专题09+概率与统计-备战2019年高考数学（理）之衡水中学各类考试分项汇编 20页

一、选择题 ‎1. 【河北省衡水中学2018届高三毕业班模拟演练一】如图的折线图是某公司2017年1月至12月份的收入与支出数据.若从这12个月份中任意选3个月的数据进行分析，则这3个月中至少有一个月利润（利润=收入-支出）不低于40万的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎2. 【河北衡水金卷2019届高三12月第三次联合质量测评数学（理)试题】如图所示，分别以正方形ABCD两邻边AB、AD为直径向正方形内做两个半圆，交于点O．若向正方形内投掷一颗质地均匀的小球(小球落到每点的可能性均相同)，则该球落在阴影部分的概率为 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】法一：设正方形的边长为2.则这两个半圆的并集所在区域的面积为，所以该质点落入这两个半圆的并集所在区城内的概率为.故选C.‎ 法二：设正方形的边长为2.过O作OF垂直于AB，OE垂直于AD.则这两个半圆的并集所在区域的面积为，所以该质点落入这两个半圆的并集所在区域的概率为，故选C. ‎ ‎【解析】分析：画正态曲线图，由对称性得图象关于对称，且，结合题意得到的值.‎ 详解：‎ 随机变量服从正态分布，‎ 曲线关于对称，且，‎ 由，可知，故选B.‎ ‎7. 【河北省衡水中学2018届高三第十七次模拟考试数学（理)试题】若,,，的平均数为3，方差为4,且,，则新数据, 的平均数和标准差分别为（ ）‎ A．-4 -4 B．-4 16 C．2 8 D．-2 4‎ ‎【答案】D ‎8. 【河北省衡水中学2018届高三上学期七调考试数学（理)试题】如图所示的5个数据，去掉后，下列说法错误的是（ ）‎ A．相关系数变大 B．残差平和变大 C．变大 D．解释变量与预报变量的相关性变强 ‎【答案】B ‎9. 【河北省衡水中学2018届高三十六模】已知随机变量服从正态分布，且，，‎ 等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 随机变量服从正态分布，‎ 曲线关于对称，且，‎ 由，可知，故选B. ‎ ‎12. 【河北省衡水中学2019届高三第一次摸底考试】某地某所高中2018年的高考考生人数是2015年高考考生人数的1.5倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2015年和2018年的高考情况，得到如下柱状图：‎ ‎ ‎ ‎2015年高考数据统计 2018年高考数据统计 则下列结论正确的是 A．与2015年相比，2018年一本达线人数减少 B．与2015年相比，2018年二本达线人数增加了0.5倍 C．与2015年相比，2018年艺体达线人数相同 D．与2015年相比，2018年不上线的人数有所增加 ‎【答案】D ‎13. 【河北省衡水中学2019届高三第一次摸底考试】赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周碑算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的）.类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是 A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎14. 【河北省衡水中学2019届高三上学期六调考试】如图1为某省2018年1~4月快递业务量统计图，图2是该省2018年1~4月快递业务收入统计图，下列对统计图理解错误的是（ ）‎ A．2018年1~4月的业务量，3月最高，2月最低，差值接近2000万件 B．2018年1~4月的业务量同比增长率均超过50%，在3月底最高 C．从两图来看，2018年1~4月中的同一个月的快递业务量与收入的同比增长率并不完全一致 D．从1~4月来看，该省在2018年快递业务收入同比增长率逐月增长 ‎【答案】D ‎【解析】对于选项A： 2018年1～4月的业务量，3月最高，2月最低，‎ 差值为，接近2000万件，所以A是正确的；‎ 对于选项B： 2018年1～4月的业务量同比增长率分别为，均超过，在3月最高，所以B是正确的；‎ 对于选项C：2月份业务量同比增长率为53%，而收入的同比增长率为30%，所以C是正确的；‎ 对于选项D，1，2，3，4月收入的同比增长率分别为55%，30%，60%，42%，并不是逐月增长，D错误.