四川省泸县第二中学2019届高三三诊模拟数学（文）试题 10页

四川省泸县第二中学高2019届三诊模拟考试 数学（文史）试题 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．若集合，集合，则 ‎ A． B． C． D．‎ ‎2．已知复数（为虚数单位），那么的共轭复数为 ‎ A． B． C． D．‎ ‎3．等差数列中，，则的前9项和等于 ‎ A． B．27 C．18 D．‎ ‎4.已知集合，那么“”是“”的 ‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 ‎ C. 充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎5．已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，且双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为 ‎ A． B． ‎ ‎ C． D．‎ ‎6．设函数，则下列结论错误的是 ‎ A．的一个周期为 B．的图形关于直线对称 C．的一个零点为 D．在区间上单调递减 ‎7.执行如图所示的程序框图，若输入的值为1，则输出 A． B． C. D．‎ ‎8.一个几何体的三视图如图，则该几何体的表面积为 ‎ A． ‎ B． C. D．‎ ‎9.在中，角，，所对的边分别为，，，已知，则角的大小为 ‎ A． B． C． D． ‎ ‎10. 已知三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，且，则此三棱锥的外接球的体积为 ‎ A． B． C. D．‎ ‎11.定义在上的偶函数（其中为自然对数的底），记，，，则，，的大小关系是 ‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知斜率为的直线过抛物线的焦点，且与该抛物线交于，两点，若线段的中点的纵坐标为，则该抛物线的准线方程为 A． B． C． D． ‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．已知函数，则曲线在点处切线的倾斜角的余弦值为 ．‎ ‎14. 设，满足约束条件，则的最小值为______.‎ ‎15. 已知、分别是椭圆的左、右焦点，过的直线与交于、两点，若，且，则椭圆的离心率为______.‎ ‎16.已知函数在上有最大值，但没有最小值，则的取值范围是 ．‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生依据要求作答.‎ ‎17.(本大题满分12分)‎ 正项等比数列中，已知，.‎ ‎(I)求的前项和；‎ ‎（II）对于中的，设，且，求数列的通项公式.‎ ‎18．(本大题满分12分)‎ ‎“微信运动”是手机APP推出的多款健康运动软件中的一款，大学生M的微信好友中有位好友参与了“微信运动”．他随机抽取了40位参与“微信运动”的微信好友（女20人，男20人）在某天的走路步数，经统计，其中女性好友走路的步数情况可分为五个类别：、步，（说明：“”表示大于或等于，小于，以下同理），、‎ 步，、步，、步，、步，且、、三种类别的人数比例为1∶4∶3，将统计结果绘制如图所示的柱形图；男性好友走路的步数数据绘制如图所示的频率分布直方图．‎ E C O B A 类别 ‎ 人数 D ‎1‎ ‎．‎ ‎．‎ ‎．‎ ‎．‎ ‎．‎ ‎．‎ ‎．‎ ‎．‎ ‎3‎ ‎0.200‎ ‎12‎ ‎6‎ O ‎4‎ ‎2‎ 步数（千步）‎ ‎ 频率/组距 ‎0.075‎ ‎10‎ ‎8‎ ‎0.150‎ ‎0.025‎ ‎0.050‎ ‎（Ⅰ）若以大学生M抽取的微信好友在该天行走步数的频率分布，作为参与“微信运动”的所有微信好友每天走路步数的概率分布，试估计大学生M的参与“微信运动”的位微信好友中，每天走路步数在的人数； ‎ ‎（Ⅱ）若在大学生M该天抽取的步数在的微信好友中，按男女比例分层抽取人进行身体状况调查，然后再从这位微信好友中随机抽取人进行采访，求其中至少有一位女性微信好友被采访的概率．