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- 2021-06-20 发布
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全*品*高*考*网, 用后离不了!2016-2017学年江西省赣州市崇义中学高二(上)第一次月考数学试卷(文科)
一.选择题:(12*5=60分)
1.如图所示四个几何体中,几何体只有正视图和侧视图相同的是( )
A.①② B.①③ C.①④ D.②④
2.若直线a平行于平面α,则下列结论错误的是( )
A.a平行于α内的所有直线
B.α内有无数条直线与a平行
C.直线a上的点到平面α的距离相等
D.α内存在无数条直线与a成90°角
3.下列条件中,能判定直线l⊥平面α的有( )
A.l与平面α内的两条直线垂直
B.l与平面α内的无数条直线垂直
C.l与平面α内的任意一条直线垂直
D.l与平面α内的某一条直线垂直
4.在△ABC中,若∠A=60°,∠B=45°,BC=3,则AC=( )
A. B. C. D.
5.下列命题正确的是( )
A.若a2>b2,则a>b B.若>,则a<b
C.若ac>bc,则a>b D.若<,则a<b
6.若直线l与平面α内的一条直线平行,则l和α的位置关系是( )
A.l⊂α B.l∥α C.l⊂α或l∥α D.l和α相交
7.在等差数列{an}中,S10=120,那么a1+a10的值是( )
A.12 B.24 C.36 D.48
8.等比数列{an}中,a5=4,则a2•a8=( )
A.4 B.8 C.16 D.32
9.将图1中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC的中线折起得到四面体ABCD(如图2),则在四面体ABCD中,AD与BC的位置关系是( )
A.相交且垂直 B.相交但不垂直 C.异面且垂直 D.异面但不垂直
10.若直线x﹣y+1=0与圆(x﹣a)2+y2=2有公共点,则实数a取值范围是( )
A.[﹣3,﹣1] B.[﹣1,3] C.[﹣3,1] D.(﹣∞,﹣3]∪[1,+∞)
11.过点(1,2)且与原点距离最大的直线方程是( )
A.x+2y﹣5=0 B.2x+y﹣4=0 C.x+3y﹣7=0 D.3x+y﹣5=0
12.PA垂直于正方形ABCD所在平面,连接PB,PC,PD,AC,BD,则下列垂直关系正确的是( )
①面PAB⊥面PBC
②面PAB⊥面PAD
③面PAB⊥面PCD
④面PAB⊥面PAC.
A.①② B.①③ C.②③ D.②④
二.填空题:(4*5=20分)
13.直线y=x被圆x2+(y﹣2)2=4截得的弦长为 .
14.已知x>,则函数y=4x+的最小值为 .
15.过三棱柱ABC﹣A1B1C1的任意两条棱的中点作直线,其中与平面ABB1A1
平行的直线共有 条.
16.已知m,n是两条不同的直线,α,β为两个不同的平面,
有下列四个命题:
①若m⊥α,n⊥β,m⊥n,则α⊥β;
②若m∥α,n∥β,m⊥n,则α∥β;
③若m⊥α,n∥β,m⊥n,则α∥β;
④若m⊥α,n∥β,α∥β,则m⊥n.
其中正确的命题是(填上所有正确命题的序号) .
三.解答题:(本大题6个小题,共70分)
17.已知,一圆经过坐标原点和点P(1,1),并且圆心在直线2x+3y+1=0上,求圆的方程.
18.已知如图PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是矩形,E、F分别是AB、PD的中点,求证:AF∥平面PCE.
19.如图所示在四棱锥A﹣BCDM中,BD⊥平面ABC,AC=BC,N是棱AB的中点.
求证:CN⊥AD.
20.已知{an}是首项为19,公差为﹣2的等差数列,Sn为{an}的前n项和.
(1)求通项an及Sn;
(2)设{bn﹣an}是首项为1,公比为3的等比数列,求数列{bn}
的通项公式及其前n项和Tn.
21.在锐角△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2asinB=b.
(Ⅰ)求角A的大小;
(Ⅱ)若a=6,b+c=8,求△ABC的面积.
22.如图,在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,E、F分别是CD、A1D1中点
(1)求证:AE⊥BF;
(2)求证:AB1⊥BF;
(3)棱CC1上是否存在点P,使BF⊥平面AEP,若存在,确定点P位置;若不存在,说明理由.
