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- 2021-06-20 发布
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2018-2019学年陕西省西安中学高一上学期期末考试数学试题
(时间:120分钟 满分:120分)
一.选择题(本大题包括10小题,每小题4分,共40分,每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将正确选项填涂在答题卡上.)
1. 若过两点A(4,y)、B(2,-3)的直线的倾斜角为45°,则y等于 ( )
A.- B.
C.-1 D.1
2. 某人用如图所示的纸片,沿折痕折后粘成一个四棱锥形的“走马灯”,正方形做灯底,且有一个三角形面上写上了“年”字,当灯旋转时,正好看到“新年快乐”的字样,则在①、②、③处应依次写上( )
A.快、新、乐 B.乐、新、快
C.新、乐、快 D.乐、快、新
3. 已知A(2,5,-6),点P在y轴上,|PA|=7,则点P的坐标是( )
A.(0,8,0) B.(0,2,0)
C.(0,8,0)或(0,2,0) D.(0,-8,0)
4. 已知直线l1:ax+4y-2=0与直线l2:2x-5y+b=0互相垂直,垂足为(1,c),则a+b+c的值为( )
A.20 B.-4 C.0 D.24
5. 设m,n是两条不同的直线,α、β、γ是三个不同的平面,给出下列四个命题:
①若m⊥α,n∥α,则m⊥n;②若α∥β,β∥γ,m∥α,则m∥γ;
③若m∥α,n∥α,则m∥n;④若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β.
其中正确命题的序号是( )
A.① B.②和③
C.③和④ D.①和④
6. 平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是( )
A.2x+y+5=0或2x+y-5=0 B.2x+y+=0或2x+y-=0
C.2x-y+5=0或2x-y-5=0 D.2x-y+=0或2x-y-=0
7. 已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )
A. B.3π
C. D.6π
8. 已知点A(1,3)、B(-2,-1) ,若过点P(2,1)的直线l与线段AB相交,则直线l的斜率k的取值范围是 ( )
A.k≥ B.k≤-2
C.k≥或k≤-2 D.-2≤k≤
9. 如图,四棱锥S -ABCD的底面为正方形,SD⊥底面ABCD,则下列结论中不正确的是( )
A.AC⊥SB
B.AB∥平面SCD
C.平面SDB⊥平面SAC
D.AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角
10. 对于两条平行直线和圆的位置关系定义如下:若两直线中至少有一条与圆相切,则称该位置关系为“平行相切”;若两直线都与圆相离,则称该位置关系为“平行相离”;否则称为“平行相交”.已知直线l1:ax+3y+6=0,l2:2x+(a+1)y+6=0与圆C:x2+y2+2x=b2-1(b>0)的位置关系是“平行相交”,则实数b的取值范围为 ( )
A.(,) B.(0,)
C.(0,) D.(,)∪(,+∞)
二.填空题(本大题包括5小题,每小题4分,共20分,把答案填在答题卡的相应位置上.)
11.已知圆C:(x-a)2+(y-2)2=4(a>0)及直线l:x-y+3=0,当直线l被圆C截得的弦长为2时,a的值等于________.
12.已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4,体积为16,则这个球的表面积是_________.
13. 方程=x+k有惟一解,则实数k的范围是________.
14. 正方体AC1中,E,F分别是DD1,BD的中点,则直线AD1与EF所成角的余弦值是_______.
15. 正三棱锥PABC的底面边长为1,E,F,G,H分别是PA,AC,BC,PB的中点,四边形EFGH的面积为S,则S的取值范围是________.
三.解答题(本大题包括5小题,每小题12分,共60分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)
16. (12分)求满足下列条件的直线方程.
(1)经过点A(-1,-3),且斜率等于直线3x+8y-1=0斜率的2倍;
(2)过点M(0,4),且与两坐标轴围成三角形的周长为12.
17. (12分)有一圆与直线l:4x-3y+6=0相切于点A(3,6),且经过点B(5,2),求此圆的方程.
18. (12分) 正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直,EF∥AC,AB=,CE=EF=1.
求证:(1)AF∥平面BDE;
(2)CF⊥平面BDE.
19.(12分) 已知点P(2,0)及圆C:x2+y2-6x+4y+4=0.
(1)若直线l过点P且与圆心C的距离为1,求直线l的方程;
(2)设过点P的直线l1与圆C交于M,N两点,当|MN|=4时,求以线段MN为直径的圆Q的方程;
(3)设直线ax-y+1=0与圆C交于A,B两点,是否存在实数a,使得过点P(2,0)的直线l2垂直平分弦AB?若存在,求出实数a的值;若不存在,请说明理由.
20.(12分) 如图(1),在Rt△ABC中,∠C=90°,D,E分别为AC,AB的中点,点F为线段CD上的一点,将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A1F⊥CD,如图(2).
(1)求证:DE∥平面A1CB;
(2)求证:A1F⊥BE;
(3)线段A1B上是否存在点Q,使A1C⊥平面DEQ?并说明理由.
