosx+‎π‎2‎=-cosx·sinx=-cosx·sinxsin‎2‎x+cos‎2‎x=-‎tanxtan‎2‎x+1‎‎=‎3‎‎10‎.‎ ‎7.已知sinx+‎π‎6‎‎=‎‎1‎‎4‎,则sin‎5π‎6‎‎-x+cosπ‎3‎‎-x的值为(　　)‎ A.0 B‎.‎‎1‎‎4‎ C‎.‎‎1‎‎2‎ D.-‎‎1‎‎2‎ 答案:C 解析:因为sinx+‎π‎6‎‎=‎‎1‎‎4‎,所以sin‎5π‎6‎‎-x+cosπ‎3‎‎-x ‎=sinπ-‎x+‎π‎6‎+cosπ‎2‎‎-‎x+‎π‎6‎=2sinx+‎π‎6‎=2‎×‎1‎‎4‎=‎1‎‎2‎.‎故选C.‎ ‎8.若α∈(0,π),sin(π-α)+cos α=‎2‎‎3‎,则sin α-cos α的值为(　　)‎ A‎.‎‎2‎‎3‎ B.-‎2‎‎3‎ C‎.‎‎4‎‎3‎ D.-‎‎4‎‎3‎ 答案:C 5‎ 解析:由诱导公式得sin(π-α)+cosα=sinα+cosα=‎2‎‎3‎,平方得(sinα+cosα)2=1+2sinαcosα=‎2‎‎9‎,则2sinαcosα=-‎7‎‎9‎<0,所以(sinα-cosα)2=1-2sinαcosα=‎16‎‎9‎,‎ 又因为α∈(0,π),所以sinα-cosα>0,所以sinα-cosα=‎‎4‎‎3‎‎.‎ ‎9.已知α∈‎π‎2‎‎,π,sin α=‎4‎‎5‎,则tan α=　　　　　. ‎ 答案:-‎‎4‎‎3‎ 解析:‎∵α∈‎π‎2‎‎,π,∴cosα=-‎1-sin‎2‎α=-‎‎3‎‎5‎‎.‎ ‎∴tanα=sinαcosα=-‎‎4‎‎3‎‎.‎ ‎10.若f(cos x)=cos 2x,则f(sin 15°)=　　　　　. ‎ 答案:-‎‎3‎‎2‎ 解析:f(sin15°)=f(cos75°)=cos150°=cos(180°-30°)=-cos30°=-‎‎3‎‎2‎‎.‎ ‎11.已知α为第二象限角,则cos α‎1+tan‎2‎α+sin α‎1+‎‎1‎tan‎2‎α=　　　　　. ‎ 答案:0‎ 解析:原式=cosαsin‎2‎α+cos‎2‎αcos‎2‎α+sinαsin‎2‎α+cos‎2‎αsin‎2‎α=cosα‎1‎‎|cosα|‎+sinα‎1‎‎|sinα|‎.‎ 因为α是第二象限角,所以sinα>0,cosα<0,所以cosα‎1‎‎|cosα|‎+sinα‎1‎‎|sinα|‎=-1+1=0,即原式等于0.‎ ‎12.已知k∈Z,则sin(kπ-α)cos[(k-1)π-α]‎sin[(k+1)π+α]cos(kπ+α)‎的值为　　　　　. ‎ 答案:-1‎ 解析:当k=2n(n∈Z)时,原式=‎sin(2nπ-α)cos[(2n-1)π-α]‎sin[(2n+1)π+α]cos(2nπ+α)‎ ‎=sin(-α)·cos(-π-α)‎sin(π+α)·cosα‎=‎‎-sinα(-cosα)‎‎-sinα·cosα=-1.‎ 当k=2n+1(n∈Z)时,‎ 原式=‎sin[(2n+1)π-α]·cos[(2n+1-1)π-α]‎sin[(2n+1+1)π+α]·cos[(2n+1)π+α]‎ 5‎ ‎=sin(π-α)·cosαsinα·cos(π+α)‎‎=‎sinα·cosαsinα(-cosα)‎=-1.