2016-2017学年江西省赣州市崇义中学高二(上)第一次月考数学试卷(文科)
参考答案与试题解析
一.选择题:(12*5=60分)
1.如图所示四个几何体中,几何体只有正视图和侧视图相同的是( )
A.①② B.①③ C.①④ D.②④
【考点】简单空间图形的三视图.
【分析】分别根据四个几何体的三视图进行判断.
【解答】解:①正方体的正视图,侧视图和俯视图都是正方形,不满足条件.
②圆锥的正视图为三角形,侧视图为三角形,俯视图为圆,满足条件.
③三棱台的正视图为等腰梯形,侧视图为梯形,但正视图和侧视图不相同,不满足条件.
④正四棱锥的正视图和侧视图为相同的三角形,俯视图为正方形,满足条件.
故选:D.
2.若直线a平行于平面α,则下列结论错误的是( )
A.a平行于α内的所有直线
B.α内有无数条直线与a平行
C.直线a上的点到平面α的距离相等
D.α内存在无数条直线与a成90°角
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系.
【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解.
【解答】解:∵直线a平行于平面α,
∴a与平面α内的直线平行或异面,故A错误;
α内有无数条直线与a平行,故B正确;
直线a上的点到平面α的距离相等,故C正确;
α内存在无数条直线与a成90°角,故D正确.
故选:A.
3.下列条件中,能判定直线l⊥平面α的有( )
A.l与平面α内的两条直线垂直
B.l与平面α内的无数条直线垂直
C.l与平面α内的任意一条直线垂直
D.l与平面α内的某一条直线垂直
【考点】直线与平面垂直的判定.
【分析】利用直线与平面的位置关系进行判断,注意直线与平面垂直的判定定理的应用.
【解答】解:l与平面α内的两条直线垂直,如果平面中的两条直线是平行线,
则无法判定直线l⊥平面α,故A不正确;
l与平面α内的无数条直线垂直,如果平面中的无数条直线是平行线,
则无法判定直线l⊥平面α,故B不正确;
l与平面α内的任意一条直线垂直,
则由直线与平面垂直的判定定理知直线l⊥平面α,故C正确;
l与平面α内的某一条直线垂直,
则l与平面相交、平行或直线在平面内,故D不正确.
故选:C.
4.在△ABC中,若∠A=60°,∠B=45°,BC=3,则AC=( )
A. B. C. D.
【考点】正弦定理.
【分析】结合已知,根据正弦定理,可求AC
【解答】解:根据正弦定理,,
则
故选B
5.下列命题正确的是( )
A.若a2>b2,则a>b B.若>,则a<b
C.若ac>bc,则a>b D.若<,则a<b
【考点】不等关系与不等式.
【分析】本题利用排除法.对于A,若a<0,b>0时不成立;对于B,若a>0,b<0时不成立;对于C,若c<0时不成立;
【解答】解:对于选项A,考虑a、b为负值或一正一负的情况时,不能得到a>b,故错;
对于选项B,同样考虑a、b一正一负的情况,不能得到a<b,故错;
对于选项C,要考虑c取正、负值的两种情况,当c取负值时,不能得到a>b,故错;
∴选项A、B、C均有不成立的情况.故A、B、C错;
对于C,隐含a≥0,b≥0,平方后即可得a<b.故对.
故选D.
6.若直线l与平面α内的一条直线平行,则l和α的位置关系是( )
A.l⊂α B.l∥α C.l⊂α或l∥α D.l和α相交
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系.
【分析】由题设条件知:直线l在平面α内,则l⊂α,若直线l不在平面α内,则l∥α,由此能求出结果.
【解答】解:一条直线l与平面α内的一条直线m平行,
若直线l在平面α内,则l⊂α,
若直线l不在平面α内,则l∥α,
∴直线l与平面α的位置关系为l⊂α,或l∥α.
故选:C.
7.在等差数列{an}中,S10=120,那么a1+a10的值是( )
A.12 B.24 C.36 D.48
【考点】等差数列的前n项和.
【分析】根据等差数列的求和公式,即可求出a1+a10的值.
【解答】解:S10=×10(a1+a10)=120,
所以a1+a10=24
故选B
8.等比数列{an}中,a5=4,则a2•a8=( )
A.4 B.8 C.16 D.32
【考点】等比数列的性质;等比数列的通项公式.
【分析】在等比数列中利用等比数列的性质进行求解即可.
