2021届浙江新高考数学一轮复习高效演练分层突破：第九章　9 第9讲　曲线与方程 7页

‎[基础题组练]‎ ‎1．方程(x－y)2＋(xy－1)2＝0表示的曲线是(　　)‎ A．一条直线和一条双曲线 B．两条双曲线 C．两个点 D．以上答案都不对 解析：选C.(x－y)2＋(xy－1)2＝0‎ ‎⇔故或 ‎2．到点F(0，4)的距离比到直线y＝－5的距离小1的动点M的轨迹方程为(　　)‎ A．y＝16x2　　　　　　　　 B．y＝－16x2‎ C．x2＝16y D．x2＝－16y 解析：选C.由条件知，动点M到F(0，4)的距离与到直线y＝－4的距离相等，所以点M的轨迹是以F(0，4)为焦点，直线y＝－4为准线的抛物线，其标准方程为x2＝16y.‎ ‎3．(2020·嘉兴模拟)已知点A(1，0)，直线l：y＝2x－4，点R是直线l上的一点，若＝，则点P的轨迹方程为(　　)‎ A．y＝－2x B．y＝2x C．y＝2x－8 D．y＝2x＋4‎ 解析：选B.设P(x，y)，R(x1，y1)，由＝知，点A是线段RP的中点，所以即 因为点R(x1，y1)在直线y＝2x－4上，‎ 所以y1＝2x1－4，‎ 所以－y＝2(2－x)－4，即y＝2x.‎ ‎4．(2020·绍兴一中高三期中)到两条互相垂直的异面直线距离相等的点的轨迹，被过一直线与另一直线垂直的平面所截，截得的曲线为(　　)‎ A．相交直线 B．双曲线 C．抛物线 D．椭圆弧 解析：选C.如图所示，建立坐标系，不妨设两条互相垂直的异面直线为OA，BC，设OB＝a，P(x，y，z)到直线OA，BC的距离相等，‎ 所以x2＋z2＝(x－a)2＋y2，‎ 所以2ax－y2＋z2－a2＝0，‎ 若被平面xOy所截，则z＝0，y2＝2ax－a2；若被平面xOz所截，则y＝0，z2＝－2ax＋a2，故选C.‎ ‎5．设点A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线，且|PA|＝1，则P点的轨迹方程为(　　)‎ A．y2＝2x B．(x－1)2＋y2＝4‎ C．y2＝－2x D．(x－1)2＋y2＝2‎ 解析：选D.如图，设P(x，y)，圆心为M(1，0)．连接MA，PM，‎ 则MA⊥PA，且|MA|＝1，‎ 又因为|PA|＝1，‎ 所以|PM|＝＝，即|PM|2＝2，所以(x－1)2＋y2＝2.‎ ‎6．若曲线C上存在点M，使M到平面内两点A(－5，0)，B(5，0)，距离之差的绝对值为8，则称曲线C为“好曲线”．以下曲线不是“好曲线”的是(　　)‎ A．x＋y＝5 B．x2＋y2＝9‎ C.＋＝1 D．x2＝16y 解析：选B.因为M到平面内两点A(－5，0)，B(5，0)距离之差的绝对值为8，所以M的轨迹是以A(－5，0)，B(5，0)为焦点的双曲线，方程为－＝1.‎ A项，直线x＋y＝5过点(5，0)，满足题意，为“好曲线”；B项，x2＋y2＝9的圆心为(0，0)，半径为3，与M的轨迹没有交点，不满足题意；C项，＋＝1的右顶点为(5，0)，满足题意，为“好曲线”；D项，方程代入－＝1，可得y－＝1，即y2－9y＋9＝0，所以Δ＞0，满足题意，为“好曲线”．‎ ‎7．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A(1，0)，B(2，2)，若点C满足＝＋t(－)，其中t∈R，则点C的轨迹方程是________．‎ 解析：设C(x，y)，则＝(x，y)，＋t(－)＝(1＋t，2t)，所以消去参数t得点C的轨迹方程为y＝2x－2.‎ 答案：y＝2x－2‎ ‎8．