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  • 2021-06-20 发布

2021届浙江新高考数学一轮复习高效演练分层突破:第九章 9 第9讲 曲线与方程

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‎[基础题组练]‎ ‎1.方程(x-y)2+(xy-1)2=0表示的曲线是(  )‎ A.一条直线和一条双曲线 B.两条双曲线 C.两个点 D.以上答案都不对 解析:选C.(x-y)2+(xy-1)2=0‎ ‎⇔故或 ‎2.到点F(0,4)的距离比到直线y=-5的距离小1的动点M的轨迹方程为(  )‎ A.y=16x2         B.y=-16x2‎ C.x2=16y D.x2=-16y 解析:选C.由条件知,动点M到F(0,4)的距离与到直线y=-4的距离相等,所以点M的轨迹是以F(0,4)为焦点,直线y=-4为准线的抛物线,其标准方程为x2=16y.‎ ‎3.(2020·嘉兴模拟)已知点A(1,0),直线l:y=2x-4,点R是直线l上的一点,若=,则点P的轨迹方程为(  )‎ A.y=-2x B.y=2x C.y=2x-8 D.y=2x+4‎ 解析:选B.设P(x,y),R(x1,y1),由=知,点A是线段RP的中点,所以即 因为点R(x1,y1)在直线y=2x-4上,‎ 所以y1=2x1-4,‎ 所以-y=2(2-x)-4,即y=2x.‎ ‎4.(2020·绍兴一中高三期中)到两条互相垂直的异面直线距离相等的点的轨迹,被过一直线与另一直线垂直的平面所截,截得的曲线为(  )‎ A.相交直线 B.双曲线 C.抛物线 D.椭圆弧 解析:选C.如图所示,建立坐标系,不妨设两条互相垂直的异面直线为OA,BC,设OB=a,P(x,y,z)到直线OA,BC的距离相等,‎ 所以x2+z2=(x-a)2+y2,‎ 所以2ax-y2+z2-a2=0,‎ 若被平面xOy所截,则z=0,y2=2ax-a2;若被平面xOz所截,则y=0,z2=-2ax+a2,故选C.‎ ‎5.设点A为圆(x-1)2+y2=1上的动点,PA是圆的切线,且|PA|=1,则P点的轨迹方程为(  )‎ A.y2=2x B.(x-1)2+y2=4‎ C.y2=-2x D.(x-1)2+y2=2‎ 解析:选D.如图,设P(x,y),圆心为M(1,0).连接MA,PM,‎ 则MA⊥PA,且|MA|=1,‎ 又因为|PA|=1,‎ 所以|PM|==,即|PM|2=2,所以(x-1)2+y2=2.‎ ‎6.若曲线C上存在点M,使M到平面内两点A(-5,0),B(5,0),距离之差的绝对值为8,则称曲线C为“好曲线”.以下曲线不是“好曲线”的是(  )‎ A.x+y=5 B.x2+y2=9‎ C.+=1 D.x2=16y 解析:选B.因为M到平面内两点A(-5,0),B(5,0)距离之差的绝对值为8,所以M的轨迹是以A(-5,0),B(5,0)为焦点的双曲线,方程为-=1.‎ A项,直线x+y=5过点(5,0),满足题意,为“好曲线”;B项,x2+y2=9的圆心为(0,0),半径为3,与M的轨迹没有交点,不满足题意;C项,+=1的右顶点为(5,0),满足题意,为“好曲线”;D项,方程代入-=1,可得y-=1,即y2-9y+9=0,所以Δ>0,满足题意,为“好曲线”.‎ ‎7.在平面直角坐标系中,O为坐标原点,A(1,0),B(2,2),若点C满足=+t(-),其中t∈R,则点C的轨迹方程是________.‎ 解析:设C(x,y),则=(x,y),+t(-)=(1+t,2t),所以消去参数t得点C的轨迹方程为y=2x-2.