【解答】解:在等比数列{an}中,若m+n=k+p,则am⋅an=ak⋅ap.
∵a5=4,
∴a2•a8=.
故选:C.
9.将图1中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC的中线折起得到四面体ABCD(如图2),则在四面体ABCD中,AD与BC的位置关系是( )
A.相交且垂直 B.相交但不垂直 C.异面且垂直 D.异面但不垂直
【考点】空间中直线与直线之间的位置关系.
【分析】对于原图:由于AD是等腰直角三角形ABC斜边BC上的中线,可得AD⊥BC.在四面体ABCD中,由于AD⊥BD,AD⊥DC,AD∩
DC=D,利用线面垂直的判定定理可得AD⊥平面BCD.进而得到AD⊥BC.利用异面直线的定义即可判断:AD与BC是异面直线.
【解答】解:在四面体ABCD中,AD与BC的位置关系是异面垂直.
对于原图:∵AD是等腰直角三角形ABC斜边BC上的中线,
∴AD⊥BC.
在四面体ABCD中,
∵AD⊥BD,AD⊥DC,AD∩DC=D,
∴AD⊥平面BCD.
∴AD⊥BC.
又AD与BC是异面直线.
综上可知:在四面体ABCD中,AD与BC的位置关系是异面垂直.
故选C.
10.若直线x﹣y+1=0与圆(x﹣a)2+y2=2有公共点,则实数a取值范围是( )
A.[﹣3,﹣1] B.[﹣1,3] C.[﹣3,1] D.(﹣∞,﹣3]∪[1,+∞)
【考点】直线与圆的位置关系.
【分析】根据直线x﹣y+1=0与圆(x﹣a)2+y2=2有公共点,可得圆心到直线x﹣y+1=0的距离不大于半径,从而可得不等式,即可求得实数a取值范围.
【解答】解:∵直线x﹣y+1=0与圆(x﹣a)2+y2=2有公共点
∴圆心到直线x﹣y+1=0的距离为
∴|a+1|≤2
∴﹣3≤a≤1
故选C.
11.过点(1,2)且与原点距离最大的直线方程是( )
A.x+2y﹣5=0 B.2x+y﹣4=0 C.x+3y﹣7=0 D.3x+y﹣5=0
【考点】两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系.
【分析】先根据垂直关系求出所求直线的斜率,由点斜式求直线方程,并化为一般式.
【解答】解:设A(1,2),则OA的斜率等于2,故所求直线的斜率等于﹣,由点斜式求得所求直线的方程为
y﹣2=﹣(x﹣1),化简可得x+2y﹣5=0,故选A.
12.PA垂直于正方形ABCD所在平面,连接PB,PC,PD,AC,BD,则下列垂直关系正确的是( )
①面PAB⊥面PBC
②面PAB⊥面PAD
③面PAB⊥面PCD
④面PAB⊥面PAC.
A.①② B.①③ C.②③ D.②④
【考点】平面与平面垂直的判定.
【分析】由于PA垂直于正方形ABCD所在平面,所以PA所在的平面与底面垂直,
又ABCD为正方形,故又存在一些线线垂直关系,从而可以得到线面垂直,
进而可以判定面面垂直.
【解答】证明:由于BC⊥AB,由PA垂直于正方形ABCD所在平面,所以BC⊥PA,
易证BC⊥平面PAB,则平面PAB⊥平面PBC;又AD∥BC,故AD⊥平面PAB,
则平面PAD⊥平面PAB.
故选A.
二.填空题:(4*5=20分)
13.直线y=x被圆x2+(y﹣2)2=4截得的弦长为 .
【考点】直线与圆相交的性质.
【分析】
确定圆的圆心坐标与半径,求得圆心到直线y=x的距离,利用垂径定理构造直角三角形,即可求得弦长.
【解答】解:圆x2+(y﹣2)2=4的圆心坐标为(0,2),半径为2
∵圆心到直线y=x的距离为
∴直线y=x被圆x2+(y﹣2)2=4截得的弦长为2=
故答案为:
14.已知x>,则函数y=4x+的最小值为 7 .
【考点】基本不等式在最值问题中的应用.
【分析】先把函数整理成基本不等式的形式,进而求得函数的最小值.
【解答】解:y=4x+=4x﹣5++5≥2+5=7
∴函数y=4x+的最小值为7
故答案为7
15.过三棱柱ABC﹣A1B1C1的任意两条棱的中点作直线,其中与平面ABB1A1平行的直线共有 6 条.
