数学理卷·2018届湖北省宜昌一中高二上学期期末考试（2017-01） 7页

宜昌市第一中学2016年秋季学期高二年级期末考试 理 科 数 学 试 题 命题人：肖华 审题人：杨天文 考试时间：120分钟 满分：150分 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题只有一个选项符合题意)‎ ‎1．下列说法错误的是（ ）‎ ‎ A.对于命题 ‎ B.的充分不必要条件 ‎ C.若命题为假命题，则p,q都是假命题 ‎ D.命题“若”的逆否命题为：“若”‎ ‎2．已知回归直线斜率的估计值为1.23，样本点的中心为点(4,5)，则回归直线的方程为 (　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A.  B. 　‎ C.   　 D. ‎ ‎3．三位男同学两位女同学站成一排，女同学不站两端的排法总数为（ ）‎ ‎ A．6 B．36 C．48 D．120‎ ‎4．执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ）‎ ‎ A． 1 B． C． D．‎ 5． 双曲线和椭圆有相同的焦点为两曲线的交点，则等于（ ）‎ ‎ A. B． C． D．‎ ‎6.从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（　　）‎ ‎ A．至少有1个白球；都是白球 B．至少有1个白球；至少有1个红球 ‎ C．恰有1个白球；恰有2个白球 D．至少有一个白球；都是红球 7. 已知直线与抛物线交于A、B两点，点，若 ‎，则=（ ）‎ A、 B、 C、 D、0‎ ‎8.直三棱柱ABCA1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为(　　)‎ ‎ A. B. C. D. 9. 某几何体的三视图如图，其正视图中的曲线部分为半个圆弧，则该几何体的表面积为 ( )‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎10.已知实数满足，则的取值范围为（ ）‎ 第11题图 ‎ A． B． C． D．‎ 11. 正方体ABCD—A1B1C1D1中，点M、N分别在线段AB1、BC1上，且AM=BN。以下结论： ‎ ‎ ①；②A1C1//MN；③MN//平面A1B1C1D1；④MN与A1C1异面；‎ ‎ ⑤ MN与 A1C1成30°.其中有可能成立的结论的个数为（ ） ‎ ‎ A. 5 B. 4 C. 3 D. 2‎ ‎ 12.已知椭圆，为其左、右焦点，为椭圆上除长轴端点外的任一点，为内一点，满足，的内心为，且有（其中为实数），则椭圆的离心率（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.为了调查某产品的销售情况，销售部门从下属的92家销售连锁店中抽取30家了解情况。若采用系统抽样法, 则抽样间隔和随机剔除的个体分别为 , ‎ 14. 某学校甲、乙两个班各派10名同学参加英语口语比赛，并记录他们的成绩，得到如图所示的茎叶图．现拟定在各班中分数超过本班平均分的同学为“口语王”．‎ ‎（1）记甲班“口语王”人数为，乙班“口语王”人数为，则，‎ 的大小关系是 ．（2）甲班10名同学口语成绩的方差为 ．‎ ‎15．已知集合表示的平面区域为Ω，若在区域Ω内任取一点，则点的坐标满足不等式的概率为 ． ‎ ‎16.如图，∠ACB=90°，DA⊥平面ABC，AE⊥DB交DB于E，AF⊥DC交DC于F，且AD=AB=2，则三棱锥D-AEF体积的最大值为___________‎ 三、解答题：本大题共6小题, 共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ‎17.(本题10分) 已知抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线的一个焦点，抛物线与双曲线交点为，求抛物线方程和双曲线方程．‎ ‎18.(本题12分) 已知p：“直线与圆相交”；：“有一正根和一负根”．若为真，为真，求的取值范围． ‎ ‎19.(本题12分).