高中数学必修2第一章 章末检测 8页

章末检测 一、选择题 ‎1．一几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是(　　)‎ 答案　B 解析　该几何体是组合体，上面的几何体是一个五面体，下面是一个长方体，且五面体的一个面即为长方体的一个面，五面体最上面的棱的两端点在底面的投影距左右两边距离相等，因此选B.‎ ‎2．下列说法中正确的是(　　)‎ A．有两个面平行，其余各面都是三角形的几何体叫棱柱 B．有两个面平行，其余各面都是梯形的几何体叫棱台 C．有一个面是多边形，其余各面都是五边形的几何体叫棱锥 D．棱台各侧棱的延长线交于一点 答案　D 解析　A不正确，棱柱的各个侧面为四边形；B不正确，棱台是由平行于棱锥底面的平面截棱锥而得到的，其侧棱的延长线必交于一点，故D正确．C不正确，不符合棱锥的定义．‎ ‎3．下列几何体中，正视图、侧视图、俯视图都相同的几何体的序号是(　　)‎ A．(1)(2) B．(2)(3)‎ C．(3)(4) D．(1)(4)‎ 答案　D 解析　正方体的三视图都相同都是正方形，球的三视图都相同都为圆面．‎ ‎4．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是(　　)‎ 答案　D 解析　先观察俯视图，再结合正视图和侧视图还原为空间几何体．由俯视图是圆环可排除A，B，C，进一步将已知三视图还原为几何体，可得选项D.‎ ‎5. 如图所示的正方体中，M、N分别是AA1、CC1的中点，作四边形D1MBN，则四边形D1MBN在正方体各个面上的正投影图形中，不可能出现的是(　　)‎ 答案　D 解析　四边形D1MBN在上下底面的正投影为A；在前后面上的正投影为B；在左右面上的正投影为C；故答案为D.‎ ‎6．已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱(底面是正方形的直棱柱)的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为(　　)‎ A. B．4π C．2π D. 答案　D 解析　正四棱柱的外接球的球心为上下底面的中心连线的中点，‎ 所以球的半径r＝ ＝1，‎ 球的体积V＝r3＝.故选D.‎ ‎7. 如图，△O′A′B′是水平放置的△OAB的直观图，则△OAB的面积为(　　)‎ A．6 B．3 C．6 D．12‎ 答案　D 解析　由斜二测画法规则可知，△OAB为直角三角形，且两直角边长分别为4和6，故面积为12.‎ ‎8．一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为(　　)‎ A．21＋ B．18＋ C．21 D．18‎ 答案　A 解析　由几何体的三视图可知，该几何体的直观图如图所示．‎ 因此该几何体的表面积为6×(4－)＋2××()2＝21＋.故选A.‎ ‎9．已知某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是(　　)‎ A．108 cm3 B．100 cm3 C．92 cm3 D．84 cm3‎ 答案　B 解析　此几何体为一个长方体ABCDA1B1C1D1被截去了一个三棱锥ADEF，如图所示，‎ 其中这个长方体的长、宽、高分别为6、3、6，故其体积为6×3×6＝108(cm3)．三棱锥的三条棱AE、AF、AD的长分别为4、4、3，故其体积为××4＝8(cm3)，所以所求几何体的体积为108－8＝100(cm3)．‎ ‎10．已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC＝2，则此棱锥的体积为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　A 解析　利用三棱锥的体积变换求解．由于三棱锥S－ABC与三棱锥O－ABC底面都是△ABC，O是SC的中点，因此三棱锥S－ABC的高是三棱锥O－ABC高的2倍，所以三棱锥S－ABC的体积也是三棱锥O－ABC体积的2倍．‎ 在三棱锥O－ABC中，其棱长都是1，如图所示，‎ S△ABC＝×AB2＝，‎ 高OD＝ ＝，‎ ‎∴VS－ABC＝2VOABC＝2×××＝.‎ 二、填空题 ‎11．