辽宁省辽河油田第二高级中学2019届高三上学期期中考试数学（文）试题 11页

高三期中数学试卷 时间：120分钟 分值：150分 一、选择题（每题一个选项，每题5分共60分）‎ ‎1．已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．复数的共轭复数（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．已知等差数列满足，则它的前10项的和（ ）‎ A．138 B．135 C．95 D．23‎ ‎5．双曲线的半焦距为，，分别为的左右焦点，若上存在一点，使得，则离心率的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6. 如图给出的是计算的值的一个程序框图，则判断框内可以填入的条件是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7. 函数的导函数在上的图象大致是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎8. 已知函数的最大值为3，最小值为．两条对称轴间最短距离为，直线是其图象的一条对称轴，则符合条件的函数解析式为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎9. 三次函数的图象在点处的切线与轴平行，则在区间上的最小值是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎10．点为双曲线的右支上一点，，分别是圆和圆上的点，则的最大值为（ ）‎ A．7 B．8 C．9 D．10‎ ‎11．设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎12．已知函数满足，若函数的图象与函数图象的交点为，，，，则（ ）‎ A．0 B． C． D．‎ 二、填空题(每小题５分，每题５分共２０分) ‎ ‎13. 已知为锐角，，，且，则为__________．‎ ‎14. 若变量，满足，则的最大值为 ‎ ‎15. 某学校有两个食堂，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则他们在同一个食堂用餐的概率为__________．‎ ‎16．在中，，，则的最大值为 ．‎ 三．解答题：(共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)‎ ‎17．（12分）设为数列的前项和，已知，，．‎ ‎（1）求，；‎ ‎（2）求数列的通项公式；‎ ‎（3）求数列的前项和．‎ ‎18．（12分）2018年为我国改革开放40周年，某事业单位共有职工600人，其年龄与人数分布表如下：‎ 年龄段 人数（单位：人）‎ ‎180‎ ‎180‎ ‎160‎ ‎80‎ 约定：此单位45岁—59岁为中年人，其余为青年人，现按照分层抽样抽取30人作为全市庆祝晚会的观众．‎ ‎（1）抽出的青年观众与中年观众分别为多少人？‎ ‎（2）若所抽取出的青年观众与中年观众中分别有12人和5人不热衷关心民生大事，其余人热衷关心民生大事．完成下列2×2列联表，并回答能否有的把握认为年龄层与热衷关心民生大事有关？‎ 热衷关心民生大事 不热衷关心民生大事 总计 青年 ‎12‎ 中年 ‎5‎ 总计 ‎30‎ ‎（3）若从热衷关心民生大事的青年观众（其中1人擅长歌舞，3人擅长乐器）中，随机抽取2人上台表演节目，则抽出的2人能胜任才艺表演的概率是多少？‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎19．（12分）在四棱锥中，平面，且底面为边长为2的菱形，，．‎ ‎（1）证明：面面；‎ ‎（2）在图中作出点在平面内的正投影 ‎（说明作法及其理由），并求四面体的体积．