‎ 综上,原式=-1.‎ 能力提升 ‎13.已知sin(π-α)=log8‎1‎‎4‎,且α∈‎‎-π‎2‎,0‎,则tan(2π-α)的值为(　　)‎ A.-‎2‎‎5‎‎5‎ B‎.‎‎2‎‎5‎‎5‎ C.±‎2‎‎5‎‎5‎ D‎.‎‎5‎‎2‎ 答案:B 解析:sin(π-α)=sinα=log8‎1‎‎4‎=-‎‎2‎‎3‎‎.‎ 又因为α∈‎‎-π‎2‎,0‎,所以cosα=‎1-sin‎2‎α‎=‎‎5‎‎3‎,‎ 所以tan(2π-α)=tan(-α)=-tanα=-‎sinαcosα‎=‎2‎‎5‎‎5‎.‎ ‎14.已知2tan α·sin α=3,-π‎2‎<α<0,则sin α等于(　　)‎ A‎.‎‎3‎‎2‎ B.-‎3‎‎2‎ C‎.‎‎1‎‎2‎ D.-‎‎1‎‎2‎ 答案:B 解析:∵2tanα·sinα=3,‎∴‎‎2sin‎2‎αcosα=3,‎ 即2cos2α+3cosα-2=0.‎ 又-π‎2‎<α<0,∴cosα=‎1‎‎2‎(cosα=-2舍去),‎ ‎∴sinα=-‎‎3‎‎2‎‎.‎ ‎15.在△ABC中,‎3‎sinπ‎2‎‎-A=3sin(π-A),且cos A=-‎3‎cos(π-B),则△ABC为(　　)‎ A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形 答案:B 5‎ 解析:由‎3‎sinπ‎2‎‎-A=3sin(π-A),得‎3‎cosA=3sinA,所以tanA=‎3‎‎3‎,所以A=π‎6‎‎.‎由cosA=-‎3‎cos(π-B),得cosπ‎6‎‎=‎‎3‎cosB,所以cosB=‎1‎‎2‎,所以B=π‎3‎‎.‎所以C=π-A-B=π‎2‎‎.‎故△ABC为直角三角形.‎ ‎16.已知cos‎5π‎12‎‎+α‎=‎‎1‎‎3‎,且-π<α<-π‎2‎,则cosπ‎12‎‎-α等于(　　)‎ A‎.‎‎2‎‎2‎‎3‎ B.-‎1‎‎3‎ C‎.‎‎1‎‎3‎ D.-‎‎2‎‎2‎‎3‎ 答案:D 解析:∵cos‎5π‎12‎‎+α=sinπ‎12‎‎-α‎=‎‎1‎‎3‎,‎ 又-π<α<-π‎2‎,‎∴‎7π‎12‎<‎π‎12‎-α<‎‎13π‎12‎‎.‎ ‎∴cosπ‎12‎‎-α=-‎1-sin‎2‎π‎12‎‎-α=-‎‎2‎‎2‎‎3‎‎.‎ ‎17.(2019湖北武昌调研)若tan α=cos α,则‎1‎sinα+cos4α=　　　　　. ‎ 答案:2‎ 解析:∵tanα=cosα,‎∴‎sinαcosα=cosα,∴sinα=cos2α,‎∴‎‎1‎sinα+cos4α=sin‎2‎α+cos‎2‎αsinα+cos4α=sinα+cos‎2‎αsinα+cos4α=sinα+sinαsinα+sin2α=sin2α+sinα+1=sin2α+cos2α+1=1+1=2.‎ 高考预测 ‎18.已知sin α=2cos α,则sin αcos α=(　　)‎ A.-‎2‎‎5‎ B.-‎1‎‎5‎ C‎.‎‎2‎‎5‎ D‎.‎‎1‎‎5‎ 答案:C 解析:由题意得tanα=2,所以sinαcosα=‎sinαcosα‎1‎‎=sinαcosαsin‎2‎α+cos‎2‎α=tanαtan‎2‎α+1‎=‎2‎‎5‎.‎ 5‎