人教版高中数学选修1-1课件：9_第三章《导数及其应用》（复习课） 29页

第三章 导数及其应用复习小结 本章知识结构 导数 导数概念 导数运算 导数应用 函数的瞬时变化率 运动的瞬时速度 曲线的切线斜率 基本初等函数求导 导数的四则运算法则 简单复合函数的导数 函数单调性研究 函数的极值、最值 曲线的切线 变速运动的速度 最优化问题 曲线的切线 以曲线的切线为例，在一条曲线 C ： y = f ( x ) 上取一点 P( x 0 ， y 0 ) ，点 Q( x 0 +△ x ， y 0 +△ y ) 是曲线 C 上与点 P 临近的一点，做割线 PQ ，当点 Q 沿曲线 C 无限地趋近点 P 时，割线 PQ 便无限地趋近于某一极限位置 PT ，我们就把直线 PT 叫做曲线 C 的在点 P 处的切线。 一．知识串讲 此时割线 PT 斜率的极限就是曲线 C 在点 P 处的切线的斜率，用极限运算的表达式来写出，即 k =tan α = （一）导数的概念： 1 ． 导数的定义 ： 对函数 y = f ( x ) ，在点 x = x 0 处给自变量 x 以增量△ x ，函数 y 相应有增量△ y = f ( x 0 +△ x ) － f ( x 0 ) ， 若极限 存在，则此极限称为 f ( x ) 在点 x = x 0 处的导数，记为 f ’( x 0 ) ，或 y | ； 2 ．导函数 ：如果函数 y = f ( x ) 在区间 ( a ， b ) 内每一点都可导，就说 y = f ( x ) 在区间 ( a ， b ) 内可导．即对于开区间 ( a ， b ) 内每一个确定的 x 0 值，都相对应着一个确定的导数 f ’( x 0 ) ，这样在开区间 ( a ， b ) 内构成一个新函数，把这一新函数叫做 f ( x ) 在 ( a ， b ) 内的导函数．简称导数．记作 f ’( x ) 或 y ’. 即 f ’( x )= y ’= 3 ．导数的几何意义 ：函数 y = f ( x ) 在点 x 0 处的导数的几何意义，就是曲线 y = f ( x ) 在 P ( x 0 ， f ( x 0 )) 处的切线的斜率，即曲线 y = f ( x ) 在点 P ( x 0 ， f ( x 0 )) 处的切线斜率为 k ＝ f ’( x 0 ) ．所以曲线 y ＝ f ( x ) 在点 P ( x 0 ， f ( x 0 )) 处的切线方程为 y  y 0 = f ’( x 0 )·( x － x 0 ) ． 4 ．导数的物理意义 ：物体作直线运动时，路程 s 关于时间 t 的函数为： s = s ( t ) ，那么瞬时速度 v 就是路程 s 对于时间 t 的导数，即 v ( t )= s ’( t ). 返回 导数的运算法则 : 法则 1: 两个函数的和 ( 差 ) 的导数 , 等于这两个函数的导数的 和 ( 差 ), 即 : 法则 2: 两个函数的积的导数 , 等于第一个函数的导数乘第二个函数 , 加上第一个函数乘第二个函数的导数 , 即 : 法则 3: 两个函数的积的导数 , 等于第一个函数的导数乘第二个函数 , 减去第一个函数乘第二个函数的导数 , 再除以第二个函数的平方 . 即 : 返回 当点 Q 沿着曲线无限接近点 P 即 Δ x→0 时 , 割线 PQ 如果有一个极限位置 PT. 则我们把直线 PT 称为曲线在点 P 处的 切线 . 设切线的倾斜角为 α , 那么当 Δ x→0 时 , 割线 PQ 的斜率 , 称为曲线在点 P 处的 切线的斜率 . 即 : P Q o x y y=f(x) 割线 切线 T 返回 1) 如果恒有 f′(x)>0 ，那么 y=f （ x) 在这个区间（ a,b) 内单调递增； 2) 如果恒有 f′(x)<0 ，那么 y=f （ x ）在这个区间 (a,b) 内单调递减。 一般地，函数 y ＝ f （ x ）在某个区间 (a,b) 内 定理 a b y=f(x) x o y y=f(x) x o y a b f '( x )>0 f '( x )<0 如果在某个区间内恒有 , 则 为常数 . 