底面直径和高都是4 cm的圆柱的侧面积为________cm2.‎ 答案　16π 解析　∵圆柱的底面半径为r＝×4＝2(cm)．‎ ‎∴S侧＝2π×2×4＝16π(cm2)．‎ ‎12．设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2.若它们的侧面积相等，且＝，则的值是________．‎ 答案　 解析　设两个圆柱的底面半径和高分别为r1，r2和h1，h2，‎ 由＝，得＝，则＝.‎ 由圆柱的侧面积相等，得2πr1h1＝2πr2h2，‎ 即r1h1＝r2h2，所以＝＝＝.‎ ‎13．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(　　)‎ A．12 B．18‎ C．24 D．30‎ 答案　C 解析　由俯视图可以判断该几何体的底面为直角三角形，由正视图和侧视图可以判断该几何体是由直三棱柱(侧棱与底面垂直的棱柱)截取得到的．在长方体中分析还原，如图(1)所示，故该几何体的直观图如图(2)所示．在图(1)中，V棱柱ABC－A1B1C1＝S△ABC·AA1＝×4×3×5＝30，V棱锥P－A1B1C1＝S△A1B1C1·PB1＝××4×3×3＝6.故几何体ABC－PA1C1的体积为30－6＝24.故选C.‎ ‎14．已知正四棱锥OABCD的体积为，底面边长为，则以O为球心，OA为半径的球的表面积为________．‎ 答案　24π 解析　V四棱锥OABCD＝××h＝，得h＝，‎ ‎∴OA2＝h2＋2＝＋＝6.‎ ‎∴S球＝4πOA2＝24π.‎ 三、解答题 ‎15．如图所示，四棱锥VABCD的底面为边长等于2 cm的正方形，顶点V与底面正方形中心的连线为棱锥的高，侧棱长VC＝4 cm，求这个正四棱锥的体积．‎ 解　如图，连接AC、BD相交于点O，连接VO，‎ ‎∵AB＝BC＝2 cm，‎ 在正方形ABCD中，‎ 求得CO＝ cm，‎ 又在直角三角形VOC中，‎ 求得VO＝ cm，‎ ‎∴VVABCD＝SABCD·VO＝×4×＝(cm3)．‎ 故这个正四棱锥的体积为 cm3.‎ ‎16．如图，正方体ABCDA′B′C′D′的棱长为a，连接A′C′，A′D，A′B，BD，‎ BC′，C′D，得到一个三棱锥．求：‎ ‎(1)三棱锥A′BC′D的表面积与正方体表面积的比值；‎ ‎(2)三棱锥A′BC′D的体积．‎ 解　(1)∵ABCDA′B′C′D′是正方体，‎ ‎∴六个面都是正方形，‎ ‎∴A′C′＝A′B＝A′D＝BC′＝BD＝C′D＝a，‎ ‎∴S三棱锥A′－BC′D＝4××(a)2＝2a2，S正方体＝6a2，‎ ‎∴＝.‎ ‎(2)显然，三棱锥A′ABD、C′BCD、DA′D′C′、BA′B′C′是完全一样的，‎ ‎∴V三棱锥A′BC′D＝V正方体－4V三棱锥A′ABD ‎＝a3－4××a2×a＝a3.‎ ‎17．如果一个几何体的正视图与侧视图都是全等的长方形，边长分别是4 cm与2 cm，如图所示，俯视图是一个边长为4 cm的正方形．‎ ‎(1)求该几何体的全面积；‎ ‎(2)求该几何体的外接球的体积．‎ 解　(1)由题意可知，该几何体是长方体，‎ 底面是正方形，边长是4，高是2，‎ 因此该几何体的全面积是：2×4×4＋4×4×2＝64(cm2)，即几何体的全面积是64 cm2.‎ ‎(2)由长方体与球的性质可得，长方体的体对角线是球的直径，记长方体的体对角线为d，球的半径是r，‎ d＝＝＝6(cm)，‎ 所以球的半径为r＝3(cm)．‎ 因此球的体积V＝πr3＝×27π＝36π(cm3)，‎ 所以外接球的体积是36π cm3.‎ ‎18. 如图所示，有一块扇形铁皮OAB，∠AOB＝60°，OA＝72 cm，要剪下来一个扇形环ABCD，作圆台形容器的侧面，并且余下的扇形OCD内剪下一块与其相切的圆形使它恰好作圆台形容器的下底面(大底面)．‎ 试求：(1)AD的长；‎ ‎(2)容器的容积．‎ 解　(1)设圆台上、下底面半径分别为r、R，AD＝x，‎ 则OD＝72－x，由题意得 ，∴.即AD应取36 cm.‎ ‎(2)∵2πr＝·OD＝·36，∴r＝6 cm，‎ 圆台的高h＝＝＝6.‎ ‎∴V＝πh(R2＋Rr＋r2)＝π·6·(122＋12×6＋62)＝504π(cm3)．‎ 即容器的容积为504πcm3.‎