专题06+数列、不等式-备战2018高考高三数学（理）全国各地优质模拟试卷分项精品 21页

‎【备战2018高考高三数学全国各地优质模拟试卷分项精品】‎ 专题 数列、不等式 一、选择题 ‎1．【2018河南洛阳市联考】在等比数列an中，a‎3‎，a‎16‎是方程x‎2‎‎+6x+2=0‎的根，则a‎2‎a‎16‎a‎9‎的值为（ ）‎ A. ‎-‎‎2+‎‎2‎‎2‎ B. ‎-‎‎2‎ C. ‎2‎ D. ‎-‎‎2‎或‎2‎ ‎【答案】B ‎2．【2018浙江温州市一模】已知数列an是公差不为0的等差数列，bn‎=‎‎2‎an，数列bn的前n项，前‎2n项，前‎3n项的和分别为A，B，C，则（ ）‎ A. A+B=C B. B‎2‎‎=AC C. ‎(A+B)-C=‎B‎2‎ D. ‎‎(B-A)‎‎2‎‎=A(C-B)‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎∵‎an是公差不为0的等差数列，‎∴‎bn是以公比不为‎1‎的等比数列，由等比数列的性质，可得A,B-A,C-B成等比数列，‎∴‎可得B-A‎2‎‎=AC-B，故选D.‎ ‎3．【2018广西三校联考】已知等差数列满足： ，求（ ）‎ A. 19 B. 20 C. 21 D. 22‎ ‎【答案】C ‎【解析】等差数列中， =2,则 故选C ‎4．【2018吉林省百校联盟联考】已知等差数列的前项和为，若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意可得： ，‎ 结合等差数列前n项和公式有： .‎ 本题选择D选项.‎ ‎5．【2018辽宁大连八中模拟】若记等比数列｛an｝的前n项和为Sn，若,,则（ ）‎ A. 10或8 B. C. 或8 D. 或 ‎【答案】C ‎6．【2018湖南省两市九月调研】已知为数列的前项和，若且，设，则的值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由可知，数列是首项为，公比为2的等比数列，‎ 所以.‎ 时， .‎ ‎.‎ 时, ‎ ‎.‎ 故选B. ‎ ‎7．【2018湖南省两市九月调研】已知等比数列中， ，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】设等比数列的公比为，则.所以.‎ ‎.‎ 故选D.‎ ‎8．【2018广东广州市一模】已知等差数列的公差为，若成等比数列，则前项的和为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎9．【2018广西桂林柳州市一模】设等比数列的公比，前项和为，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：由等比数列的前项和公式得，又， .‎ 考点：等比数列的通项公式、前项和公式及运算.‎ ‎10．【2018湖南省永州市一模】在等比数列中，已知， ，若分别为等差数列的第2项和第6项，则数列的前7项和为（ ）‎ A. 49 B. 70 C. 98 D. 140‎ ‎【答案】B ‎【解析】在等比数列中，由，得，即， ，故选B. ‎ ‎11．【2018广东省珠海一中一模】数列满足，且对于任意的都有，则等于（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D 点睛：数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项．使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．‎ ‎12．【2018东北四市一模】等差数列an中，已知a‎6‎‎=‎a‎11‎，且公差d>0‎，则其前n项和取最小值时的n的值为( )‎ A. 6 B. 7 C. 8 D. 9‎ ‎【答案】C ‎【解析】等差数列的公差为正数，则a‎11‎‎=-a‎6‎,∴a‎6‎+a‎11‎=a‎8‎+a‎9‎=0‎，‎ 据此可得：a‎8‎‎<0,a‎9‎>0‎，则其前n项和取最小值时的n的值为8.‎ 本题选择C选项.‎ ‎13．【2018陕西省西工大附中八模】已知等差数列1， ， ，等比数列4， ， ，则该等比数列的公比为（ ）‎ A. B. C. 或 D. 10或 ‎【答案】C ‎14．