已知M(－2，0)，N(2，0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是________．‎ 解析：设P(x，y)，‎ 因为△MPN为直角三角形，‎ 所以|MP|2＋|NP|2＝|MN|2，‎ 所以(x＋2)2＋y2＋(x－2)2＋y2＝16，‎ 整理得，x2＋y2＝4.‎ 因为M，N，P不共线，所以x≠±2，‎ 所以轨迹方程为x2＋y2＝4(x≠±2)．‎ 答案：x2＋y2＝4(x≠±2)‎ ‎9．已知点P是圆C：(x＋2)2＋y2＝4上的动点，定点F(2，0)，线段PF的垂直平分线与直线CP的交点为Q，则点Q(x，y)的轨迹方程是________．‎ 解析：依题意有|QP|＝|QF|，则||QC|－|QF||＝|CP|＝2，又|CF|＝4>2，故点Q的轨迹是以C，F为焦点的双曲线，a＝1，c＝2，得b2＝3，所求轨迹方程为x2－＝1.‎ 答案：x2－＝1‎ ‎10．(2020·杭州高级中学模拟)已知P是椭圆＋＝1(a>b>0)上的任意一点，F1，F2是它的两个焦点，O为坐标原点，＝＋，则动点Q的轨迹方程是________．‎ 解析：＝＋，如图，＋＝＝2＝－2，设Q(x，y)，则＝－＝－(x，y)＝，‎ 即P点的坐标为，又P在椭圆上，则有＋＝1，即＋＝1.‎ 答案：＋＝1‎ ‎11．设F(1，0)，M点在x轴上，P点在y轴上，且＝2，⊥，当点P在y轴上运动时，求点N的轨迹方程．‎ 解：设M(x0，0)，P(0，y0)，N(x，y)，‎ 因为⊥，＝(x0，－y0)，＝(1，－y0)，‎ 所以(x0，－y0)·(1，－y0)＝0，所以x0＋y＝0.‎ 由＝2得(x－x0，y)＝2(－x0，y0)，‎ 所以 即所以－x＋＝0，即y2＝4x.‎ 故所求的点N的轨迹方程是y2＝4x.‎ ‎12．已知P为圆A：(x＋1)2＋y2＝8上的动点，点B(1，0)．线段PB的垂直平分线与半径PA相交于点M，记点M的轨迹为Γ.‎ ‎(1)求曲线Γ的方程；‎ ‎(2)当点P在第一象限，且cos∠BAP＝时，求点M的坐标．‎ 解：(1)圆A的圆心为A(－1，0)，半径等于2.‎ 由已知|MB|＝|MP|，‎ 于是|MA|＋|MB|＝|MA|＋|MP|＝2>2＝|AB|，‎ 故曲线Γ是以A，B为焦点，以2为长轴长的椭圆，‎ 即a＝，c＝1，b＝1，‎ 所以曲线Γ的方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)由cos∠BAP＝，|AP|＝2，得P.‎ 于是直线AP的方程为y＝(x＋1)．‎ 由 整理得5x2＋2x－7＝0，解得x1＝1，x2＝－.‎ 由于点M在线段AP上，‎ 所以点M坐标为.‎ ‎[综合题组练]‎ ‎1．已知log2x，log2y，2成等差数列，则在平面直角坐标系中，点M(x，y)的轨迹为(　　)‎ 解析：选A.由2log2y＝2＋log2x得log2y2＝log2(4x)，故点M(x，y)的轨迹方程为y2＝4x(x＞0，y＞0)，即y＝2(x＞0)，故选A.‎ ‎2．已知点A，B分别是射线l1：y＝x(x≥0)，l2：y＝－x(x≥0)上的动点，O为坐标原点，‎ 且△OAB的面积为定值2，则线段AB的中点M的轨迹方程为________．‎ 解析：由题意可设A(x1，x1)，B(x2，－x2)，M(x，y)，‎ 其中x1>0，x2>0，则 因为△OAB的面积为定值2，‎ 所以S△OAB＝OA·OB＝(x1)(x2)＝x1x2＝2.‎ ‎①2－②2得x2－y2＝x1x2，而x1x2＝2，‎ 所以x2－y2＝2.‎ 由于x1>0，x2>0，所以x>0，‎ 即所求点M的轨迹方程为x2－y2＝2(x>0)．