数学理卷·2017届宁夏银川市高三下学期第二次模拟考试（2017 11页

机密★启用前 银川市2017年普通高中教学质量检测 数学(理科)‎ 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，其中第II卷第（22）～（23）题为选考题，其它题为必考题。考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 注意事项：‎ ‎1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。‎ ‎2．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答题时使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。‎ ‎3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效。‎ ‎4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。‎ ‎5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。‎ 第Ⅰ卷（选择题）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求 ‎1．设集合，则 ‎ A． B． C． D． ‎ ‎2．已知复数的实部和虚部相等，且，则 A． B. C. D.‎ ‎3．已知圆，圆，则圆和圆的位置关系是 A．相离 B．外切 C．相交 D．内切 ‎4．某地实行高考改革，考生除参加语文，数学，外语统一考试外，还需从物理，化学，生物，政治，历史，地理六科中选考三科，要求物理，化学，生物三科至少选一科，政治，历史，地理三科至少选一科，则考生共有多少种选考方法 A. B. C. D.‎ ‎5．在等差数列中，已知的等比中项，则数列的前项的和为 A. B. C. D.‎ ‎6．已知是定义在R上的偶函数，且对恒成立，当时，，则 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎7．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形的面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．下图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，其中表示圆内接正多边形的边数，执行此算法输出的圆周率的近似值依次为 ‎ (参考数据：)‎ A．，， B．，， C．，， D．，，‎ 开始 ‎ ‎ 结束 ‎ ‎ 输出 ‎ 是 否 正视图 俯视图 侧视图 ‎2‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎8．一个几何体的三视图如上图所示，则该几何体的体积为 A． B． C． D．‎ ‎9．关于函数下列结论正确的是 A．有最大值，最小值 B．有最大值，最小值 ‎ C．有最大值，最小值 D．有最大值，最小值 ‎10．点A，B，C，D在同一个球的球面上，AB=BC= ，∠ABC=90°，若四面体ABCD体积的最大值为3，则这个球的表面积为 A． B． C． D．‎ ‎11．过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，且，则直线的斜率为 ‎ A． B． C．或 D．‎ ‎12．若函数在区间上的值域为，则等于 A． B． C． D．‎ ‎ 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）‎ ‎ 本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答.‎ 二、填空题:本大题共4小题，每小题5分 ‎13．已知矩形，，，点为的中点，则 ．‎ ‎14．为了活跃学生课余生活，我校高三年级部计划使用不超过元的资金购买单价分别为元、元的排球和篮球。根据需要，排球至少买个，篮球至少买个，并且排球的数量不得超过篮球数量的倍，则能买排球和篮球的个数之和的最大值是 ．‎ ‎15．学校艺术节对四件参赛作品只评一件一等奖，在评奖揭晓前，甲，乙，丙，丁四位同学对这四件参赛作品预测如下：‎ 甲说：“是或作品获得一等奖”； 乙说：“作品获得一等奖”；‎ 丙说：“两件作品未获得一等奖”； 丁说：“是作品获得一等奖”．‎ 评奖揭晓后，发现这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是         ．‎ ‎16．我们把满足：的数列叫做牛顿数列.已知函数，数列为牛顿数列，设，已知则 ．‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ‎17．（本小题满分12分） ‎ ‎ 已知是直角斜边上一点,．‎ ‎（I）若,求角的大小；‎ ‎（II）若,且,求的长．‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 某单位名员工参加“我爱阅读”活动，他们的年龄在25岁至50岁之间，按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示．‎ ‎（I）现要从年龄低于40岁的员工中用分层抽样的方法抽取12人，则年龄在第组的员工人数分别是多少？