数学文卷·2017届内蒙古赤峰市宁城县高三第三次模拟考试（2017 9页

宁城县高三年级统一考试（5.10）‎ 数学试题（文科）‎ 本试题卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． ‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．已知集合，，则 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎2.设复数（是虚数单位），的共轭复数为，则等于（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎3.已知某学校有1680名学生，现在采用系统抽样的方法抽取84人，调查他们对学校食堂的满意程度，将1680人按1，2，3…，1680随机编号，则在抽取的84人中，编号落在内的人数为 ‎（A）7 （B）5 （C）3 （D）4‎ ‎4．已知单位向量与的夹角为，则为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎5. 已知函数的图象与的图象关于直线对称，则的图象的一个对称中心是 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎6．有6名学生参加数学竞赛选拔赛，他们的编号分别是1——6号，得第一名者将参加全国数学竞赛。今有甲、乙、丙、丁四位老师在猜谁将得第一名，甲猜：4号，5号，6号都不可能；乙猜：3号不可能；丙猜：不是1号就是2号；丁猜：是4号，5号，6号中的某一个。以是只有一个人猜对，则他应该是 ‎（A）甲 （B）乙 （C）丙 （D）丁 ‎7．某三棱锥的三视图如图所示，则该 三棱锥的体积为 ‎ （A） ‎ ‎（B） ‎ ‎（C） ‎ ‎（D）‎ 输入a,b,c N=0‎ N≡N+1‎ N≡0(moda)‎ N≡0(modb)‎ N≡1(modc)‎ 输入N 否 否 否 是 是 是 开始 结束 ‎8．过双曲线的焦点F作轴的垂线，交双曲线于M、N两点，A为左顶点，设，双曲线的离心率为 ‎（A） （B） ‎ ‎（C）3 （D）‎ ‎9. 若正整数除以正整数后的余数为，则记为，例如，如图程序框图的算法源于我国古代《孙子算经》中的“孙子定理”的某一环节，执行该框图，输入，，，则输出的 ‎（A） ‎ ‎（B） ‎ ‎（C） ‎ ‎（D） ‎ ‎10. 已知过抛物线焦点的直线交抛物线于、两点（点在第一象限），若，则直线的方程为 ‎（A）（B）（C）（D）‎ ‎11.函数的图象大致是 ‎（ ）‎ ‎（ ）‎ ‎（ ）‎ ‎（ ）‎ ‎12. 已知正方体的棱长为1，过正方体的对角线的截面面积为，则的取值范围是 ‎（A） （B） （C） （D）‎ 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22～23题为选考题，考生根据要求做答．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.‎ ‎13．已知向量，逆时针旋转60°到，则点的横坐标为 ． ‎ ‎14. 已知实数满足则的最大值为 .‎ ‎15. 已知如图所示的矩形，长为12，宽为5，在矩形内随机地投掷1000颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆为600颗，则可以估计阴影部分的面积约为 ．‎ ‎16. 已知S，A，B，C是球O表面上的点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，AS=AB=1，，则球O的表面积为 .‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ‎17.（本小题满分12分）‎ 已知数列的前项和为，若是以（为常数）为公差的等差数列， ‎ ‎（1）求证：数列是等差数列；‎ ‎（2）设，求数列的前项和.‎ ‎ ‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 为了更好地规划进货的数量，保证蔬菜的新鲜程度，某蔬菜商店从某一年的销售数据中，随机抽取了8组数据作为研究对象，如下表所示（(吨)为买进蔬菜的质量，（天）为销售天数）：‎ x ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎9‎ ‎12‎ y ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎(Ⅰ)根据上表数据在右边的网格中绘制散点图；‎ ‎ (Ⅱ)根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；‎ ‎(Ⅲ)根据(Ⅱ)中的计算结果，若该蔬菜商店准备一次性买进蔬菜25吨，则预计需要销售多少天.‎ 参考公式： ‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 如图，已知四棱锥中，底面为菱形，平面，为上任意一点．‎ ‎（Ⅰ）证明：平面平面；‎ ‎（Ⅱ）试确定点的位置，使得四棱锥的体积等于三棱锥体积的4倍．‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 已知中心在原点O，焦点在轴上的椭圆的离心率为，过右焦点的直线与椭圆交于两点.‎ ‎(Ⅰ) 求椭圆的标准方程；‎ ‎(Ⅱ)设椭圆的左焦点为，求面积的最大值以及此时直线的方程.‎ ‎21.（本小题满分12分）‎ 已知函数图像在处的切线方程为.‎ ‎（1）求实数的值及的单调区间；‎ ‎（2）若对任意恒成立，求实数的取值范围.‎ 请考生在第22,23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时请写清题号.‎ ‎22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程 已知曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为，曲线，相交于，两点.‎ ‎（1）求，两点的极坐标；‎ ‎（2）曲线与直线（为参数）分别相交于，两点，求线段的长度.‎ ‎23．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲 已知函数的最小值为.‎ ‎（Ⅰ）求的值以及此时的的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若实数满足，证明：.‎ 宁城县高三年级统一考试（5.10）‎ 数学试题（文科）参考答案 一、 选择题：CDBA CADB ADCD。‎ 二、 填空题：13、； 14、； 15、36； 16、5π；‎ 三、 解答题：‎ 17. ‎（1）证明：因为是等差数列，则 ‎ 从而, ----------------2分 当时，‎ ‎------------------------------4分 当时，上式也成立--------------------------------5分 所以数列是以为首项，以为公差的等差数列。---------------6分 ‎（2）解：数列的通项公式为.-----------------6分 因为，‎ 所以，①‎ ‎，②-------------8分 ‎②式减①式得，，----10分 整理得，因此.------------12分 ‎19.（Ⅰ）证明：∵平面，平面，‎ ‎∴，----------2分 又∵底面为菱形，‎ ‎∴，，‎ 平面，平面，‎ ‎∴平面，-----------------4分 又平面，‎ ‎∴平面平面．------------6分 ‎（Ⅱ）若四棱锥的体积被平面分成两部分，则三棱锥的体积是整个四棱锥体积的，-----------------------8分 设三棱锥的高为，底面的面积为，‎ 则，-----------------------10分 由此得，故此时为的中点．------------12分 ‎21.解：（1），‎ 所以-------------2分 即，所以函数的单调递增区间为 --------------4分 ‎（2）等价于，令，‎ ‎，------------------5分 若，此时对任意都有，，‎ 所以恒成立；-----------------6分 下面考虑时的情况：‎ 若，对任意都有，，‎ 所以，所以为上的增函数，‎ 所以，即时满足题意；---------------8分 若，则由，，‎ 可知：一定存在，使得，----------9分 当时，，所以在上，单调递减，‎ 从而有：时，不满足题意.----11分 综上可知，的取值范围为.-----------------12分 选做题 ‎22.解：（1）由得，‎ 所以，即.--------------3分 所以、两点的极坐标为：，.-----------------5分 ‎（2）由曲线的极坐标方程得其直角坐标方程为，----6分 将直线代入，‎ 整理得，即，，-------8分 所以. -------------10分