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- 2021-06-20 发布
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2.1.3 分层抽样
双基达标 (限时20分钟)
1．某校现有高一学生210人，高二学生270人，高三学生300人，学校学生会用分层抽样的方法从这三个年级的学生中随机抽取几名学生进行问卷调查，如果已知从高一学生中抽取的人数为7，那么从高三学生中抽取的人数应为 ( )．
A．10 B．9 C．8 D．7
解析 ＝，得x＝10.
答案 A
2．为了保证分层抽样时每个个体等可能地被抽取，必须要求 ( )．
A．每层不等可能抽样
B．每层抽取的个体数相等
C．每层抽取的个体可以不一样多，但必须满足抽取ni＝n(i＝1,2，…，k)个个体．(其中k是层数，n是抽取的样本容量，Ni是第i层中个体的个数，N是总体的容量)
D．只要抽取的样本容量一定，每层抽取的个体数没有限制
解析 A不正确．B中由于每层的容量不一定相等，每层抽同样多的个体数，显然从整个总体来看，各层之间的个体被抽取的可能性就不一样了，因此B也不正确．C中对于第i层的每个个体，它被抽到的可能性与层数无关，即对于每个个体来说，被抽取的可能性是相同的，故C正确．D不正确．
答案 C
3．某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品的数量之比依次为3∶4∶7，现在用分层抽样的方法抽出容量为n的样本，样本中A型号产品有15件，那么样本容量n为( )．
A．50 B．60 C．70 D．80
解析 由分层抽样方法得：×n＝15.解得n＝70.
答案 C
4．某农场在三种地上种玉米，其中平地210亩，河沟地120亩，山坡地180亩，
估计产量时要从中抽取17亩作为样本，则平地、河沟地、山坡地应抽取的亩数分别是________．
解析 应抽取的亩数分别为210×＝7,120×＝4,180×＝6.
答案 7,4,6
5．将一个总体分为A、B、C三层，其个体数之比为5∶3∶2.若用分层抽样方法抽取容量为100的样本，则应从C中抽取________个个体．
解析 由题意可设A、B、C中个体数分别为5k,3k,2k，所以C中抽取个体数为×100＝20.
答案 20
6．某市的3个区共有高中学生20 000人，且3个区的高中学生人数之比为2∶3∶5，现要从所有学生中抽取一个容量为200的样本，调查该市高中学生的视力情况，试写出抽样过程．
解 用分层抽样来抽取样本，步骤是：
(1)分层：按区将20 000名高中生分成三层；
(2)确定每层抽取个体的个数．在这3个区抽取的学生数目分别是40、60、100.
(3)在各层分别按随机数法抽取样本；
(4)综合每层抽样，组成样本．
综合提高 (限时25分钟)
7．某单位共有老、中、青职工430人，其中青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍．为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为 ( )．
A．9 B．18 C．27 D．36
解析 设老、中、青职工分别为x人，y人，z人，则
解得由比例可得该单位老年职工共有90人，用分层抽样的比例应抽取18人．
答案 B
8．某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点，公司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务等情况，记这项调查为②.完成①②这两项调查采用的抽样方法依次为 ( )．
A．分层抽样法、系统抽样法
B．分层抽样法、简单随机抽样法
C．系统抽样法、分层抽样法
D．简单随机抽样法、分层抽样法
解析 在①中，销售情况差异较大，应采用分层抽样，在②中，由于个体数量不多，故采用简单随机抽样法．
答案 B
9．某学校有教师300人，其中高级教师90人，中级教师150人，初级教师60人，为了了解教师健康状况，从中抽取40人进行体检．用分层抽样方法抽取高级、中级、初级教师人数分别为________．
解析 抽取比例为＝，故分别抽取人数为90×＝12,150×＝20,60×＝8.
答案 12,20,8
10．一个总体分为A，B两层，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本．已知B层中每个个体被抽到的概率都为，则总体中的个体数为________．
解析 设总体中的个体数为x，则＝⇒x＝120.
答案 120
11．在120个零件中，一级品24个，二级品36个，三级品60个，从中抽取容量为20的样本，分别用三种方法计算总体中每个个体被抽到的可能性．
解 法一 简单随机抽样法：因为总体中的个体数N＝120，样本容量n＝20，故每个个体被抽到的可能性均为.
法二 系统抽样法：将120个零件分组，k＝＝6，即6个零件一组，每组取1个，显然每个个体被抽到的可能性均为.
法三 分层抽样法：一、二、三级品的个数之比为2∶3∶5,20×＝4,20×＝6,20×＝10，故分别从一、二、三级品中抽取4个、6个、10个，每个个体被抽到的可能性分别为、、，即都是.
12．(创新拓展)某校有在校高中生共1600人，其中高一年级学生520人，高二年级学生500人，高三年级学生580人．如果想通过抽查其中的80人来调查学生的消费情况，考虑到不同年级学生的消费情况有明显差别，而同一年级内消费情况差异较小，问应采用怎样的抽样方法？高三年级学生中应抽查多少人？
解 因不同年级的学生消费情况有明显差别，所以应采用分层抽样．因为520∶500∶580
＝26∶25∶29，于是将80分成比例为26∶25∶29的三部分．设三部分各抽个体数分别为26x,25x,29x，由26x＋25x＋29x＝80，得x＝1.所以高三年级学生中应抽查29人．
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