【2018浙江省温州市一模】若实数x，y满足约束条件x+y-2≥0,‎‎3x-y-6≤0,‎x-y≥0,‎则z=2x+y的取值范围是（ ）‎ A. ‎3,4‎ B. ‎3,12‎ C. ‎3,9‎ D. ‎‎4,9‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 画出x+y-2≥0‎‎3x-y-6≤0‎x-y≥0‎表示的可行域，由x+y-2=0‎x-y=0‎，得A‎1,1‎，由‎3x-y-6=0‎x-y=0‎，得B‎3,3‎，平移直线y=-2x+z，当直线经过A,B时分别取得最小值‎3‎，最大值‎9‎，故z=2x+y的取值范围是‎3,9‎，故选C.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值. ‎ ‎15．【2018天津市滨海新区八校联考】若，且，则的最小值为（ ）‎ A. 6 B. 2 C. 1 D. 不存在 ‎【答案】B ‎【解析】可行域如图，直线过点（1,1）时取最小值为2，选B.‎ 点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.‎ ‎16．【2018广西柳州市一模】已知圆和圆只有一条公切线，若且，则的最小值为（ ）‎ A. 2 B. 4 C. 8 D. 9‎ ‎【答案】D 点睛：由题意可得两圆相内切，根据两圆的标准方程求出圆心和半径，可得4a2+b2=1，再利用 “1”的代换，使用基本不等式求得+的最小值．‎ ‎17．【2018陕西西工大附中六模】若平面区域，夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两面三刀条平行直线间的距离的最小值是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】作出平面区域如图所示：‎ ‎∴平行线间的距离为，‎ 本题选择D选项.‎ ‎18．【2018陕西西工大附中八模】如果， ，在不等式①；②；③；④中，所有正确命题的序号是（ ）‎ A. ①②③ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②④‎ ‎【答案】B ‎【解析】用排除法， ， 可令，此时，不成立， ②错误，排除， ，故选B.‎ ‎19．【2018四川龙泉二中一模】中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为a,b,c，三角形的面积S可由公式S=‎p(p-a)(p-b)(p-c)‎求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足a+b=12,c=8‎，则此三角形面积的最大值为 A. ‎8‎‎5‎ B. ‎4‎‎5‎ C. ‎4‎‎15‎ D. ‎‎8‎‎15‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意,p=10,‎ S=‎‎10‎‎10-a‎10-b‎10-c‎=‎‎20‎‎10-a‎10-b‎⩽‎20‎⋅‎‎10-a+10-b‎2‎‎=8‎‎5‎ ‎∴此三角形面积的最大值为‎8‎‎5‎.‎ 本题选择A选项.‎ ‎20．【2018四川龙泉二中一模】已知实数x,y满足不等式组‎2x+y=4‎x≥0‎y≥0‎，则y+1‎x+1‎的最大值为 A. 3 B. 5 C. 4 D. 6‎ ‎【答案】B ‎ 【来.源：全,品…中&高*考*网】‎ 点睛：(1)本题是线性规划的综合应用，考查的是非线性目标函数的最值的求法．【来.源：全,品…中&高*考*网】‎ ‎(2)解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，给目标函数赋于一定的几何意义．‎ ‎21．【2018河南省新乡市三模】设x，y满足约束条件‎{‎‎2x+y-3≤0,‎‎2x-2y-1≤0,‎x-a≥0,‎若x-yx+y的最大值为2，则a的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎【答案】C 二、填空题 ‎22．【2018天津市滨海新区八校联考】在等比数列中， ， ， 成等差数列，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意得 ‎ ‎ ‎ ‎23．