交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念,记交通指数为T，其范围分为五个级别，畅通；基本畅通； 轻度拥堵；中度拥堵；严重拥堵.早高峰时段()，从某市交通指挥中心随机选取了三环以内的50个交通路段，依据其交通指数数据绘制的频率分布直方图如右图．‎ ‎ （Ⅰ）这50个路段为中度拥堵的有多少个？‎ ‎ （Ⅱ）据此估计，早高峰三环以内的三个路段至少有一个是严重拥堵的概率是多少？‎ ‎20.（本题12分）如图，四棱锥的底面为矩形，是四棱锥的高，与所成角为，是的中点，是上的动点. ‎ ‎ （Ⅰ）证明：；‎ ‎ （Ⅱ）若，求直线与平面所成角的大小.‎ 21. ‎（本题12分）如图，已知椭圆的四个顶点分别是，是边长为的正三角形，其内切圆为圆.‎ ‎ （1）求椭圆及圆的标准方程；‎ ‎ （2）若点是椭圆上第一象限内的动点，直线交线段于点.‎ ‎ ①求的最大值；‎ ‎ ②设，是否存在以椭圆上的点为圆心的圆，使得过圆上任意一点，作圆的切线（切点为）都满足？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由.‎ ‎22.（本题12分）.调查某初中1000名学生的肥胖情况，得下表：‎ 偏瘦 正常 肥胖 女生（人）‎ ‎100‎ ‎173‎ y 男生（人）‎ x ‎177‎ z ‎ 已知从这批学生中随机抽取1名学生，抽到偏瘦男生的概率为0.15．‎ ‎（Ⅰ）求x的值；‎ ‎（Ⅱ）若用分层抽样的方法，从这批学生中随机抽取50名，问应在肥胖学生中抽多少名？‎ ‎（Ⅲ）已知y≥193，z≥193，肥胖学生中男生不少于女生的概率．‎ 宜昌市一中2016秋季学期高二期末考试 理科数学参考答案 一． CCBDC,CAACD, A B 二． ‎13.3，2 14.（1）；（2）方差为86.8 15.16． ‎ ‎17．(10分) 依题意，设抛物线方程为y2＝2px，(p>0)，‎ ‎∵点(，)在抛物线上，∴6＝2p×，∴p＝2，∴所求抛物线方程为y2＝4x.‎ ‎∵双曲线左焦点在抛物线的准线x＝－1上，∴c＝1，即a2＋b2＝1，‎ 又点(，)在双曲线上，∴－＝1，……5分 由解得a2＝，b2＝. ∴所求双曲线方程为4x2－y2＝1.……10分 ‎18.解　对p：∵直线与圆相交，∴d＝＜1. ∴－＋1＜m＜＋1.‎ 对q：方程mx2－x＋m－4＝0有一正根和一负根，∴令f(x)＝mx2－x＋m－4，‎ ‎∴或解得0＜m＜4.……8分 又∵? p为真，∴p假．又∵p∨q为真，∴q为真．‎ 由数轴可得＋1≤m＜4. 故m的取值范围是＋1≤m＜4.……12分 ‎19解：（Ⅰ） 这50路段为中度拥堵的有18个……4分 ‎（Ⅱ）设事件A “一个路段严重拥堵”，则 事件B 至少一个路段严重拥堵”，则 ‎ ‎ 所以三个路段至少有一个是严重拥堵的概率是—12分 ‎20.（Ⅰ） 建立如图所示空间直角坐标系．‎ 设，则，， 于是，，，则，所以．………………6分 ‎（Ⅱ）若，则，，‎ 设平面的法向量为，‎ 由，得：，令，则， ‎ 于是，而 设与平面所成角为，所以，‎ 所以与平面所成角为．……12分 ‎21（1）由题意知，‎ 所以，,所以椭圆的标准方程为,‎ 又圆心, 所以圆的标准方程为.……4分 （2） ‎①设直线的方程为,与直线的方程联立, 解得 ,即点联立,消去并整理得, ‎ 解得点 所以 ‎,当且仅当时,取“=”，‎ 所以的最大值为.……8分 ‎②存在, 设圆心，点是圆上的任意一点，其中点满足，则，‎ 又，由得，‎ 代入得，，对圆上任意一点恒成立，所以，解得，经检验满足 ，所以存在圆满足题设条件.……12分 ‎22解：（Ⅰ）由题意可知，，∴x=150（人）； ……4分 ‎（Ⅱ）由题意可知，肥胖学生人数为y+z=400（人）．设应在肥胖学生中抽取m人，‎ 则，∴m=20（人）即应在肥胖学生中抽20名． ……8分 ‎（Ⅲ）由题意可知本题是一个等可能事件的概率，‎ 试验发生包含的事件是y+z=400，且y≥193，z≥193，‎ 满足条件的（y，z）有，，…，，共有15组．设事件A：“肥胖学生中男生不少于女生”，‎ 即y≤z，满足条件的（y，z）有，，…，，共有8组，∴．‎ 即肥胖学生中女生少于男生的概率为．……12分