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系.
【分析】本题考查的知识点为空间中直线与平面之间的位置关系,要判断过三棱柱ABC﹣A1B1C1的任意两条棱的中点作直线,其中与平面ABB1A1平行的直线,我们可以利用数型结合的思想,画出满足条件的三棱柱ABC﹣A1B1C1,结合图象分析即可得到答案.
【解答】解:如下图示,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,
过三棱柱ABC﹣A1B1C1的任意两条棱的中点作直线,
其中与平面ABB1A1平行的直线有:
DE、DG、DF、EG、EF、FG共有6条.
故答案为:6
16.已知m,n是两条不同的直线,α,β为两个不同的平面,
有下列四个命题:
①若m⊥α,n⊥β,m⊥n,则α⊥β;
②若m∥α,n∥β,m⊥n,则α∥β;
③若m⊥α,n∥β,m⊥n,则α∥β;
④若m⊥α,n∥β,α∥β,则m⊥n.
其中正确的命题是(填上所有正确命题的序号) ①④ .
【考点】平面与平面之间的位置关系.
【分析】①∵若m⊥α,m⊥n,∴n⊂α或n∥α再由面面垂直的判定定理得到结论.②根据面面平行的判定定理判断.③若m⊥α,m⊥n,则n⊂α或n∥α,再由面面平行的判定定理判断.④若m⊥α,α∥β,由面面平行的性质定理可得m⊥β,再由n∥β得到结论.
【解答】解:①∵若m⊥α,m⊥n,
∴n⊂α或n∥α
又∵n⊥β,
∴α⊥β;故正确.
②若m∥α,n∥β,由面面平行的判定定理可知,若m与n相交才平行,故不正确.
③若m⊥α,m⊥n,则n⊂α或n∥α,由面面平行的判定定理可知,只有n∥β,两平面不一定平行,故不正确.
④若m⊥α,α∥β,则m⊥β,又∵n∥β,则m⊥n.故正确.
故答案为:①④
三.解答题:(本大题6个小题,共70分)
17.已知,一圆经过坐标原点和点P(1,1),并且圆心在直线2x+3y+1=0上,求圆的方程.
【考点】圆的标准方程.
【分析】由直线和圆相交的性质可得,圆心在点O(0,0)和点P(1,1)的中垂线上,再根据圆心在直线2x+3y+1=0上,可得圆心C的坐标和半径r=|OC|的值,从而得到所求的圆的方程.
【解答】解:由直线和圆相交的性质可得,圆心在点O(0,0)和点P(1,1)的中垂线x+y﹣1=0上,
再根据圆心在直线2x+3y+1=0上,可得圆心C的坐标为(4,﹣3),故半径r=|OC|=5,
故所求的圆的方程为(x﹣4)2+(y+3)2=25.
18.已知如图PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是矩形,E、F分别是AB、PD的中点,求证:AF∥平面PCE.
【考点】直线与平面平行的判定.
【分析】取PC的中点M,连接ME、MF,推导出四边形AFME是平行四边形.从而AF∥ME,由此能证明AF∥平面PCE.
【解答】证明:取PC的中点M,连接ME、MF,
则FM∥CD,且FM=CD.
又∵AE∥CD,且AE=CD,
∴FM∥AE,且FM=AE,
即四边形AFME是平行四边形.
∴AF∥ME,又∵AF⊄平面PCE,EM⊂平面PCE,
∴AF∥平面PCE.
19.如图所示在四棱锥A﹣BCDM中,BD⊥平面ABC,AC=BC,N是棱AB的中点.
求证:CN⊥AD.
【考点】直线与平面垂直的性质.
【分析】证明BD⊥CN,CN⊥AB,可得CN⊥平面ABD,即可证明CN⊥AD.
【解答】证明:∵BD⊥平面ABC,CN⊆平面ABC,
∴BD⊥CN.
又∵AC=BC,N是AB的中点.
∴CN⊥AB.
又∵BD∩AB=B,
∴CN⊥平面ABD.
而AD⊂平面ABD,
∴CN⊥AD.
20.已知{an}是首项为19,公差为﹣2的等差数列,Sn为{an}的前n项和.
(1)求通项an及Sn;
(2)设{bn﹣an}是首项为1,公比为3的等比数列,求数列{bn}的通项公式及其前n项和Tn.
