2018-2019学年山西省原平市范亭中学高二4月月考数学（理)试题 解析版 15页

绝密★启用前 山西省原平市范亭中学2018-2019学年高二4月月考数学（理)试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．设全集，集合，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 因为 ,所以,故选C.‎ ‎2．在处的导数为（ ）‎ A．0 B．1 C．2 D．以上都不对 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求导得，再求得解.‎ ‎【详解】‎ 由题得.‎ 所以在处的导数为2.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题主要考查导数的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎3．定积分（ ）‎ A． B．6‎ C． D．3‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：.‎ 考点：定积分的计算.‎ ‎4．函数的单调递增区间（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求，再解不等式得函数的单调递增区间.‎ ‎【详解】‎ 由题得，‎ 解不等式，‎ 所以.‎ 所以函数的单调增区间为.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数的单调区间的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎5．函数的最大值（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据导数判断函数的单调性，得到函数在区间上递增，从而求出函数的最大值 ‎【详解】‎ ‎∵，∴在区间上为增函数，‎ ‎∴的最大值为．故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了利用导数求函数的最值问题，若函数在闭区间上是增函数，则函数的最大值在区间的后端点处取得 ‎6．双曲线的离心率为（ ）‎ A．2 B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出双曲线的a和c，即得双曲线的离心率.‎ ‎【详解】‎ 由题得a=1,c=,‎ 所以双曲线的离心率为.‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题主要考查双曲线的标准方程和离心率的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎7．已知函数 ，则“ ”是“ 在 上单调递增”的(  )‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ f′(x)＝x2＋a，当a≥0时，f′(x)≥0恒成立，故“a＞0”是“f(x)在R上单调递增”的充分不必要条件．故选A.‎ ‎8．设函数，则（ ）‎ A．为的极大值点 B．为的极小值点 C．为的极大值点 D．为的极小值点 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：因为，所以。‎ 又，所以 为的极小值点。‎ 考点：利用导数研究函数的极值；导数的运算法则。‎ 点评：极值点的导数为0 ，但导数为0的点不一定是极值点。‎ ‎9．已知曲线和曲线围成一个叶形图；则其面积为 （ ）‎ A．1 B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先作出两个函数的图像，再利用定积分求面积得解.‎ ‎【详解】‎ 由题得函数的图像如图所示，‎ 联立得交点（1,1）‎ 所以叶形图面积为.‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题主要考查定积分的应用，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎10．已知 是奇函数，当时，当时，‎ 的最小值为1，则 的值（ ）‎ A．1 B．2 C．3 D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用题意首先确定函数的单调性，然后结合导函数研究函数的最值即可求得最终结果．‎ ‎【详解】‎ 是奇函数，时，的最小值为1，‎ 在上的最大值为，‎ 当时，，‎ 令得，又，，‎ 令，则，在 上递增；‎ 令，则，在 上递减，‎ ‎，，得．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的单调性，函数的奇偶性，导函数研究函数的性质等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．‎ ‎11．若函数的极大值为6，极小值为2，则的单调递减区间是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数f（x）=x3﹣3ax+b（a＞0）的极大值为6，极小值为2，求导f′（x）=0，求得该函数的极值点x1，x2，并判断是极大值点x1，还是极小值点x2，代入f（x1‎ ‎）=6，f（x2）=2，解方程组可求得a，b的值，再由f′（x）＜0即可得到．‎ ‎【详解】‎ 令f′（x）=3x2﹣3a=0，得x=±，‎ 令f′（x）＞0得x＞或x＜﹣；令f′（x）＜0得﹣＜x＜．‎ 即x=﹣取极大，x=取极小．‎ ‎∵函数f（x）=x3﹣3ax+b（a＞0）的极大值为6，极小值为2，‎ ‎∴f（）=2，f（﹣）=6，‎ 即a﹣3a+b=2且﹣a+3a+b=6，‎ 得a=1，b=4，‎ 则f′（x）=3x2﹣3，由f′（x）＜0得﹣1＜x＜1．‎ 则减区间为（﹣1，1）．‎ 故选：Ａ．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数在某点取得极值的条件，以及函数的单调区间，考查解方程的运算能力，属于中档题．‎ ‎12．已知定义在实数集上的函数满足且导数 在上恒有，则不等式 的解集为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 构造函数，，从而可得的单调性，结合（1），可求得（1），然后求出不等式的解集即可．‎ ‎【详解】‎ 令，‎ ‎，，‎ 为减函数，‎ 又（1），‎ ‎（1）（1），‎ 不等式的解集（1）的解集，‎ 即（1），又为减函数，‎ ‎，即．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题利用导数研究函数的单调性，可构造函数，考查所构造的函数的单调性是关键，也是难点所在，属于中档题．‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用定积分的几何意义求解.‎ ‎【详解】‎ 表示的曲线为以原点为圆心，半径为的上半圆，‎ 根据定积分的几何意义可得.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了定积分，关键是对定积分几何意义的理解与运用，是基础题．‎ ‎14．