中学生标准学术能力诊断性测试2020届高三5月测试数学（文）试题（一卷） 22页

中学生标准学术能力诊断性测试2020年5月测试 文科数学试卷（一卷）‎ 本试卷共150分，考试时间120分钟.‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1.已知集合，那么（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎，所以，选A.‎ ‎2.已知复数满足（其中为虚数单位），则的虚部为（ ）‎ A. B. ‎4 ‎C. 1 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．‎ ‎【详解】由，得．‎ 复数的虚部是．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．‎ ‎3.已知实数，满足约束条件，则最大值为（ ）‎ A. 2 B. ‎6 ‎C. 8 D. 12‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，表示直线在轴上的截距，只需求出可行域直线在轴上的截距最大值即可．‎ 详解】先根据约束条件画出可行域，‎ 作直线，讲直线平移，当过点时，取得最大值 故选：C．‎ ‎【点睛】本题主要考查线性规划问题，以及利用几何意义求最值，属于基础题．‎ ‎4.已知实数，满足，，则（ ）‎ A. 2 B. ‎3 ‎C. 5 D. 6‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，则，，再利用即可求出的值，进而求出，的值．‎ ‎【详解】设，则，，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，，‎ ‎∴‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题主要考查了对数式与指数式的互化，以及对数的运算性质，是基础题．‎ ‎5.已知向量，满足，且，则向量与的夹角为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据即可得出，从而得出，进而得出，根据向量夹角的范围即可求出夹角．‎ ‎【详解】，∴‎ ‎∴‎ 设向量与的夹角为 ‎∴‎ ‎∵‎ ‎∴‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】考查向量垂直的充要条件，以及向量数量积的运算，向量夹角的余弦公式，属于中档题．‎ ‎6.已知函数，则函数的单调递增区间为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求的导数，由，即可求得答案．‎ ‎【详解】，‎ 令得：，‎ ‎．‎ 函数的单调递增区间为．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，易错点在于忽视函数的定义域，属于中档题．‎ ‎7.数列的前项和，若，则（ ）‎ A. 6 B. ‎8 ‎C. 9 D. 10‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 当时，可得，当时，，验证时是否适合可得通项公式，代入通项公式求解可得结果．‎ ‎【详解】当时，，‎ 当时，，‎ 当时，上式也适合，‎ 数列的通项公式为：‎ ‎∴‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查等差数列的前项和公式和通项公式的关系，属中档题．‎ ‎8.已知，，“且”是“”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出不等式组对应的平面区域，利用区域关系结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．‎ ‎【详解】且等价于 等价于 作出两个不等式组对应的平面区域都是以，，，为顶点的正方形 ‎∴“且”是“”的充要条件，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合充分条件和必要条件结合平面区域的关系是解决本题的关键．‎ ‎9.已知实数，则函数的图象一定不可能的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求函数的导数，判断的正负情况，即可得出答案.‎ ‎【详解】∵‎ ‎∴‎ ‎∴，‎ 观察各选项的图象，判断的正负情况，得：‎ 观察A选项的图象，得，，故 ‎∴，，‎ 故A选项的图象不符合 观察B选项的图象，得，，故 ‎∴，，‎ 故B选项的图象符合 观察C选项的图象，得，，故 ‎∴，，‎ 故C选项的图象符合 观察D选项的图象，得，，故 ‎∴，，‎ 故D选项的图象符合 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查了函数的图象的识别，利用导数判断函数的性质，属于中档题．‎ ‎10.已知，，则方程组的解的个数（ ）‎ A. 0 B. ‎1 ‎C. 2 D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由的几何意义知图像是双曲线，化简得，故题目等价于求解直线与双曲线的交点个数，联立方程组求解即可.‎ 详解】设，，‎ 则等价于 ‎∴动点的轨迹是以，为焦点，以2为实轴长的双曲线 ‎∴，，‎ ‎∴双曲线的标准方差为 ‎∴题目等价于求解直线与双曲线的交点个数 联立，求解得 ‎∵方程组只有一组解，故直线与双曲线只有一个交点 故选：B.‎ ‎【点睛】本题主要考查双曲线和直线的位置关系，根据定义判断得到曲线为双曲线是解题的关键.‎ ‎11.已知中，角，，所对的边分别是，，．若，且，则（ ）‎ A. B. C. 或 D. 不存在 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意，利用余弦定理和正弦定理，化简求得，再利用降幂公式与和差化积，以及同角的三角函数关系，求得的值．