专题47 双曲线（押题专练）-2018年高考数学（文）一轮复习精品资料 8页

1．“m<8”是“方程 x2 m－10 － y2 m－8 ＝1 表示双曲线”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：方程 x2 m－10 － y2 m－8 ＝1 表示双曲线，则(m－8)·(m－10)>0，解得 m<8 或 m>10. 故“m<8”是“方程 x2 m－10 － y2 m－8 ＝1 表示双曲线”的充分不必要条件． 答案：A 2．若实数 k 满足 0＜k＜5，则曲线x2 16 － y2 5－k ＝1 与曲线 x2 16－k －y2 5 ＝1 的( ) A．实半轴长相等 B．虚半轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等 答案：D 3．已知双曲线x2 a2 －y2 b2 ＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线平行于直线 l：y＝2x＋10，双曲线的一 个焦点在直线 l 上，则双曲线的方程为( ) A.x2 5 －y2 20 ＝1 B.x2 20 －y2 5 ＝1 C.3x2 25 －3y2 100 ＝1 D.3x2 100 －3y2 25 ＝1 解析：由题意可得b a ＝2，c＝5，所以 c2＝a2＋b2＝5a2＝25，解得 a2＝5，b2＝20，则所求双 曲线的方程为x2 5 －y2 20 ＝1。 答案：A 4．已知双曲线y2 a2 －x2 b2 ＝1(a>0，b>0)的两个焦点分别为 F1、F2，以线段 F1F2 为直径的圆与双 曲线渐近线的一个交点是(4，3)．则此双曲线的方程为( ) A.y2 9 －x2 16 ＝1 B.y2 4 －x2 3 ＝1 C.y2 16 －x2 9 ＝1 D.y2 3 －x2 4 ＝1 解析：由题意，c＝ 32＋42＝5， ∴a2＋b2＝c2＝25.① 又双曲线的渐近线为 y＝±a bx，∴a b ＝3 4.② 则由①②解得 a＝3，b＝4， ∴双曲线方程为y2 9 －x2 16 ＝1. 答案：A 5．双曲线 C：x2 a2 －y2 b2 ＝1(a>0，b>0)的离心率为 2，焦点到渐近线的距离为 3，则 C 的焦距 等于( ) A．2 B．2 2 C．4 D．4 2 答案：C 6．点 P 是双曲线 C1：x2 a2 －y2 b2 ＝1(a>0，b>0)与圆 C2：x2＋y2＝a2＋b2 的一个交点，且 2∠PF1F2 ＝∠PF2F1，其中 F1、F2 分别为双曲线 C1 的左、右焦点，则双曲线 C1 的离心率为( ) A. 3＋1 B. 3＋1 2 C. 5＋1 2 D. 5－1 解析：x2＋y2＝a2＋b2＝c2，∴点 P 在以 F1F2 为直径的圆上，∴PF1⊥PF2。 又 2∠PF1F2＝∠PF2F1，∴|PF2|＝c，|PF1|＝ 3c， 又 P 在双曲线上，∴ 3c－c＝2a， ∴e＝c a ＝ 2 3－1 ＝ 3＋1。 答案：A 7．已知双曲线x2 a2 －y2＝1(a>0)的一条渐近线为 3x＋y＝0，则 a＝________。 解析：因为双曲线x2 a2 －y2＝1(a＞0)的一条渐近线为 y＝－ 3x，所以1 a ＝ 3，故 a＝ 3 3 。 答案： 3 3 8．在平面直角坐标系 xOy 中，P 为双曲线 x2－y2＝1 右支上的一个动点。若点 P 到直线 x －y＋1＝0 的距离大于 c 恒成立，则实数 c 的最大值为________。 解析：由题意，双曲线 x2－y2＝1 的渐近线方程为 x±y＝0，因为点 P 到直线 x－y＋1＝0 的 距离大于 c 恒成立，所以 c 的最大值为直线 x－y＋1＝0 与直线 x－y＝0 的距离，即 2 2 。 答案： 2 2 9．若点 P 在曲线 C1：x2 16 －y2 9 ＝1 上，点 Q 在曲线 C2：(x－5)2＋y2＝1 上，点 R 在曲线 C3： (x＋5)2＋y2＝1 上，则|PQ|－|PR|的最大值是________。 答案：10 10．