‎ ‎19. (本大题满分12分)‎ A B C D E F B E F D M 第19题图 如图，边长为的正方形中，、分别是、边的中点，将，分别沿，折起，使得两点重合于点.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求三棱锥的体积. ‎ ‎20. (本大题满分12分)‎ 已知，，直线的斜率为，直线的斜率为，且. ‎ ‎(I)求点的轨迹的方程；‎ ‎（II）设，，连接并延长，与轨迹交于另一点，点是中点，是坐标原点，记与的面积之和为，求的最大值. ‎ ‎21.(本大题满分12分)‎ 已知函数.‎ ‎(I)讨论的单调区间；‎ ‎（II）当时，证明：.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．‎ ‎22．（10分） 在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数），在极点和直角坐标系的原点重合，极轴与轴的正半轴重合的极坐标系中，圆的极坐标方程为.‎ ‎(I)若直线与圆相切，求的值；‎ ‎（II）若直线与曲线相交于两点，求的值.‎ ‎23. [选修4-5：不等式选讲]（10分） ‎ 已知.‎ ‎(I)当时，求不等式的解集；‎ ‎（II）若不等式的解集为实数集，求实数的取值范围.‎ ‎四川省泸县第二中学高2019届三诊模拟考试 文科数学参考答案 一、选择题 ‎1-5:DBBCC 6-10:DDDBB 11-12:AA 二、填空题 ‎13． 14. 4 15. 16. ‎ 三、解答题 ‎17.解：设正项等比数列的公比为，则 由及得，化简得，解得或（舍去）.‎ 于是，所以，.‎ 由已知，，所以当时，由累加法得 ‎.‎ 又也适合上式，所以的通项公式为，.‎ ‎18．解：（Ⅰ）所抽取的40人中，该天行走步的人数：男12人，‎ 女14人 位参与“微信运动”的微信好友中，每天行走步的人数 约为：人 ‎（Ⅱ）该天抽取的步数在的人数：男6人，女3人，共9人，‎ 再按男女比例分层抽取6人，则其中男4人，女2人. ……6分 列出6选2的所有情况15种……8分，至少1个女性有9种 设“其中至少有一位女性微信好友被采访”为事件A，‎ 则所求概率 ‎ ‎19.解：（1）证明： 在正方形中，，‎ 在三棱锥中,且 ‎ ‎ ‎（2）分别是边长为的正方形中边的中点 ‎ ‎ 由（1）知 ‎20.解：（1）设，∵，，∴，，‎ 又，∴，∴，‎ ‎∴轨迹的方程为（注：或，如不注明扣一分）. ‎ ‎（2）由，分别为，，的中点，故，‎ 故与同底等高，故，，‎ 当直线的斜率不存在时，其方程为，此时；‎ 当直线的斜率存在时，设其方程为：，设，，‎ 显然直线不与轴重合，即；‎ 联立，解得，‎ ‎，故，‎ 故，‎ 点到直线的距离，‎ ‎，令，‎ 故，‎ 故的最大值为. ‎ ‎21.解：（1）的定义域为，且，‎ ‎①当时，，此时的单调递减区间为.‎ ‎②当时，由，得；‎ 由，得.‎ 此时的单调减区间为，单调增区间为.‎ ‎③当时，由，得；‎ 由，得.‎ 此时的单调减区间为，单调增区间为.‎ ‎（2）当时，要证：，‎ 只要证：，即证：.（*）‎ 设，则，‎ 设，‎ 由（1）知在上单调递增，‎ 所以当时，，于是，所以在上单调递增，‎ 所以当时，（*）式成立，‎ 故当时，.‎ ‎22．解：（1）圆的直角坐标方程为，‎ 直线的一般方程为，‎ ‎∴，∴；‎ ‎（2）曲线的一般方程为，代入得，‎ ‎∴，，‎ ‎∴.‎ ‎23. 解：（1）当时，.‎ ‎∴.‎ 或或 或或或.‎ ‎∴当时，不等式的解集为.‎ ‎（2）∵的解集为实数集对恒成立.‎ 又，‎ ‎∴.‎ ‎∴.故的取值范围是.‎