‎ ‎（II）为了交流读书心得，现从上述人中再随机抽取人发言，设人中年龄在的人数为，求的数学期望；‎ ‎（III）为了估计该单位员工的阅读倾向，现对从该单位所有员工中按性别比例抽取的40人做“是否喜欢阅读国学类书籍”进行调查，调查结果如下表所示：（单位：人）‎ 喜欢阅读国学类 ‎ ‎ 不喜欢阅读国学类 ‎ 合计 ‎ 男 ‎ 14‎ ‎ 4‎ ‎ 18‎ ‎ 女 ‎ 8‎ ‎ 14‎ ‎ 22‎ ‎ 合计 ‎ 22‎ ‎ 18‎ ‎ 40‎ ‎ ‎ 根据表中数据，我们能否有的把握认为该单位员工是否喜欢阅读国学类书籍和性别有关系？‎ 附：，其中 ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ ‎ 如图，菱形的边长为，，与交于点．将菱形沿对角线折起，得到三棱锥，点是棱的中点，．‎ ‎（I）求证：平面⊥平面；‎ ‎（II）求二面角的余弦值．‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 已知点分别为椭圆的左，右顶点，点，直线交于点，且是等腰直角三角形．‎ ‎（I）求椭圆的方程；‎ ‎（II）设过点的动直线与相交于两点，当坐标原点位于以 为直径的圆外时，求直线斜率的取值范围．‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ ‎ 已知函数，曲线在点处的切线与直线垂直（其中为自然对数的底数）．‎ ‎（I）求的解析式及单调递减区间；‎ ‎（II）若存在 ，使函数成立，求实数的取值范围．‎ 请考生在第22, 23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时请在答题卡涂上题号.‎ ‎22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，已知圆： (为参数)，点在直线：上，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．‎ ‎（I）求圆和直线的极坐标方程；‎ ‎（II）射线交圆于，点在射线上，且满足，求点轨迹的极坐标方程．‎ ‎23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 ‎（I）解不等式: ；‎ ‎（II）设实数满足，求证：．‎ 银川市2017年普通高中教学质量检测 数学(理科)答案 一、选择题（每题5分，共60分）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 C A B C D B A A C D C D 二、填空题（每题5分，共20分）‎ ‎13．-3 14． 15. 16．8 ‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ‎17．（本小题满分12分） ‎ 解：（I）在中,根据正弦定理,有. ‎ 因为,所以.‎ 又,所以. ‎ 于是,所以. （6分）‎ ‎（II）设，则 ‎ 于是 ‎ 在中，由余弦定理得，，即 ‎ ，解得 ‎ 故 （12分）‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）由频率分布直方图得前三组的人数分别为：，，‎ 所以前三组抽取的人数分别为，， 3分 ‎（II）由上可知，的所有可能取值为，其概率分别为 ‎ ‎ ‎ 7分 所以， 9分 ‎（Ⅲ）假设：“是否喜欢看国学类书籍和性别无关系”，根据表中数据，‎ 求得的观测值， 11分 查表得，从而能有的把握认为该单位员工是否喜欢阅读国 学类书籍和性别有关系 12分 ‎19．（本小题满分12分） ‎ 解：（Ⅰ）证明：是菱形，‎ ‎ , ‎ 中，, ‎ 又是中点，‎ ‎ ‎ 面面 ‎ 又 平面 平面⊥平面………………6分 ‎（Ⅱ）由题意， , 又由（Ⅰ）知 建立如图所示空间直角坐标系，由条件易知 ‎ 故 设平面的法向量，则 ‎ 即 令，则 ‎ 所以，‎ ‎ 由条件易证平面，故取其法向量为 ‎ 所以，‎ 由图知二面角为锐二面角，故其余弦值为 12分 ‎20．（本小题满分12分）‎ 解：（1）由题意题意是等腰直角三角形，所以，‎ 设，由，解得 代入椭圆方程，解得，‎ ‎∴椭圆方程为；‎ ‎（2）由题意可知，直线的斜率存在，设其方程为，‎ 由，整理得：，‎ 由直线与有两个不同的交点，则△＞0，‎ 即，解得：，‎ 由韦达定理可知：，，‎ 由坐标原点位于以为直径的圆外，‎ 则•＞0，即，‎ 即 ‎，‎ 解得：，‎ 综上可知：，解得：或 直线斜率的取值范围（﹣2，﹣）∪（，2）．‎ ‎21、（本小题满分12分）‎ 解：（I）由及得函数的定义域为 ‎ 由题意 解得 故， 此时，‎ 由得 所以函数的单调递减区间是 ‎（II）因为，‎ 由已知，若存在使函数成立，‎ 则只需满足当时，即可．‎ 又，‎ 则，‎ 若，则在上恒成立，‎ 所以在上单调递增，‎ ‎，‎ ‎∴，又∵，∴．‎ 若，则在上单调递减，在上单调递增，‎ ‎22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 解：（Ⅰ）圆的极坐标方程，直线的极坐标方程＝. ………………5分 ‎ (Ⅱ)设的极坐标分别为，因为 又因为，即 ‎， ………………10分 ‎23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 ‎(Ⅰ)当时，原不等式可化为，解得，所以不存在；‎ 当时，原不等式可化为，解得，所以；‎ 当时，原不等式可化为，解得，所以 综上，原不等式的解集为 ‎(Ⅱ)因为 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 所以