【考点】等差数列的前n项和;数列的求和.
【分析】(1)直接代入等差数列的通项公式及前n项和公式可求an及Sn
(2))利用等比数列的通项公式可求bn﹣an,结合(1)中的an代入可求bn,利用分组求和及等比数列的前n项和公式可求
【解答】解:(1)因为an是首项为a1=19,公差d=﹣2的等差数列,
所以an=19﹣2(n﹣1)=﹣2n+21,
.
(2)由题意bn﹣an=3n﹣1,所以bn=an+3n﹣1,=21﹣2n+3n﹣1
Tn=Sn+(1+3+32+…+3n﹣1)
=.
21.在锐角△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2asinB=b.
(Ⅰ)求角A的大小;
(Ⅱ)若a=6,b+c=8,求△ABC的面积.
【考点】正弦定理;余弦定理.
【分析】(Ⅰ)利用正弦定理化简已知等式,求出sinA的值,由A为锐角,利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数;
(Ⅱ)由余弦定理列出关系式,再利用完全平方公式变形,将a,b+c及cosA的值代入求出bc的值,再由sinA的值,利用三角形面积公式即可求出三角形ABC的面积.
【解答】解:(Ⅰ)由2asinB=b,利用正弦定理得:2sinAsinB=sinB,
∵sinB≠0,∴sinA=,
又A为锐角,
则A=;
(Ⅱ)由余弦定理得:a2=b2+c2﹣2bc•cosA,即36=b2+c2﹣bc=(b+c)2﹣3bc=64﹣3bc,
∴bc=,又sinA=,
则S△ABC=bcsinA=.
22.如图,在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,E、F分别是CD、A1D1中点
(1)求证:AE⊥BF;
(2)求证:AB1⊥BF;
(3)棱CC1上是否存在点P,使BF⊥平面AEP,若存在,确定点P位置;若不存在,说明理由.
【考点】直线与平面垂直的判定;直线与平面垂直的性质.
【分析】(1)取AD中点G,连接FG、BG,通过证明FG⊥AE,AE⊥BG,BG∩FG=G,证明AE⊥平面BFG,说明AE⊥BF.
(2)连A1B,证明AB1⊥A1B,AB1⊥BF,AE∩AB1=A,证明BF⊥平面AB1E.
(3)存在,取CC1中点P,连接EP、C1D说明AP⊂平面AB1E,由(2)知BF⊥平面AB1E,推出AP⊥BF.
方法2:(1)建立空间直角坐标系如图,设正方体棱长为2a,证明+0=0,,得到AE⊥BF.
(2)利用=0,,∴BF⊥AB1,且AB1∩AE=A,说明BF⊥平面AB1E.
(3)设点P(2a,2a,z),0≤z≤2a,则=(2a,2a,z),若AP⊥BF, +2az=0,
求出z得到P(2a,2a,c),即点P在CC1中点处.
【解答】(1)证明:取AD中点G,连接FG、BG,
则FG⊥AE,
又∵△BAG≌△ADE,∴∠ABG=∠DAE,
∴AE⊥BG,又∵BG∩FG=G,
∴AE⊥平面BFG,
∴AE⊥BF.
(2)证明:连A1B,则AB1⊥A1B,
又AB1⊥A1F,∴AB1⊥平面A1BF,
∴AB1⊥BF,
又AE∩AB1=A,
∴BF⊥平面AB1E.
∴AB1⊥BF
(3)存在,取CC1中点P,即为所求,
连接EP、C1D
∵EP∥C1D,C1D∥AB1,
∴EP∥AB1,∴AP⊂平面AB1E,
由(2)知BF⊥平面AB1E,∴AP⊥BF.
CC1中点P.
方法2:
(1)建立空间直角坐标系如图,设正方体棱长为2a,则
A(0,0,0),B(2a,0,0),B1(2a,0,2a),E(a,2a,0),
F(0,a,2a),
∴,
∴,
∴,∴AE⊥BF.
(2)∵=﹣4a2+0+4a2=0,
∴,∴BF⊥AB1,且AB1∩AE=A,
∴BF⊥平面AB1E.
∴AB1⊥BF
(3)设点P(2a,2a,z),0≤z≤2a,则,
若,
∴z=a,∴P(2a,2a,c),即点P在CC1中点处.