‎ ‎【详解】中，，；‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 即；‎ ‎，‎ 又，，‎ ‎，‎ 化简得，解得或 ‎∵，‎ ‎∴．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查了三角恒等变换应用问题，也考查了正弦、余弦定理的应用问题，是中档题．‎ ‎12.已知，，，若三次函数有三个零点，，，且满足，，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据条件建立方程求出，的值，然后回代，求出的范围，结合零点式求出，，的等式关系，结合不等式的性质进行求解即可．‎ ‎【详解】∵，‎ ‎，即，‎ 得，代入得，‎ ‎∵，‎ ‎，解得，‎ 设三次函数的零点式为，‎ 比较系数得，，‎ 故 故选：D.‎ ‎【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，利用条件求出参数，，利用函数零点式以及不等式的关系进行转化是解决本题的关键．‎ 二、填空题：‎ ‎13.已知和是椭圆的两个焦点，则______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出椭圆的，，再由，即可得到所求焦距．‎ ‎【详解】椭圆的，，‎ ‎∴，‎ 即有．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的方程，主要考查椭圆的焦距的求法，考查运算能力，属于基础题．‎ ‎14.将1名同学和2名老师随机地排成一排，则该名学生恰好在2名老师中间的概率为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 用列举法计算总的排法和该名学生恰好在2名老师中间的排法，由概率公式可得．‎ ‎【详解】设学生用表示，老师用、表示 ‎1名同学和2名老师随机地排成一排，总的排法有：‎ ‎，，，，，，共6种 其中该名学生恰好在2名老师中间的有，共2种 所以该名学生恰好在2名老师中间的概率为.‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题主要考查古典概型的计算，属于基础题．‎ ‎15.定义在上的偶函数满足，则______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将等式中的替换为，两式相减得，结合是偶函数，得到函数的周期，所以，令代入求解即可.‎ ‎【详解】∵……①‎ 将①中的替换为，得……②‎ ‎①②得 又∵是偶函数，故 ‎∴‎ ‎∴是周期函数，‎ ‎∴‎ ‎①式中令，得 ‎∴，整理得 解得 ‎∴‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和周期性，属于中档题.‎ ‎16.已知中，，，．如图，点为斜边上一个动点，将沿翻折，使得平面平面．当______时，取到最小值．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，作或的延长线于点，作或的延长线于点，求出、、，表示出，利用三角函数性质求最值，取最小值时，，在中利用正弦定理可求的值.‎ ‎【详解】设，，作或的延长线于点，作或的延长线于点，则，‎ ‎，，，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴当，即时，‎ 在中，，‎ 在中，由正弦定理得 即 ‎∴.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题主要考查空间中的线段长计算，考查正弦定理得应用，考查学生的计算能力，属于难题.‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每道试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．‎ ‎（一）必考题：‎ ‎17.如图，点是锐角的终边与单位圆的交点，逆时针旋转得，逆时针旋转得，…，逆时针旋转得．‎ ‎（1）若的坐标为，求点的横坐标；‎ ‎（2）若点的横坐标为，求的值．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意利用任意角的三角函数的定义，求得、的值，再利用两角和的余弦公式即可求解；‎ ‎（2）根据得的横坐标的值，化简得，利用同角三角函数关系和二倍角公式可求的值．‎ ‎【详解】（1）因为点，根据三角函数的定义可得，‎ 根据题意可知点的横坐标为 ‎（2）根据题意可知点的横坐标为 所以 又因为，所以，所以 所以．‎ ‎【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，二倍角公式、诱导公式、两角和的余弦公式，属于中档题．‎ ‎18.某高中某班共有40个学生，将学生的身高分成4组：平频率/组距，，，进行统计，作成如图所示的频率分布直方图．‎ ‎（1）求频率分布直方图中的值和身高在内的人数；‎ ‎（2）求这40个学生平均身高估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）（精确到0.01）．‎ ‎【答案】（1）0.0450；18人，（2）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据频率分布直方图和频率的定义可得的值，计算身高在内的频率，由此能估计身高在内的人数；‎ ‎（2）同一组中的数据用该组区间的中点值为代表，直接计算可得平均身高的估计值.‎ ‎【详解】（1）由图可得，，三组的频率分别为0.1250，0.3000，0.1250‎ 所以 所以身高在内的人数为：（人）‎ ‎（2）这40个学生平均身高的估计值为 所以这40个学生平均身高的估计值为．‎ ‎【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用以及平均数的计算问题，属于基础题.