‎ 答案：x2－y2＝2(x>0)‎ ‎3．曲线C是平面内与两个定点F1(－1，0)和F2(1，0)的距离的积等于常数a2(a＞1)的点的轨迹．给出下列三个结论：‎ ‎①曲线C过坐标原点；‎ ‎②曲线C关于坐标原点对称；‎ ‎③若点P在曲线C上，则△F1PF2的面积不大于a2.‎ 其中，所有正确结论的序号是________．‎ 解析：因为原点O到两个定点F1(－1，0)，F2(1，0)的距离的积是1，而a2＞1，所以曲线C不过原点，即①错误；‎ 因为F1(－1，0)，F2(1，0)关于原点对称，设M是曲线C上任意一点，所以|MF1||MF2|＝a2对应的轨迹关于原点对称，即②正确；‎ 因为S△F1PF2＝|PF1||PF2|sin∠F1PF2≤|PF1|·|PF2|＝a2，即△F1PF2的面积不大于a2，所以③正确．‎ 答案：②③‎ ‎4．已知坐标平面上动点M(x，y)与两个定点P(26，1)，Q(2，1)，且|MP|＝5|MQ|.‎ ‎(1)求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；‎ ‎(2)记(1)中轨迹为C，过点N(－2，3)的直线l被C所截得的线段长度为8，求直线l的方程．‎ 解：(1)由题意，得＝5，即＝5，‎ 化简，得x2＋y2－2x－2y－23＝0，‎ 所以点M的轨迹方程是(x－1)2＋(y－1)2＝25.‎ 轨迹是以(1，1)为圆心，以5为半径的圆．‎ ‎(2)当直线l的斜率不存在时，l：x＝－2，‎ 此时所截得的线段长度为2＝8，‎ 所以l：x＝－2符合题意．‎ 当直线l的斜率存在时，设l的方程为y－3＝k(x＋2)，‎ 即kx－y＋2k＋3＝0，圆心(1，1)到直线l的距离d＝，‎ 由题意，得＋42＝52，解得k＝.‎ 所以直线l的方程为x－y＋＝0，即5x－12y＋46＝0.‎ 综上，直线l的方程为x＝－2或5x－12y＋46＝0.‎ ‎5.(2020·温州市普通高中模考)如图，P为圆M：(x－)2＋y2＝24上的动点，定点Q(－，0)，线段PQ的垂直平分线交线段MP于点N.‎ ‎(1)求动点N的轨迹方程；‎ ‎(2)记动点N的轨迹为曲线C，设圆O：x2＋y2＝2的切线l交曲线C于A，B两点，求|OA|·|OB|的最大值．‎ 解：(1)连接QN，因为|NM|＋|NQ|＝|NM|＋|NP|＝|MP|＝2＞2＝|MQ|，‎ 所以动点N的轨迹为椭圆，‎ 所以a＝，c＝，所以b2＝3.‎ 所以动点N的轨迹方程为＋＝1.‎ ‎(2)①当切线l垂直坐标轴时，|OA|·|OB|＝4.‎ ‎②当切线l不垂直坐标轴时，设切线l的方程为y＝kx＋m(k≠0)，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由直线和圆相切，得m2＝2＋2k2.‎ 由得(2k2＋1)x2＋4kmx＋2m2－6＝0，‎ 所以x1＋x2＝－，x1x2＝，‎ 所以x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋m)·(kx2＋m)＝(k2＋1)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2‎ ‎＝(k2＋1)·－km·＋m2‎ ‎＝＝0，‎ 所以∠AOB＝90°，所以|OA|·|OB|＝|AB|，‎ 又因为|AB|＝ |x1－x2|‎ ‎＝· ‎＝，‎ 令t＝k2，则|AB|＝2 ‎＝2≤3，‎ 当且仅当k＝±时，等号成立，‎ 所以|OA|·|OB|≤3，‎ 综上，|OA|·|OB|的最大值为3.‎