返回 2) 如果 a 是 f ’ (x)=0 的一个根，并且在 a 的左侧附近 f ’ (x)<0 ，在 a 右侧附近 f ’ (x)>0 ，那么是 f(a) 函数 f(x) 的一个极小值 . 函数的极值 1) 如果 b 是 f ’ (x)=0 的一个根，并且在 b 左侧附近 f ’ (x)>0 ，在 b 右侧附近 f ’ (x)<0 ，那么 f(b) 是函数 f(x) 的一个极大值 注：导数等于零的点不一定是极值点． 2) 在 闭区间 [a,b] 上的函数 y=f(x) 的图象是一条 连续不断 的曲线 , 则它 必有 最大值和最小值 . 函数的最大（小）值与导数 x y 0 a b x 1 x 2 x 3 x 4 f(a) f(x 3 ) f(b) f(x 1 ) f(x 2 ) 返回 （五）函数的最大值与最小值： 1 ．定义： 最值是一个整体性概念，是指函数在给定区间 ( 或定义域 ) 内所有函数值中最大的值或最小的值，最大数值叫最大值，最小的值叫最小值，通常最大值记为 M ，最小值记为 m . 2 ． 存在性：在闭区间 [ a ， b ] 上连续函数 f ( x ) 在 [ a ， b ] 上必有最大值与最小值． 3 ．求最大（小）值的方法：函数 f ( x ) 在闭区间 [ a ， b ] 上最值求法： ① 求出 f ( x ) 在 ( a ， b ) 内的极值； ② 将函数 f ( x ) 的极值与 f ( a ) ， f ( b ) 比较，其中较大的一个是最大值，较小的一个是最小值 . 两年北京导数题 , 感想如何 ? 例 1 ．已经曲线 C ： y=x 3 -x+2 和点 A(1,2) 。求在点 A 处的切线方程？ 解： f / (x)=3x 2 － 1 ， ∴ k= f / (1)=2 ∴ 所求的切线方程为： y － 2=2(x － 1), 即 y=2x 变式 1 ： 求过点 A 的切线方程？ 例 1 ．已经曲线 C ： y=x 3 -x+2 和点 (1,2) 求在点 A 处的切线方程？ 解：变 1 ：设切点为 P （ x 0 ， x 0 3 － x 0 +2 ）， ∴ 切线方程为 y － ( x 0 3 － x 0 +2)=(3 x 0 2 － 1 )( x － x 0 ) 又∵ 切线过点 A(1,2) ∴ 2 － ( x 0 3 － x 0 +2)=( 3 x 0 2 － 1 )(1 － x 0 ) 化简得 (x 0 － 1) 2 (2 x 0 +1)=0 ， ① 当 x 0 =1 时，所求的切线方程为： y － 2=2( x － 1), 即 y=2x 解得 x 0 =1 或 x 0 = － k= f / (x 0 )= 3 x 0 2 － 1 ， ② 当 x 0 = － 时，所求的切线方程为： y － 2= － (x － 1), 即 x+4y － 9=0 变式 1 ： 求过点 A 的切线方程？ 例 1 ：已经曲线 C ： y=x 3 － x+2 和点 (1,2) 求在点 A 处的切线方程？ 变式 2 ： 若曲线上一点 Q 处的切线恰好平行于直 线 y=11x － 1 ，则 P 点坐标为 ____________, 切线方程为 _____________________ ． (2,8) 或 ( － 2, － 4) y=11x － 14 或 y=11x+18 （ 1 ）正确理解导数的概念和意义，导数是一个函数的改变量与自变量的改变量的比值的极限，它反映的是函数的变化率，即函数值在 x = x 0 点附近的变化快慢；所以只有与变化率有关的问题都可以用导数来解决； （ 2 ）掌握求导数的方法，特别是在求复合函数的导数时，一定要把握层次，把每一层的复合关系都看清楚； （ 3 ）利用导数来研究函数。主要是研究函数的增减性、函数的极大（小）值、函数的最大（小）值以及一 些与实际相关的问题。 三． 小结 :