‎ ‎19.如图，四棱锥中，是边长为2的等边三角形．梯形满足：，∥，．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若，求点到平面的距离．‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）证明平面，由平面，从而得到；‎ ‎（2）利用等体积法计算即可得结果.‎ ‎【详解】（1）取的中点，连接，，‎ 因为为边长为2的等边三角形，‎ 所以，‎ 因为，∥，‎ 所以四边形为平行四边形，‎ 又因为，所以．‎ 因为，所以平面，‎ 所以；‎ ‎（2）设点到平面的距离为，‎ 因为，，，所以，‎ 又因为，所以平面．‎ 由可得，‎ ‎，‎ 所以．‎ ‎【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理和点到平面的距离计算，利用等体积法是解决点到平面的距离的关键.‎ ‎20.如图，已知抛物线：，过直线上一点作直线交抛物线于，两点，且点为中点、作直线交轴于点．‎ ‎（1）求点的坐标；‎ ‎（2）求面积的最大值．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设点，，中点，直线的斜率为，利用点差法得，写出直线的方程可得的坐标；‎ ‎（2）设出直线的方程，与抛物线方程联立，利用弦长公式得，利用点到直线的距离公式得点到直线的距离，进而表示出的面积，利用基本不等式确定三角形面积的最大值．‎ ‎【详解】设点，，中点，‎ 直线的斜率为，（斜率显然存在且不为0）．‎ 由可得，‎ 所以，故，‎ ‎（1）直线：，即，解得点．‎ ‎（2）因为直线经过点，直线的斜率为，‎ 所以可得直线的方程是：，‎ 由联立可得，‎ 所以，‎ 所以，‎ 又因为点到直线的距离为，‎ 所以的面积为：‎ 当时，的面积取到最大值．‎ ‎【点睛】本题考查抛物线的性质、直线与抛物线的位置关系的应用，注意韦达定理、弦长公式、不等式等知识的灵活运用，考查运用解析几何的方法解决数学问题的能力，属于中档题．‎ ‎21.已知函数．‎ ‎（1）求在处的切线方程：‎ ‎（2）已知实数时，求证：函数的图象与直线：有3个交点．‎ ‎【答案】（1）（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出原函数的导函数，可得，再求出切点为（1，0），利用直线方程的点斜式可得函数的图象在处的切线方程；‎ ‎（2）函数的图象与直线交点的个数等价于函数的零点个数，通过导数判断函数的单调性，求函数的最值同0进行比较，得到结果.‎ ‎【详解】（1）因为，所以，‎ 所以，‎ 又因为，所以在处的切线方程；‎ ‎（2）证明：当时，函数图象与直线交点的个数等价于函数的零点个数，‎ 因为，，‎ 设，‎ 因为二次函数在时，，，‎ 所以存在，，使得，，‎ 所以在单调递增，单调递减，单调递增．‎ 因为，所以，，‎ 因此在存在一个零点；‎ 又因为当，，‎ 所以在存在一个零点；‎ 当时，，‎ 所以在存在一个零点；‎ 所以，函数的图象与直线：有3个交点．‎ ‎【点睛】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查运用导数研究函数性质的方法，考查运算能力，考查函数与方程的数学思想方法和分析问题、解决问题的能力.‎ ‎（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．‎ ‎[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]‎ ‎22.在极坐标系中，已知曲线：，过点引倾斜角为的直线，交曲线于，两点．‎ ‎（1）求曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）若直线分别交直线于，两点，且、、成等比数列，求的值．‎ ‎【答案】（1）；（2）或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）曲线的极坐标方程转化为，由此能求出曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）写出直线的参数方程，将直线的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，得，由此韦达定理、等比数列的性质，结合已知条件能求出 的值．‎ ‎【详解】（1）∵曲线：‎ ‎∴‎ ‎∴曲线的直角坐标方程为，化简得 ‎（2）直线的参数方程为 直线的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，整理得：‎ 设，两点对应的参数分别为，，则 ‎，‎ ‎∴‎ 设直线交直线于点，直线交直线于点，‎ ‎∴，，（）‎ ‎∵、、成等比数列 ‎∴‎ 代入数据得： ‎ 解得：或.‎ ‎【点睛】本题考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查等比数列的性质，考查题目转换能力和运算求解能力，是中档题.‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎23.已知实数，满足：．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若对任意的，，恒成立，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用基本不等式和绝对值的三角不等式证明；‎ ‎（2）利用基本不等式求出的最小值，得出，再讨论的范围解出.‎ ‎【详解】（1）证明：因为，‎ 若，不等式显然成立;．‎ 若，则，‎ 所以，当，且取到等号；‎ 综上．‎ ‎（2）因为，‎ 所以，‎ 当时，，解得，∴；‎ 当时，，∴；‎ 当时，，解得，∴.‎ 综上，解得.‎ ‎【点睛】本题考查 了不等式的证明，绝对值不等式的解法，绝对值的三角不等式和基本不等式的应用，属于中档题.‎