数学理卷·2018届湖北省重点高中联考协作体高三上学期期中考试（2017 13页

‎2017年秋季湖北省重点高中联考协作体期中考试 高三数学理科试卷 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，，则等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.设，，则是成立的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎3. 若变量满足约束条件，则的最大值为（ ）‎ A．-7 B．-1 C．1 D．2 ‎ ‎4.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”.则该人第五天走的路程为（ ）‎ A．3里 B．6里 C.12里 D．24里 ‎5.函数的大致图象为（ ）‎ ‎6.已知为奇函数，函数与的图象关于直线对称，若则（ ）‎ A．-2 B．2 C. -1 D．4‎ ‎7.抛物线（）焦点为，点在轴上且在点右侧，线段的垂直平分线与抛物线在第一象限的交点为，直线的倾斜角为，为坐标原点，则直线的斜率为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎8.已知，，下列不等式成立的是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎9.抛物线把圆盘分成两个部分，则这两部分的面积之比为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎10.定义在上的函数满足：恒成立，则下列不等式中成立的是（ ） ‎ A． B． ‎ C. D．‎ ‎11. 为的重心，点为内部（含边界）上任一点，分别为上的三等分点（靠近点），（），则的最大值是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎12.定义在上的奇函数满足，当时，，则函数的零点个数是（ ）‎ A．4 B．5 C. 6 D．7‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.已知，，则的值为 ．‎ ‎14.已知双曲线（）的一条渐近线过点，且双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为 ．‎ ‎15. ，则不等式的解集为 ．‎ ‎16.已知，集合，集合所有非空子集的最小元素之和为，则使得的最小正整数的值为 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 已知是各项均为正数的等差数列，公差为1，对任意的，是和的等比中项，设，.‎ ‎（1）求证：数列是等差数列；‎ ‎（2）若，（），求证：对任意正整数，都有 ‎18. 已知向量，，函数.‎ ‎（1）求函数的最小正周期及单调递增区间；‎ ‎（2）在中，三内角的对边分别，已知函数的图象经过点 ‎，三边成等差数列，且，求的值.‎ ‎19. 某公司为获得较好的收益，每年要投入一定资金用于广告促销，经调查，每年投入广告费（百万元），可增加销售额约为（百万元）（）‎ ‎（1）若该公司当年的广告费控制在4百万元之内，则应该设入多少广告费，才能使该公司获得的收益最大？‎ ‎（2）现该公司准备共投入6百万元，分别用于广告促销售和技术改造，经预测，每设入技术改造费（百万元），可增加销售额约为（百万元），请设计一种资金分配方案，使该公司由此获得最大收益.（注：收益销售额成本）‎ ‎20. 在平面直角坐标系中，已知圆，椭圆，为椭圆的右顶点，过原点且异于轴的直线与椭圆交于两点，在轴的上方，直线与圆的另一交点为，直线与圆的另一交点为，‎ ‎（1）若，求直线的斜率；‎ ‎（2）设与的面积分别为，求的最大值.‎ ‎21. 已知，其中为实常数，曲线在点处的切线的纵截距为，（其中是无理数2.71828…）‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）不等式对恒成立，求实数的最大值.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，曲线，（为参数，），其中，在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线，曲线 ‎（1）求与交点的直角坐标；‎ ‎（2）若与相交于点，与相交于点，求的最大值.‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 设函数 ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）若存在使不等式成立，求实数的取值范围.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5:BADCB 6-10: DADBA 11、12：CC 二、填空题 ‎13. -3 14. 15. 16. 12‎ 三、解答题 ‎17. （Ⅰ），，所以 ‎，‎ 所以，即数列是等差数列.‎ ‎（Ⅱ）若，则，‎ ‎18. （Ⅰ）‎ 其最小正周期为，单调递增区间为 ‎（Ⅱ）由题意，，又，解得，‎ 成等差数列，，由余弦定理，‎ 所以，简化得 ‎，所以 ‎19. （Ⅰ）广告费，由此产生的收益 当时，最大，也即该公司应该投入3百万元用于广告宣传，所获得的收益最大.‎ ‎（Ⅱ）设6百万元投资中有百万用于技术改造，百万用于广告宣传，则公司由此产生的收益为，‎ 对求导数，，当时，最大，‎ 所以该公司投资3百万元用于广告促销，3百万元用于技术改造，可以获得最大有益.‎ ‎20. Ⅰ）设直线的方程为 与椭圆方程联立得 求得点的横坐标，的纵标 与圆方程联立得，‎ 求得点的横坐标，的纵标 由得，又，解得 ‎（Ⅱ）由与关于原点对称得的坐标：‎ ‎，，的斜率为 ‎（也可以另外证明）‎ ‎，同理 当，即时取等号，所以的最大值为.‎ ‎21. （Ⅰ），，‎ 曲线在处的切线方程为 时，‎ 解得.‎ ‎（Ⅱ）‎ 当时，得到；‎ 下证当时，不等式对恒成立 设，则 设，，，‎ ‎，时，，时，‎ 所以时，，‎ 时，，时，，所以，结论成立；‎ 综述：实数的最大值为 ‎22. （Ⅰ）曲线的直角坐标方程为，‎ 曲线的直角坐标方程为．‎ 联立解得或所以与交点的直角坐标为和．（交点也可以直接用极坐标联立解）‎ ‎（Ⅱ）曲线的极坐标方程为，其中．因此得到极坐标为，的极坐标为．‎ 所以，当时，取得最大值，最大值为．‎ ‎23. （Ⅰ）‎ 即不等式的解集为；‎ ‎（Ⅱ）‎ ‎，当时取得等号，也即的最小值为3，所求实数的取值范围为 ‎2017年秋季湖北省重点高中联考协作体期中考试 高三理科数学参考答案 选择题：BADCB DADBA CC 填空题：13.-3；14. ；15. ；16.12‎ 解答题：‎ ‎17.（Ⅰ），，所以 ‎，……3分 所以，即数列是等差数列.……6分 ‎（Ⅱ）若，则，‎ ‎……9分 ‎……12分 ‎18. （Ⅰ）‎ ‎……3分 其最小正周期为，单调递增区间为……6分 ‎（Ⅱ）由题意，，又，解得，……8分 成等差数列，，由余弦定理，‎ 所以，简化得……10分 ‎，所以……12分 ‎19. （Ⅰ）广告费，由此产生的收益 当时，最大，也即该公司应该投入3百万元用于广告宣传，所获得的收益最大.……5分 ‎（Ⅱ）设6百万元投资中有百万用于技术改造，百万用于广告宣传，则公司由此产生的收益为，……9分 对求导数，，当时，最大，‎ 所以该公司投资3百万元用于广告促销，3百万元用于技术改造，可以获得最大有益.……12分 ‎20.（Ⅰ）设直线的方程为 与椭圆方程联立得 求得点的横坐标，的纵标……2分 与圆方程联立得，‎ 求得点的横坐标，的纵标……4分 由得，又，解得……6分 ‎（Ⅱ）由与关于原点对称得的坐标：‎ ‎，，的斜率为……8分 ‎（也可以另外证明）‎ ‎，同理 ‎……10分 当，即时取等号，所以的最大值为.……12分 ‎21.（Ⅰ），，‎ 曲线在处的切线方程为……2分 时，‎ 解得.……4分 ‎（Ⅱ）‎ ‎……7分 当时，得到；‎ 下证当时，不等式对恒成立……9分 设，则 ‎……10分 设，，，‎ ‎，时，，时，‎ 所以时，，‎ 时，，时，，所以，结论成立；‎ 综述：实数的最大值为……12分 ‎22.（Ⅰ）曲线的直角坐标方程为，……1分曲线的直角坐标方程为．……2分联立解得或所以与交点的直角坐标为和．（交点也可以直接用极坐标联立解）……5分 ‎（Ⅱ）曲线的极坐标方程为，其中．因此得到极坐标为，的极坐标为．……7分 所以，当时，取得最大值，最大值为．……10分 ‎23.（Ⅰ）‎ 即不等式的解集为；……5分 ‎（Ⅱ）‎ ‎，当时取得等号，也即的最小值为3，所求实数的取值范围为……10分 ‎ ‎