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- 2021-06-20 发布
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(本栏目内容,在学生用书中以活页形式分册装订)
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.下列函数中不能用二分法求零点的是( )
A.f(x)=2x-1 B.f(x)=ln x+2x-6
C.f(x)=x2-4x+4 D.f(x)=3x-1
解析: 选项A、B、D中函数都是单调函数,故能用二分法求零点,选项C中函数具有二重零根,故不能用二分法求零点,故选C.
答案: C
2.函数f(x)=ex-的零点所在的区间是( )
A. B.
C. D.
解析: f=-2<0,f(1)=e-1>0,
∵f·f(1)<0,
∴f(x)的零点在区间内,故选B.
答案: B
3.如果二次函数y=x2+mx+(m+3)有两个不同的零点,则m的取值范围是( )
A.(-2,6) B.[-2,6]
C.{-2,6} D.(-∞-2)∪(6,+∞)
解析: 若函数y=x2+mx+(m+3)有两个不同的零点,则方程x2+mx+(m+3)=0有两个不相等的实数根,
从而应有Δ=m2-4(m+3)>0.
故m<-2或m>6.故选D.
答案: D
4.下列函数增长速度最快的是( )
A.y=ex B.y=100ln x
C.y=x100 D.y=100·2x
解析: 通过三类函数增长的情况比较知:指数函数当底数大于1时,增长速度最快,∵e>2,∴y=ex的增长速度最快,故选A.
答案: A
5.下列给出的四个函数f(x)的图象中能使函数y=f(x)-1没有零点的是( )
解析: 把y=f(x)的图象向下平移1个单位后,只有C图中图象与x轴无交点.故选C.
答案: C
6.方程2x-x2=0的解的个数是( )
A.1 B.2
C.3 D.4
解析: y=2x与y=x2的交点个数即为方程2x-x2=0的解的个数.
如图所示
x=2时,22=4
x=4时,24=42
x<0时,y=2x与y=x2有一个交点,
共3个交点.
答案: C
7.某林区的森林面积每年比上一年平均增长10.4%,要增长到原来的x倍,需经过y年,则函数y=f(x)的图象大致为( )
解析: 由题意得(1+10.4%)y=x,
∴y=log1.104x(y≥0).
答案: D
8.当x∈(4,+∞)时,f(x)=x2,g(x)=2x,h(x)=log2x的大小关系是( )
A.f(x)>g(x)>h(x) B.g(x)>f(x)>h(x)
C.g(x)>h(x)>f(x) D.f(x)>h(x)>g(x)
解析: 在同一坐标系中,画出三个函数的图象,如下图所示.
当x=2时,f(x)=g(x)=4,
当x=4时,f(x)=g(x)=16,
当x>4时,g(x)图象在最上方,h(x)图象在最下方,
故g(x)>f(x)>h(x).故选B.
答案: B
9.某商店迎来店庆,为了吸引顾客,采取“满一百送二十,连环送”的酬宾促销方式,即顾客在店内花钱满100元(可以是现金,也可以是奖励券或二者合计),就送20元奖励券;满200元,就送40元奖励券;满300元,就送60元奖励券;…;当日花钱最多的一位顾客共花出现金70 040元,如果按照酬宾促销方式,他最多能得到优惠( )
A.17 000元 B.17 540元
C.17 500元 D.17 580元[来源:学&科&网]
解析: 这位顾客花的70 000元可得奖励券700×20=14 000(元),只有这位顾客继续把奖励券消费掉,才能得到最多优惠,但当他把14 000元奖励券消费掉可得140×20=2 800元奖励券再消费又可得到28×20=560(元)奖励券,560元消费再加上先前70 040中的40元共消费600元应得奖励券6×20=120元,
120元奖励券消费时又得20元奖励券.
∴他总共会得到14 000+2 800+560+120+20=17 500(元)优惠.
答案: C
10.一个体户有一批货,如果月初售出可获利1 000元,再将本利都存入银行,已知银行月息为2.4%;如果月末售出可获利1 200元,但要付50元保管费,这个个体户若要获得最大收益,则这批货( )
A.月初售出好 B.月末售出好
C.月初或月末一样 D.由成本费的大小确定
解析: 设这批货成本为a元,月初售出可收益(a+1 000)×(1+2.4%)(元),
月末售出可收益a+1 200-50=a+1 150(元).
令(a+1 000)×1.024-a-1 150
=0.024a-126.
当a>=5 250时,月初售出好;
当a<5 250时,月末售出好;
当a=5 250时,月初、月末收益相等,但月末售出还要保管一个月,应选择月初售出.
答案: D
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)
11.若关于x的方程x2-x-(m+1)=0在[-1,1]上有解,则m的取值范围是________.
解析: 方程可化为m=x2-x-1,x∈[-1,1],
即要求f(x)=x2-x-1,x∈[-1,1]的值域.
∵f(x)∈,[来源:学_科_网Z_X_X_K]
∴m∈时方程必有解.
答案:
12.函数f(x)=(x2-2)(x2-3x+2)的零点为________.
解析: 由f(x)=(x2-2)(x2-3x+2)=0得
x=±或x=1或x=2.
∴函数f(x)的零点为-,1,,2.