‎ 答案:y=2x-2‎ ‎8.已知M(-2,0),N(2,0),则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是________.‎ 解析:设P(x,y),‎ 因为△MPN为直角三角形,‎ 所以|MP|2+|NP|2=|MN|2,‎ 所以(x+2)2+y2+(x-2)2+y2=16,‎ 整理得,x2+y2=4.‎ 因为M,N,P不共线,所以x≠±2,‎ 所以轨迹方程为x2+y2=4(x≠±2).‎ 答案:x2+y2=4(x≠±2)‎ ‎9.已知点P是圆C:(x+2)2+y2=4上的动点,定点F(2,0),线段PF的垂直平分线与直线CP的交点为Q,则点Q(x,y)的轨迹方程是________.‎ 解析:依题意有|QP|=|QF|,则||QC|-|QF||=|CP|=2,又|CF|=4>2,故点Q的轨迹是以C,F为焦点的双曲线,a=1,c=2,得b2=3,所求轨迹方程为x2-=1.‎ 答案:x2-=1‎ ‎10.(2020·杭州高级中学模拟)已知P是椭圆+=1(a>b>0)上的任意一点,F1,F2是它的两个焦点,O为坐标原点,=+,则动点Q的轨迹方程是________.‎ 解析:=+,如图,+==2=-2,设Q(x,y),则=-=-(x,y)=,‎ 即P点的坐标为,又P在椭圆上,则有+=1,即+=1.‎ 答案:+=1‎ ‎11.设F(1,0),M点在x轴上,P点在y轴上,且=2,⊥,当点P在y轴上运动时,求点N的轨迹方程.‎ 解:设M(x0,0),P(0,y0),N(x,y),‎ 因为⊥,=(x0,-y0),=(1,-y0),‎ 所以(x0,-y0)·(1,-y0)=0,所以x0+y=0.‎ 由=2得(x-x0,y)=2(-x0,y0),‎ 所以 即所以-x+=0,即y2=4x.‎ 故所求的点N的轨迹方程是y2=4x.‎ ‎12.已知P为圆A:(x+1)2+y2=8上的动点,点B(1,0).线段PB的垂直平分线与半径PA相交于点M,记点M的轨迹为Γ.‎ ‎(1)求曲线Γ的方程;‎ ‎(2)当点P在第一象限,且cos∠BAP=时,求点M的坐标.‎ 解:(1)圆A的圆心为A(-1,0),半径等于2.‎ 由已知|MB|=|MP|,‎ 于是|MA|+|MB|=|MA|+|MP|=2>2=|AB|,‎ 故曲线Γ是以A,B为焦点,以2为长轴长的椭圆,‎ 即a=,c=1,b=1,‎ 所以曲线Γ的方程为+y2=1.‎ ‎(2)由cos∠BAP=,|AP|=2,得P.‎ 于是直线AP的方程为y=(x+1).‎ 由 整理得5x2+2x-7=0,解得x1=1,x2=-.‎ 由于点M在线段AP上,‎ 所以点M坐标为.‎ ‎[综合题组练]‎ ‎1.已知log2x,log2y,2成等差数列,则在平面直角坐标系中,点M(x,y)的轨迹为(  )‎ 解析:选A.由2log2y=2+log2x得log2y2=log2(4x),故点M(x,y)的轨迹方程为y2=4x(x>0,y>0),即y=2(x>0),故选A.‎ ‎2.已知点A,B分别是射线l1:y=x(x≥0),l2:y=-x(x≥0)上的动点,O为坐标原点,‎ 且△OAB的面积为定值2,则线段AB的中点M的轨迹方程为________.‎ 解析:由题意可设A(x1,x1),B(x2,-x2),M(x,y),‎ 其中x1>0,x2>0,则 因为△OAB的面积为定值2,‎ 所以S△OAB=OA·OB=(x1)(x2)=x1x2=2.‎ ‎①2-②2得x2-y2=x1x2,而x1x2=2,‎ 所以x2-y2=2.