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的体积为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据几何体的三视图，得该几何体为一直四棱锥，画出直观图，求出该四棱锥的体积得解.‎ ‎【详解】‎ 根据几何体的三视图，得该几何体为一直四棱锥，其直观图如图所示；‎ 正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，‎ 四棱锥的底面是正方形，且边长为1，其中一条侧棱底面且棱长，‎ 所以该几何体的体积为.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了利用空间几何体的三视图求几何体体积，是基础题目．‎ ‎15．已知函数的图像在点的处的切线过点，则 .‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】试题分析： ‎ ‎.‎ 考点：1、导数的几何意义；2、直线方程.‎ ‎【方法点晴】本题考查导数的几何意义、直线方程，涉及分特殊与一般思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 首先求导可得 ‎ ‎.‎ 视频 ‎16．若函数在定义域内的一个子区间上不是单调函数，则实数的取值范围______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 解：‎ 解：因为f（x）定义域为（0，+∞），又f′(x)=4x-，‎ 由f'（x）=0，得x=1/2．‎ 当x∈（0，1/2）时，f'（x）＜0，当x∈（1/2，+∞）时，f'（x）＞0‎ 据题意，{k-1＜1/2＜k+1‎ k-1≥0，‎ 解得1≤k＜3/2.‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．求下列函数的导数 ‎（1）；（2）；（3）；（4）；（5）‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用导数的运算法则即可得出．‎ ‎【详解】‎ ‎（1），‎ ‎．‎ ‎（2），‎ 所以.‎ ‎（3）；‎ ‎（4）;‎ ‎（5）.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查导数的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎18．已知曲线 求:‎ ‎（1）曲线在点 处的切线方程 ‎（2）曲线过点 的切线方程 ‎【答案】(1) ；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)求出函数的导数，令求得切线的斜率，由点斜式方程即可得到切线的方程；（2）设切线的切点(a,)，再利用已知求出a的值得解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）的导数为，‎ 所以曲线在点处的切线的斜率为，‎ 则曲线在点处的切线方程为，‎ 即为.‎ ‎(2)设切点为，所以，‎ 所以切线方程为，‎ 所以，‎ 所以，‎ 所以，‎ 所以切线方程为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查导数的运用,求切线的方程，掌握导数的几何意义，同时考查直线的点斜式方程，属于基础题．‎ ‎19．如图所示，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，分别为的中点，侧面底面，且．‎ ‎‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求证：平面平面．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；‎ ‎（2）证明见解析．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：‎ 试题解析：（1）连接,则是的中点，又为的中点，‎ 在中，,‎ 又平面,平面,‎ 平面；‎ ‎（2）平面平面，平面平面，平面，，‎ 平面,又平面,,‎ ‎,是等腰直角三角形，且，即,‎ 又,平面,‎ 又平面,‎ 平面平面．‎ 考点：线面平行的判定，面面垂直的判定．‎ ‎【易错点睛】该题考查的是有关线面平行的判定以及面面垂直的判定，属于较易题目，在解题的过程中，需要学生对相应的判定定理的条件掌握的很好，在书写的过程中，线面平行的判定定理的条件，线在面内和线在面外的条件很容易被忽略，从而得不了满分，所以要时刻关注着，在证明面面垂直的时候，要把握好面面垂直的判定定理，将面面垂直转化为线面垂直，而线面垂直的判定定理中，两条直线相交这一条是万万不能丢的．‎ ‎20．设 ‎（1）函数的单调区间;‎ ‎（2）当时，有恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）单调增区间为，单调减区间为（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）由原函数求得函数的导函数,由导数值的正负可得到函数的增减区间；（Ⅱ）由函数在区间上的单调性可求得在该区间上函数的最大值，借助于最值得到的取值范围 试题解析：（Ⅰ）由得或，所以函数的单调增区间为，；单调减区间为 ‎（Ⅱ）根据上一步知函数在区间上递增，在区间上递减，在区间上递增，又，所以在区间上 要使恒成立，只需即可 考点：函数导数求单调区间及最值 ‎21．设函数，其中 ‎（1）讨论在其定义域上的单调性；‎ ‎（2）当时，求取得最大值和最小值时的的值.‎ ‎【答案】（1）在和内单调递减，在内单调递增；（2）所以当 时，在处取得最小值；当时，在和处同时取得最小只；当时，在处取得最小值.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）对原函数进行求导，，令，解得，当或时；从而得出，当时，.故在和内单调递减，在内单调递增.（2）依据第（1）题，对进行讨论，①当时，，由（1）知，在上单调递增，所以在和处分别取得最小值和最大值.②当时，.由（1）知，在上单调递增，在上单调递减，因此在处取得最大值.又，所以当时，在处取得最小值；当时，在和处同时取得最小只；当时，在处取得最小值.‎ ‎（1）的定义域为，.令，得，所以.当或时；当时，.故在和内单调递减，在内单调递增.‎ 因为，所以.‎ ‎①当时，，由（1）知，在上单调递增，所以在和处分别取得最小值和最大值.②当时，.由（1）知，在上单调递增，在上单调递减，因此在处取得最大值.又，所以当时，在处取得最小值；当时，在和处同时取得最小只；当时，在处取得最小值.‎ 考点：1.含参函数的单调性；2.含参函数的最值求解.‎ ‎22．设函数 ‎（Ⅰ）若a=，求的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若当≥0时≥0，求a的取值范围 ‎【答案】在，单调增加，在（-1，0）单调减少,‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（I）‎ ‎6分 ‎（II）‎ 令 若 若a>1，则当为减函数，而 从而当 综合得a的取值范围为12分 考点：本小题主要考查利用导数考查函数的单调性和单调性的应用.‎ 点评：导数是研究函数性质是有力工具，利用导数研究函数单调性的前提是要注意函数的定义域，而且解决此类问题一般离不开分类讨论，讨论时要做到不重不漏.‎