答案: -,1,,2
13.某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元,预测六月份销售额为500万元,七月份销售额比六月份递增x%,八月份销售额比七月份递增x%,九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等,若一月份至十月份销售总额至少达7000万元,则x的最小值是________.
解析: 由题意知:3 860+500+1 000[(1+x%)+(1+x%)2]≥7 000
∴x2+300x-6 400≥0
∴x≥20
答案: 20
14.对于任意定义在R上的函数f(x),若实数x0满足f(x0)=x0,则称x0是函数f(x)的一个不动点.已知实数a∈(4,5),则函数f(x)=x2+ax+1的不动点共有________个.
解析: 由定义,令x2+ax+1=x,则x2+(a-1)x+1=0.当a∈(4,5)时,Δ=(a-1)2-4>0,所以方程有两根,相应地,f(x)=x2+ax+1(a∈(4,5))有2个不动点.
答案: 2
三、解答题(本大题共4个小题,共50分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(本小题满分12分)用二分法求函数f(x)=x3-x-1在区间(1,1.5)内的一个零点(精确到0.1).
解析: 由于f(1)=1-1-1=-1<0,f(1.5)=1.53-1.5-1=0.875>0,∴f(x)在区间
(1,1.5)内存在零点,取区间(1,1.5)作为计算的初始区间,用二分法逐次计算列表如下:
区间中点[来源:学科网ZXXK]
中点的函数值
取区间
[1,1.5]
x0=1.25
f(x0)<0
(1.25,1.5)
x1=1.375
f(x1)>0
(1.25,1.375)
x2=1.312 5
f(x2)<0
(1.312 5,1.375)
x3=1.343 75
f(x3)>0
(1.312 5,1.343 75)
∵区间(1.312 5,1.343 75)两个端点精确到0.1的近似值都是1.3,所以原函数精确到0.1的零点近似值为1.3.
16.(本小题满分12分)有时可用函数f(x)=
描述学习某学科知识的掌握程度.其中x表示某学科知识的学习次数(x∈N+),f(x)表示对该学科知识的掌握程度,正实数a与学科知识有关.
(1)证明:当x≥7时,掌握程度的增长量f(x+1)-f(x)总是下降;
(2)根据经验,学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为(115,121],(121,127],(127,133].当学习某学科知识6次时,掌握程度是85%,请确定相应的学科.(参考数据e0.05≈1.051)
解析: (1)当x≥7时,
f(x+1)-f(x)=.
而当x≥7时,函数y=(x-3)(x-4)单调递增,
且(x-3)·(x-4)>0.
故函数f(x+1)-f(x)单调递减.
所以当x≥7时,掌握程度的增长量f(x+1)-f(x)总是下降.
(2)由题意可知0.1+15ln=0.85,
整理得=e0.05,
解得a=·6≈20.50×6=123.0,
且123.0∈(121,127].
由此可知,该学科是乙学科.
17.(本小题满分12分)某地区2000年底沙漠面积为95万公顷,为了解该地区沙漠面积的变化情况,进行了连续5年的观测,并将每年年底的观测结果记录如下表,根据此表所给的信息进行预测:
(1)如果不采取任何措施,那么到2015年底,该地区的沙漠面积将大约变为多少万公顷;
(2)如果从2005年底后采取植树造林措施,每年改造0.6万公顷的沙漠,那么到哪一年年底该地区沙漠面积将减少到90万公顷?
观测时间
2001年底
2002年底
2003年底
2004年底
2005年底
该地区沙漠比原有面积增加数(万公顷)
0.200 0
0.400 0
0.600 1
0.799 9
1.000 1
解析: (1)由表观察知,沙漠面积增加数y与第x年年底之间的图象近似地为一次函数y=kx+b的图象.将x=1,y=0.2与x=2,y=0.4代入y=kx+b,求得k=0.2,b=0,所以y=0.2x(x∈N).因为原有沙漠面积为95万公顷,则到2015年底沙漠面积大约为
95+0.2×15=98(万公顷).
(2)设从2001年算起,第x年年底该地区沙漠面积能减少到90万公顷,由题意,得95+0.2x-0.6(x-5)=90,
解得x=20(年).
故到2020年底,该地区沙漠面积将减少到90万公顷.
18.(本小题满分14分)设函数f(x)=ax2+(b-8)x-a-ab的两个零点分别是-3和2;
(1)求f(x);
(2)当函数f(x)的定义域是[0,1]时,求函数f(x)的值域.
解析: (1)∵f(x)的两个零点是-3和2,
∴函数图象过点(-3,0)、(2,0),
∴有9a-3(b-8)-a-ab=0,①
4a+2(b-8)-a-ab=0.②
①-②得b=a+8.③
③代入②得4a+2a-a-a(a+8)=0,即a2+3a=0.
∵a≠0,a=-3,∴b=a+8=5.[来源:学§科§网]
∴f(x)=-3x2-3x+18.
(2)由(1)得f(x)=-3x2-3x+18=-32++18,图象的对称轴方程是x=-,又0≤x≤1,
∴fmin(x)=f(1)=12,fmax(x)=f(0)=18,
∴函数f(x)的值域是[12,18].