【2018广西三校联考】已知数列是递减数列，且对任意的正整数， 恒成立，则实数的取值范围为______________．‎ ‎【答案】【来.源：全,品…中&高*考*网】‎ 点睛：数列单调性的考查，直接利用递减数列符合恒成立，把问题转化为恒成立问题来解，采用变量分离很容易得解.‎ ‎24．【2018辽宁省大连八中模拟】等差数列{an}的前n项为Sn，若公差d=﹣2，S3=21，则nSn取得最大值=________.‎ ‎【答案】147‎ ‎【解析】， ，‎ ‎，‎ 令 ， ，令 ， ，‎ 根据函数的单调性可以发现， 在 或时最大，‎ 当时， ，【来.源：全,品…中&高*考*网】‎ 当时， ，‎ 可见nSn取得最大值为147.‎ ‎25．【2018陕西西工大附中八模】若等比数列的前项和，则的值为__________．‎ ‎【答案】-1‎ ‎26．【2018河南省洛阳市联考】已知x，y满足条件x≥0,‎y≥x,‎‎3x+4y≤12,‎则x+2y+3‎x+1‎的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎‎3,9‎ ‎【解析】作出可行域：‎ ‎∵设z=x+2y+3‎x+1‎=1+‎2‎y+1‎x+1‎，令s=‎y+1‎x+1‎ S表示动点Px，y与定点‎-1，-1‎连线的斜率 当点P在B‎0，0‎时，s最小，即z的最小值为‎1+2=3‎；‎ 当点P在A‎0，3‎时，s最大，即z的最大值为‎1+8=9‎.【来.源：全,品…中&高*考*网】‎ 故答案为：[3，9]．‎ 点睛：本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.‎ ‎27．【2018浙江温州市一模】已知‎2‎a‎+‎4‎b=2‎（a，b∈R），则a+2b的最大值为__________．‎ ‎【答案】0‎ ‎【解析】‎2‎a‎+‎4‎b=‎2‎a+‎2‎‎2b=2≥2‎‎2‎a+2b，‎2‎a+2b‎≤1=‎2‎‎0‎,a+2b≤0‎，当a=2b时等号成立，所以a+2b的最大值为‎0‎，故答案为‎0‎.‎ ‎【易错点晴】本题主要考查幂指数的运算、利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用‎≥‎或‎≤‎时等号能否同时成立）.‎ ‎28．【2018天津市滨海新区八校联考】已知，且，那么取最小值时， __________．‎ ‎【答案】‎ ‎29．【2018广西三校联考】设 满足约束条件 ,则 的最大值为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】不等式组表示的平面区域如图阴影所示，‎ 表示的几何意义是点到距离，由图可知，点到原点的距离最远， ，得，‎ 点睛：线性规划中，目标函数是两点间的距离，做这类型题一定要处理好目标函数，分清目标函数符合什么样的几何意义.‎ ‎30．【2018江西省红色七校联考】设满足约束条件，若的最小值为，则的值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎ 联立解得A(3,−1)，‎ 化目标函数z=mx+y为y=−mx+z，目标函数的最小值就是函数在y轴上的截距最小，最小值为：−3，‎ 由图可知,m<0,使目标函数取得最小值的最优解为A(3,−1),把A(3,−1)代入z=mx+y=−3,求得m=−‎ 三、解答题 ‎31．【2018浙江温州一模】已知数列an中，a‎1‎‎=‎‎1‎‎2‎，an+1‎‎=‎‎1+‎anan+1‎‎2‎（n∈N*‎）．　‎ ‎（1）求证：‎1‎‎2‎‎≤an<1‎；‎ ‎（2）求证：‎1‎an‎-1‎是等差数列；‎ ‎（3）设bn‎=‎n‎(1+a‎1‎)(1+a‎2‎)…(1+an)‎，记数列bn的前n项和为Sn，求证：Sn‎<‎‎94‎‎15‎ ．‎ ‎【答案】(1)证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）利用数学归纳法可证明；（2）化简an+1‎‎-1=‎1‎‎2-‎an-1=‎‎-1+‎an‎2-‎an，由‎1‎an+1‎‎-1‎‎-‎1‎an‎-1‎=-1‎可得‎1‎an‎-1‎是等差数列；（3）由（2）可得an‎=‎nn+1‎，从而可得bn+1‎bn‎=n+1‎‎(1+an+1‎)n=‎n‎2‎‎+3n+2‎‎2n‎2‎+3n，先证明bn+1‎bn‎=n‎2‎‎+3n+2‎‎2n‎2‎+3n≤‎‎6‎‎7‎，利用放缩法及等比数列求和公式可证结论.