西安中学2018-2019学年度第一学期期末考试
高一数学试题答案
(时间:120分钟 满分:120分) 命题人:杜薇
一. 选择题(本大题包括10小题,每小题4分,共40分,每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将正确选项填涂在答题卡上.)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
A
C
B
A
A
B
D
D
D
二.填空题(本大题包括5小题,每小题4分,共20分,把答案填在答题卡的相应位置上.)
11. -1
12. 24π
13. k=或-1≤k<1
14.
15.
三.解答题(本大题包括5小题,每小题12分,共60分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)
16. (12分)
解: (1)因为3x+8y-1=0可化为y=-x+. 所以直线3x+8y-1=0的斜率为-
则所求直线的斜率k=2×(-)=-.又直线经过点(-1,-3)
因此所求直线的方程为y+3=-(x+1)即3x+4y+15=0.
(2)设直线与x轴的交点为(a,0)
因为点M(0,4)在y轴上,所以由题意有4++|a|=12
解得a=±3.所以所求直线的方程为+=1或+=1
即4x+3y-12=0或4x-3y+12=0.
17. (12分)
解: 法一:由题意可设所求的方程为(x-3)2+(y-6)2+λ(4x-3y+6)=0,又因为此圆过点(5,2),将坐标(5,2)代入圆的方程求得λ=-1,所以所求圆的方程为x2+y2-10x-9y+39=0.
法二:设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,则圆心为C(a,b),由|CA|=|CB|,CA⊥l,
解得
所以所求圆的方程为(x-5)2+(y-)2=.
法三:设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,由CA⊥l,A(3,6),B(5,2)在圆上,得
解得
所以所求圆的方程为x2+y2-10x-9y+39=0.
法四:设圆心为C,则CA⊥l,又设AC与圆的另一交点为P,则CA的方程为y-6=-(x-3),
即3x+4y-33=0.
又因为kAB==-2,
所以kBP=,所以直线BP的方程为x-2y-1=0.
解方程组得所以P(7,3).
所以圆心为AP的中点(5,),半径为|AC|=.
所以所求圆的方程为(x-5)2+(y-)2=.
18. (12分)
解: (1)设AC与BD交于点G.因为EF∥AG,且EF=1,AG=AC=1.所以四边形AGEF为平行四边形.所以AF∥EG.
因为EG平面BDE.AF平面BDE,所以AF∥平面BDE.
(2)连接FG,EG.
因为EF∥CG,EF=CG=1,且CE=1,所以四边形CEFG为菱形.
所以CF⊥EG.因为四边形ABCD为正方形,所以BD⊥AC.
又因为平面ACEF⊥平面ABCD,且平面ACEF∩平面ABCD=AC.
所以BD⊥平面ACEF.所以CF⊥BD.又BD∩EG=G,
所以CF⊥平面BDE.
19.(12分)
解: (1)直线l斜率存在时,设直线l的斜率为k,则方程为y-0=k(x-2),即kx-y-2k=0.又圆C的圆心为(3,-2),半径r=3,由=1,解得k=-.
所以直线方程为y=-(x-2),即3x+4y-6=0.
当l的斜率不存在时,l的方程为x=2,经验证x=2也满足条件.
即直线l的方程为3x+4y-6=0或x=2.
(2)由于|CP|=,而弦心距d==,
所以d=|CP|=.
所以P恰为MN的中点.
故以MN为直径的圆Q的方程为(x-2)2+y2=4.
(3)把直线y=ax+1代入圆C的方程,消去y,整理得(a2+1)x2+6(a-1)x+9=0.
由于直线ax-y+1=0交圆C于A,B两点,
故Δ=36(a-1)2-36(a2+1)>0,
即-2a>0,解得a<0.
则实数a的取值范围是(-∞,0).
设符合条件的实数a存在,
由于l2垂直平分弦AB,故圆心C(3,-2)必在l2上.所以l2的斜率kPC=-
2,而kAB=a=-,
所以a=.由于∉ (-∞,0),
故不存在实数a,使得过点P(2,0)的直线l2垂直平分弦AB.
20.(12分)
解: (1)证明 ∵D,E分别为AC,AB的中点,
∴DE∥BC.
又∵DE⃘平面A1CB,BC平面A1CB,
∴DE∥平面A1CB.
(2)证明 由已知得AC⊥BC且DE∥BC,
∴DE⊥AC.
∴DE⊥A1D,DE⊥CD,A1D∩CD=D,
∴DE⊥平面A1DC.
而A1F平面A1DC,
∴DE⊥A1F.
又∵A1F⊥CD,DE∩CD=D,
∴A1F⊥平面BCDE,BE平面BCDE,
∴A1F⊥BE.
(3)解 线段A1B上存在点Q,使A1C⊥平面DEQ.
理由如下:
如图,分别取A1C,A1B的中点P,Q,则PQ∥BC.
又∵DE∥BC,
∴DE∥PQ.
∴平面DEQ即为平面DEP.
由(2)知,DE⊥平面A1DC,A1C平面A1DC,
∴DE⊥A1C.
又∵P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点,
∴A1C⊥DP,DE∩DP=D,
∴A1C⊥平面DEP.
从而A1C⊥平面DEQ.
故线段A1B上存在点Q(中点),使得A1C⊥平面DEQ.