‎ ‎20. （12分）已知椭圆与抛物线共交点，抛物线上的点到轴的距离等于，且椭圆与抛物线的交点满足．‎ ‎（1）求抛物线的方程和椭圆的方程；‎ ‎（2）国抛物线上的点做抛物线的切线交椭圆于，两点，设线段的中点为，求的取值范围．‎ ‎21. 已知函数．‎ ‎（1）确定函数在定义域上的单调性；‎ ‎（2）若在上恒成立，求实数的取值范围．‎ 选做题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】‎ 在直角坐标系中，已知曲线、的参数方程分别为：，：．‎ ‎（1）求曲线、的普通方程；‎ ‎（2）已知点，若曲线与曲线交于、两点，求的取值范围．‎ ‎23． （10分）【选修4-5：不等式选讲】‎ 已知函数．‎ ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）设函数的最小值为，若，均为正数，且，求的最小值．‎ ‎.‎ 高三期中数学试卷答案 一、选择题 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 D C A C D A D B A C B B 二、填空题 ‎13、或 14、55‎ ‎15、 16、 ‎ 三、解答题 ‎17. （1）令，得，‎ 因为，所以，‎ 令，得，解得．‎ ‎（2）当时，；‎ 当时，由，，两式相减，整理得，‎ 于是数列是首项为1，公比为2的等比数列，所以．‎ ‎（3）由（2）知，记其前项和为，‎ 于是①‎ ‎②‎ ‎①②得 从而．‎ ‎18. （1）抽出的青年观众为18人，中年观众12人；‎ ‎（2）2×2列联表如下：‎ 热衷关心民生大事 不热衷关心民生大事 总计 青年 ‎6‎ ‎12‎ ‎18‎ 中年 ‎7‎ ‎5‎ ‎12‎ 总计 ‎13‎ ‎17‎ ‎30‎ ‎，‎ ‎∴没有的把握认为年龄层与热衷关心民生大事有关；‎ ‎（3）热衷关心民生大事的青年观众有6人，记能胜任才艺表演的四人为，，，，其余两人记为，，则从中选两人，一共有如下15种情况：‎ ‎，，，，，，，，，，，，，，，‎ 抽出的2人都能胜任才艺表演的有6种情况，所以．‎ ‎19. （1）因为平面，，所以，‎ 在菱形中，，且，所以，‎ 又因为，所以面．‎ ‎（2）取的中点，连接，，易得是等边三角形，所以，‎ 又因为平面，所以，又，所以，‎ 在面中，过作于，即是点在平面内的正投影，‎ 则，又，所以，经计算得，在中，，，，，．‎ ‎20. （1）∵抛物线上的点到轴的距离等于，‎ ‎∴点到直线的距离等于点到交点的距离，‎ 得是抛物线的准线，即．解得，‎ ‎∴抛物线的方程为；可知椭圆的右焦点，左焦点，‎ 由得，又，解得．‎ 由椭圆的定义得，∴，又，得，‎ ‎∴椭圆的方程为．‎ ‎（2）显然，，由，消去，得，‎ 由题意知，得，‎ 由，消去，得，‎ 其中，化简得，‎ 又，得，解得．‎ 设，，则．‎ 由，得．∴的取值范围是．‎ ‎21. （1）函数的定义域为，，‎ 令，则有，‎ 令，解得，‎ ‎∴在上，，单调递增，在上，，单调递减．‎ 又，∴在定义域上恒成立，即在定义域上恒成立，‎ ‎∴在上单调递增，在上单调递减．‎ ‎（2）由在上恒成立得：在上恒成立．‎ 整理得：在上恒成立．‎ 令，易知，当时，在上恒成立不可能，‎ ‎∴，‎ 又，，‎ ‎（i）当时，，‎ 又在上单调递减，‎ ‎∴在上恒成立，则在上单调递减，‎ 又，∴在上恒成立．‎ ‎（ii）当时，，，‎ 又在上单调递减，‎ ‎∴存在，使得，‎ ‎∴在上，在上，‎ ‎∴在上单调递增，在上单调递减，‎ 又，∴在上恒成立，‎ ‎∴在上恒成立不可能．综上所述，．‎ ‎22. （1）曲线的普通方程为：，‎ 当，时，曲线的普通方程为：，‎ 当，时，曲线的普通方程为：；‎ ‎（或曲线：）‎ ‎（2）将：代入：化简整理得：‎ ‎，‎ 设，对应的参数分别为，，，‎ 则恒成立，‎ ‎∴，‎ ‎∵，∴．‎ ‎ 23. （1）∵，‎ ‎∴或或，‎ ‎∴，‎ ‎∴不等式解集为；‎ ‎（2）∵，∴，‎ 又，，，∴，‎ ‎∴，‎ 当且仅当，即时取等号，‎ ‎∴．‎