‎ 试题解析：（1）证明：当n=1‎时，a‎1‎‎=‎‎1‎‎2‎，满足‎1‎‎2‎‎≤an<1‎，‎ 假设当n=k（k≥1‎）时，‎1‎‎2‎‎≤an<1‎，则当n=k+1‎时，ak+1‎‎=‎‎1‎‎2-‎ak ‎∈[‎2‎‎3‎,1)‎，‎ 即n=k+1‎时，满足‎1‎‎2‎‎≤an<1‎；‎ 所以，当n∈N*‎时，都有‎1‎‎2‎‎≤an<1‎．‎ ‎（2）由an+1‎‎=‎‎1+‎anan+1‎‎2‎，得an+1‎‎=‎‎1‎‎2-‎an，‎ 所以an+1‎‎-1=‎1‎‎2-‎an-1=‎‎-1+‎an‎2-‎an，‎ 即‎1‎an+1‎‎-1‎‎=‎1‎an‎-1‎-1‎，‎ 即‎1‎an+1‎‎-1‎‎-‎1‎an‎-1‎=-1‎，‎ 所以，数列‎1‎an‎-1‎是等差数列．‎ ‎（3）由（2）知，‎1‎an‎-1‎‎=-2+(n-1)(-1)=-n-1‎，‎ ‎∴an‎=‎nn+1‎，‎ 因此bn+1‎bn‎=n+1‎‎(1+an+1‎)n=‎n‎2‎‎+3n+2‎‎2n‎2‎+3n，‎ 当n≥2‎时，‎12n‎2‎+18n-(7n‎2‎+21n+14)=(5n+7)(n-2)≥0‎，‎ 即n≥2‎时，bn+1‎bn‎=n‎2‎‎+3n+2‎‎2n‎2‎+3n≤‎‎6‎‎7‎，‎ 所以n≥2‎时，bn‎≤‎6‎‎7‎bn-1‎≤‎(‎6‎‎7‎)‎‎2‎bn-2‎≤…≤‎‎(‎6‎‎7‎)‎n-2‎b‎2‎，‎ 显然bn‎>0‎，只需证明n≥3‎，Sn‎<‎‎94‎‎15‎即可．‎ 当n≥3‎时，Sn‎=b‎1‎+b‎2‎+b‎3‎++bn≤‎2‎‎3‎+b‎2‎+‎6‎‎7‎b‎2‎+‎(‎6‎‎7‎)‎‎2‎b‎2‎+…+‎‎(‎6‎‎7‎)‎n-2‎b‎2‎ ‎=‎2‎‎3‎+‎‎4‎‎5‎‎(1-‎(‎6‎‎7‎)‎n-1‎)‎‎1-‎‎6‎‎7‎ ‎=‎2‎‎3‎+‎28‎‎5‎(1-‎(‎6‎‎7‎)‎n-1‎)‎ ‎<‎2‎‎3‎+‎28‎‎5‎=‎‎94‎‎15‎．‎ ‎32．【2018天津市滨海新区八校联考】已知数列， ， 为数列的前项和， ‎ ‎， ， （）‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）证明为等差数列；‎ ‎（3）若数列的通项公式为，令为的前项的和，求.‎ ‎【答案】（1）（2）见解析（3）‎ 试题解析：（1）当时， ‎ 当时， ，‎ 综上， 是公比为2，首项为2的等比数列， ‎ ‎（2）∵，∴，∵ ，∴‎ 综上， 是公差为1，首项为1的等差数列， .‎ ‎（3）令 ‎ ‎ ‎①②，得 点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.‎ ‎33．【2018吉林省长春一模】已知数列‎{an}‎的前n项和Sn‎=‎2‎n+1‎+n-2‎．‎ ‎（Ⅰ）求数列‎{an}‎的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设bn‎=log‎2‎（an-1)‎，求证：‎1‎b‎1‎b‎2‎‎+‎1‎b‎2‎b‎3‎+‎1‎b‎3‎b‎4‎+⋯+‎1‎bnbn+1‎<1‎．‎ ‎【答案】(Ⅰ)an‎=‎2‎n+1‎；（Ⅱ）证明见解析.‎ 当n=1‎时，a‎1‎‎=S‎1‎=3‎，综上an‎=‎2‎n+1‎. ‎ ‎（Ⅱ）由bn‎=log‎2‎(an-1)=log‎2‎‎2‎n=n.‎ ‎1‎b‎1‎b‎2‎‎+‎1‎b‎2‎b‎3‎+‎1‎b‎3‎b‎4‎+...+‎‎1‎bnbn+1‎‎ ‎=‎1‎‎1×2‎+‎1‎‎2×3‎+‎1‎‎3×4‎+...+‎‎1‎n(n+1)‎ ‎‎=(1-‎1‎‎2‎)+(‎1‎‎2‎-‎1‎‎3‎)+(‎1‎‎3‎-‎1‎‎4‎)+...+(‎1‎n-‎1‎n+1‎)‎ ‎=1-‎1‎n+1‎<1‎‎. 得证. ‎ ‎34．【2018江西省南昌市三模】已知数列满足 ‎(Ⅰ)求数列的通项公式；‎ ‎(Ⅱ)若，求数列的前项和.‎ ‎【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) .‎ 试题解析：‎ ‎ (Ⅰ) ……①，‎ ‎∴当时， ②‎ ‎①②得，∴.‎ 又∵当时， ，∴，∴.‎ ‎(Ⅱ) ,……③‎ ‎……④‎ ‎∴==‎ ‎∴.‎