过双曲线x2 3 －y2 6 ＝1 的右焦点 F2，倾斜角为 30°的直线交双曲线于 A，B 两点，O 为坐标 原点，F1 为左焦点。 (1)求|AB|； (2)求△AOB 的面积。 解析：(1)由双曲线的方程得 a＝ 3，b＝ 6， 所以 c＝ a2＋b2＝3，F1(－3,0)，F2(3,0)。 直线 AB 的方程为 y＝ 3 3 (x－3)。 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由 y＝ 3 3 x－3 x2 3 －y2 6 ＝1， 得 5x2＋6x－27＝0。 所以 x1＋x2＝－6 5 ，x1x2＝－27 5 。 所以|AB|＝ 1＋k2|x1－x2| ＝ 1＋ 3 3 2 x1＋x2 2－4x1x2 ＝ 4 3· 36 25 ＋108 5 ＝16 3 5 。 (2)直线 AB 的方程变形为 3x－3y－3 3＝0。 所以原点 O 到直线 AB 的距离为 d＝ |－3 3| 3 2＋ －3 2 ＝3 2 。 所以 S△AOB＝1 2|AB|·d＝1 2×16 3 5 ×3 2 ＝12 3 5 。 11．已知椭圆 C1 的方程为x2 4 ＋y2＝1，双曲线 C2 的左、右焦点分别是 C1 的左、右顶点，而 C2 的左、右顶点分别是 C1 的左、右焦点。 (1)求双曲线 C2 的方程； (2)若直线 l：y＝kx＋ 2与双曲线 C2 恒有两个不同的交点 A 和 B，且OA→ ·OB→ ＞2(其中 O 为原 点)，求 k 的取值范围。 解析：(1)设双曲线 C2 的方程为x2 a2 －y2 b2 ＝1(a>0，b>0)，则 a2＝4－1＝3，c2＝4，再由 a2＋b2 ＝c2，得 b2＝1， 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 x1＋x2＝ 6 2k 1－3k2 ，x1x2＝ －9 1－3k2 。 所以OA→ ·OB→ ＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋ 2)(kx2＋ 2)＝(k2＋1)x1x2＋ 2k(x1＋x2)＋2＝3k2＋7 3k2－1 。 又∵OA→ ·OB→ ＞2，得 x1x2＋y1y2＞2， ∴3k2＋7 3k2－1 ＞2.即－3k2＋9 3k2－1 ＞0。 解得1 3 ＜k2＜3。② 由①②，得1 3 ＜k2＜1。 故 k 的取值范围为 －1，－ 3 3 ∪ 3 3 ，1 。 12．直线 l：y＝kx＋1 与双曲线 C：2x2－y2＝1 的右支交于不同的两点 A，B。 (1)求实数 k 的取值范围； (2)是否存在实数 k，使得以线段 AB 为直径的圆经过双曲线 C 的右焦点 F？若存在，求出 k 的值；若不存在，说明理由。 解析：(1)将直线 l 的方程 y＝kx＋1 代入双曲线 C 的方程 2x2－y2＝1， 整理得(k2－2)x2＋2kx＋2＝0。① 依题意，直线 l 与双曲线 C 的右支交于不同两点， 故 k2－2≠0 Δ＝ 2k 2－8 k2－2 ＞0 － 2k k2－2 ＞0 2 k2－2 ＞0， 解得 k 的取值范围是－20，b>0)， ∴渐近线方程为 bx±ay＝0 且 a2＋b2＝25， 又圆心 M(0，5)到两条渐近线的距离为 r＝3. ∴ |5a| b2＋a2 ＝3，得 a＝3，b＝4， ∴双曲线 G 的方程为x2 9 －y2 16 ＝1. 14．已知双曲线的中心在原点，焦点 F1，F2 在坐标轴上，离心率为 2，且过点(4，－ 10)．点 M(3，m)在双曲线上． (1)求双曲线的方程； (2)求证：MF1 → ·MF2 → ＝0； (3)求 △ F1MF2 的面积． ∴MF1 → ·MF2 → ＝(3＋2 3)×(3－2 3)＋m2＝－3＋m2， ∵M 点在双曲线上，∴9－m2＝6，即 m2－3＝0， ∴MF1 → ·MF2 → ＝0. (3)解： △ F1MF2 的底|F1F2|＝4 3. 由(2)知 m＝± 3. ∴△F1MF2 的高 h＝|m|＝ 3， ∴S△F1MF2＝1 2 ×4 3× 3＝6.