广东广州市天河区普通高中2018届高考数学一轮复习精选试题：圆锥曲线与方程（解答题） 9页

全*品*高*考*网， 用后离不了！‎ 圆锥曲线与方程02‎ 解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)‎ ‎1．若直线l：与抛物线交于A、B两点，O点是坐标原点。‎ ‎(1)当m=－1,c=－2时，求证：OA⊥OB；‎ ‎ (2)若OA⊥OB，求证：直线l恒过定点；并求出这个定点坐标。 ‎ ‎(3)当OA⊥OB时，试问△OAB的外接圆与抛物线的准线位置关系如何？证明你的结论。‎ ‎【答案】设A(x1,y1)、B(x2,y2)，由得 可知y1+y2=－2m y1y2=2c ∴x1+x2=2m2—2c x1x2= c2,‎ ‎(1) 当m=－1,c=－2时，x1x2 +y1y2=0 所以OA⊥OB.‎ ‎(2) 当OA⊥OB时，x1x2 +y1y2=0 于是c2+2c=0 ∴c=－2(c=0不合题意),此时，直线l：过定点(2,0).‎ ‎(3) 由题意AB的中点D(就是△OAB外接圆圆心)到原点的距离就是外接圆的半径。‎ 而(m2—c+)2－[(m2—c)2+m2 ]= 由(2)知c=－2 ‎ ‎∴圆心到准线的距离大于半径,故△OAB的外接圆与抛物线的准线相离。‎ ‎2． 如图，是椭圆C：的左、右顶点，是椭圆上异于的任意一点，已知椭圆的离心率为，右准线的方程为.‎ ‎(1）若，，求椭圆C的方程；‎ ‎(2）设直线交于点，以为直径的圆交 于，若直线恰过原点，求.‎ ‎【答案】（1）由题意：，解得．‎ 椭圆的方程为．‎ ‎(2)设，因为三点共线，‎ 所以 ‎,解得 ‎3．已知椭圆E：的左顶点为A，左、右焦点分别为F1、F2，且圆C：‎ 过A，F2两点．‎ ‎(1）求椭圆E的方程；‎ ‎(2）设直线PF2的倾斜角为α，直线PF1的倾斜角为β，当β－α＝时，证明：点 P在一定圆上．‎ ‎【答案】（1）圆与轴交点坐标为，，‎ 故，所以，∴椭圆方程是：．‎ ‎(2）设点P（x，y），因为（－，0），（，0），‎ 设点P（x，y），则＝tanβ＝,＝tanα＝，‎ 因为β－α＝，所以tan(β－α)＝－．‎ 因为tan(β－α)＝＝，‎ 所以＝－．化简得x2＋y2－2y＝3．‎ 所以点P在定圆x2＋y2-2y＝3上．‎ ‎4．已知定点及椭圆 ,过点C的动直线与椭圆相交于A，B两点．‎ ‎(1）若线段AB中点的横坐标是，求直线AB的方程；‎ ‎(2）当直线AB与x轴不垂直时，在x轴上是否存在点M，使为常数？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）依题意，直线AB的斜率存在，‎ 设直线AB的方程为y=k（x+1）,‎ 将y=k（x+1）代入x2+3y2=5,‎ 消去y整理得 ‎(3k2+1）x2+6k2x+3k2-5=0．‎ 设A（x1,y1）,B（x2,y2）,‎ 由线段AB中点的横坐标是-，‎ 得=-=-,解得k=±，适合①.‎ 所以直线AB的方程为x-y+1=0,或x+y+1=0．‎ ‎(2）假设在x轴上存在点M（m，0），使为常数．‎ 当直线AB与x轴不垂直时，由（1）知 x1+x2=-,x1x2=． ③‎ 所以=（x1-m）（x2-m）+y1y2‎ ‎=（x1-m）（x2-m）+k2（x1+1）（x2+1）‎ ‎=（k2+1）x1x2+（k2-m）（x1+x2）+k2+m2．‎ ‎…9分 将③代入，整理得=+m2‎ ‎=+m2‎ ‎=m2+2m--．‎ 注意到是与k无关的常数，从而有 ‎6m+14=0，m=-，此时=．‎ 所以，在x轴上存在定点M，使为常数．‎ ‎5．设分别为椭圆的左、右焦点，过的直线与椭圆相交于两点，直线的倾斜角为，到直线的距离为.‎ ‎(1)求椭圆的焦距；‎ ‎(2)如果，求椭圆的方程．‎ ‎【答案】 (1)设焦距为2c，则F1(－c,0)，F2(c,0)‎ ‎∵kl＝tan60°＝,∴l的方程为y＝(x－c)‎ 即：x－y－c＝0 ∵F1到直线l的距离为2 ‎∴＝c＝2 ∴c＝2 ∴椭圆C的焦距为4‎ ‎(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)由题可知y1＜0，y2＞0‎ 直线l的方程为y＝(x－2)‎ 由消去x得，(3a2＋b2)y2＋4b2y－3b2(a2－4)＝0‎ 由韦达定理可得 ‎∵＝2，∴－y1＝2y2，代入①②得 又a2＝b2＋4　　　　　　　 　　⑥ 由⑤⑥解得a2＝9　b2＝5 ‎ ‎∴椭圆C的方程为＋＝1. ‎ ‎6．设抛物线的焦点为,是抛物线上的一定点.‎ ‎(1)已知直线过抛物线的焦点,且与的对称轴垂直,与交于两点, 为的准线上一点,若的面积为,求的值;‎ ‎(2)过点作倾斜角互补的两条直线,,与抛物线的交点分别为.若直线,的斜率都存在,证明:直线的斜率等于抛物线在点关于对称轴的对称点处的切线的斜率.‎ ‎【答案】(1)由题设,设则 ‎ ‎ . ‎ 由的面积为,得:,得:‎ ‎(2)由题意 ‎ 首先求抛物线在点关于对称轴的对称点处的切线的斜率.‎ 解法一：设抛物线在处的切线的斜率为,则其方程为 联立 ‎ 得 将代入上式得:‎ 即 ‎ 即 得 ‎ 即抛物线在点关于对称轴的对称点处的切线的斜率为 解法二：由得，‎ ‎ ‎ 抛物线在点关于对称轴的对称点处的切线的斜率为 ‎ 再求直线的斜率.‎ 解法一:设直线的斜率为,则由题意直线的斜率为. ‎ 直线的的方程为,则直线的的方程为. ‎ 联立 得…………(1) ‎ 方程(1)有两个根,‎ ‎,即,同理可得 直线的 斜率.‎ 直线的斜率等于抛物线在点关于对称轴的对称点处的切线的斜率. ‎ 解法二: ‎ ‎ ‎ 将分别代入上式得:,‎ 整理得. ‎ 直线的.‎ 斜率.‎ 直线的斜率等于抛物线在点关于对称轴的对称点处的切线的斜率. ‎