‎ 由于x1>0,x2>0,所以x>0,‎ 即所求点M的轨迹方程为x2-y2=2(x>0).‎ 答案:x2-y2=2(x>0)‎ ‎3.曲线C是平面内与两个定点F1(-1,0)和F2(1,0)的距离的积等于常数a2(a>1)的点的轨迹.给出下列三个结论:‎ ‎①曲线C过坐标原点;‎ ‎②曲线C关于坐标原点对称;‎ ‎③若点P在曲线C上,则△F1PF2的面积不大于a2.‎ 其中,所有正确结论的序号是________.‎ 解析:因为原点O到两个定点F1(-1,0),F2(1,0)的距离的积是1,而a2>1,所以曲线C不过原点,即①错误;‎ 因为F1(-1,0),F2(1,0)关于原点对称,设M是曲线C上任意一点,所以|MF1||MF2|=a2对应的轨迹关于原点对称,即②正确;‎ 因为S△F1PF2=|PF1||PF2|sin∠F1PF2≤|PF1|·|PF2|=a2,即△F1PF2的面积不大于a2,所以③正确.‎ 答案:②③‎ ‎4.已知坐标平面上动点M(x,y)与两个定点P(26,1),Q(2,1),且|MP|=5|MQ|.‎ ‎(1)求点M的轨迹方程,并说明轨迹是什么图形;‎ ‎(2)记(1)中轨迹为C,过点N(-2,3)的直线l被C所截得的线段长度为8,求直线l的方程.‎ 解:(1)由题意,得=5,即=5,‎ 化简,得x2+y2-2x-2y-23=0,‎ 所以点M的轨迹方程是(x-1)2+(y-1)2=25.‎ 轨迹是以(1,1)为圆心,以5为半径的圆.‎ ‎(2)当直线l的斜率不存在时,l:x=-2,‎ 此时所截得的线段长度为2=8,‎ 所以l:x=-2符合题意.‎ 当直线l的斜率存在时,设l的方程为y-3=k(x+2),‎ 即kx-y+2k+3=0,圆心(1,1)到直线l的距离d=,‎ 由题意,得+42=52,解得k=.‎ 所以直线l的方程为x-y+=0,即5x-12y+46=0.‎ 综上,直线l的方程为x=-2或5x-12y+46=0.‎ ‎5.(2020·温州市普通高中模考)如图,P为圆M:(x-)2+y2=24上的动点,定点Q(-,0),线段PQ的垂直平分线交线段MP于点N.‎ ‎(1)求动点N的轨迹方程;‎ ‎(2)记动点N的轨迹为曲线C,设圆O:x2+y2=2的切线l交曲线C于A,B两点,求|OA|·|OB|的最大值.‎ 解:(1)连接QN,因为|NM|+|NQ|=|NM|+|NP|=|MP|=2>2=|MQ|,‎ 所以动点N的轨迹为椭圆,‎ 所以a=,c=,所以b2=3.‎ 所以动点N的轨迹方程为+=1.‎ ‎(2)①当切线l垂直坐标轴时,|OA|·|OB|=4.‎ ‎②当切线l不垂直坐标轴时,设切线l的方程为y=kx+m(k≠0),点A(x1,y1),B(x2,y2),由直线和圆相切,得m2=2+2k2.‎ 由得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-6=0,‎ 所以x1+x2=-,x1x2=,‎ 所以x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+m)·(kx2+m)=(k2+1)x1x2+km(x1+x2)+m2‎ ‎=(k2+1)·-km·+m2‎ ‎==0,‎ 所以∠AOB=90°,所以|OA|·|OB|=|AB|,‎ 又因为|AB|= |x1-x2|‎ ‎=· ‎=,‎ 令t=k2,则|AB|=2 ‎=2≤3,‎ 当且仅当k=±时,等号成立,‎ 所以|OA|·|OB|≤3,‎ 综上,|OA|·|OB|的最大值为3.‎

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