‎ 本题选择D选项.‎ ‎15. 【河北省衡水中学2019届高三上学期六调考试】用0与1两个数字随机填入如图所示的5个格子里，每个格子填一个数字，并且从左到右数，不管数到哪个格子，总是1的个数不少于0的个数，则这样填法的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B 二、填空题 ‎1. 【河北省衡水中学2018届高三上学期七调考试数学（理)试题】若从区间（为自然对数的底数，）内随机选取两个数，则这两个数之积不小于的概率为_____________．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】设，由，得，所以所求概率． ‎ 比较两个纳税方案可知，按调整后起征点应纳个税少交220元，‎ 即个人的实际收入增加了220元，所以小李的实际收入增加了220元。‎ ‎3. 【河北省衡水中学2018届高三第十次模拟考试数学（理)试题】为了解学生寒假期间学习情况，学校对某班男、女学生学习时间进行调查，学习时间按整小时统计，调查结果绘成折线图如下：‎ ‎（1）已知该校有名学生，试估计全校学生中，每天学习不足小时的人数.‎ ‎（2）若从学习时间不少于小时的学生中选取人，设选到的男生人数为，求随机变量的分布列.‎ ‎（3）试比较男生学习时间的方差与女生学习时间方差的大小.（只需写出结论）‎ ‎【答案】(1)240人(2)见解析（3）‎ ‎ ；‎ ‎；‎ ‎.‎ 所以随机变量的分布列为 ‎∴均值 .‎ ‎（3）由折线图可得. 络订餐成为大家更加青睐的消费选择.近年来,网络订餐市场规模的“井喷式”增长，也充分反映了人们消费方式的变化. ‎ 全国方便面销量情况（单位“亿包/桶）（数据来源：世界方便面协会）‎ 年份 时间代号 年销量（亿包/桶）‎ ‎(1)根据上表，求关于的线性回归方程.用所求回归方程预测2017 年()方便面在中国的年销量；‎ ‎(2)方便面销量遭遇滑铁卢受到哪些因素影响? 中国的消费业态发生了怎样的转变? 某媒体记者随机对身边的位朋友做了一次调查,其中位受访者表示超过年未吃过方便面,位受访者认为方便面是健康食品；而位受访者有过网络订餐的经历，现从这人中抽取人进行深度访谈，记表示随机抽取的人认为方便面是健康食品的人数，求随机变量的分布列及数学期望.‎ 参考公式：回归方程：，其中，.‎ 参考数据：.‎ ‎【答案】(1)356;(2)见解析.‎ ‎（2）依题意，人中认为方便面是健康食品的有人，的可能值为，，，，‎ 所以；；；，‎ ‎.‎ ‎5. 【河北省衡水中学2018届高三第十七次模拟考试数学（理)试题】在测试中,客观题难题的计算公式为,其中为第题的难度，为答对该题的人数，为参加测试的总人数.现对某校高三年级120名学生进行一次测试，共5道客观题.测试前根据对学生的了解，预估了每道题的难度，如下表所示：‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 考前预估难度 ‎0.9‎ ‎0.8‎ ‎0.7‎ ‎0.6‎ ‎0.4‎ 测试后，从中随机抽取了10名学生，将他们编号后统计各题的作答情况，如下表所示(“√”表示答对,“×”表示答错)：‎ 学生 编号 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎1‎ ‎×‎ ‎√‎ ‎√‎ ‎√‎ ‎√‎ ‎2‎ ‎√‎ ‎√‎ ‎√‎ ‎√‎ ‎×‎ ‎3‎ ‎√‎ ‎√‎ ‎√‎ ‎√‎ ‎×‎ ‎4‎ ‎√‎ ‎√‎ ‎√‎ ‎×‎ ‎×‎ ‎5‎ ‎√‎ ‎√‎ ‎√‎ ‎√‎ ‎√‎ ‎6‎ ‎√‎ ‎×‎ ‎×‎ ‎√‎ ‎×‎ ‎7‎ ‎×‎ ‎√‎ ‎√‎ ‎√‎ ‎×‎ ‎8‎ ‎√‎ ‎×‎ ‎×‎ ‎×‎ ‎×‎ ‎9‎ ‎√‎ ‎√‎ ‎×‎ ‎×‎ ‎×‎ ‎10‎ ‎√‎ ‎√‎ ‎√‎ ‎√‎ ‎×‎ ‎（1）根据题中数据，将抽样的10名学生每道题实测的答对人数及相应的实测难度填入下表，并估计这120名学生中第5题的实测答对人数；‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 实测答对人数 实测难度 ‎（2）从编号为1到5的5人中随机抽取2人，求恰好有1人答对第5题的概率；‎ ‎（3）定义统计量，其中为第题的实测难度，为第题的预估难度().规定：若，则称该次测试的难度预估合理，否则为不合理.判断本次测试的难度预估是否合理.‎ ‎【答案】(1)见解析;(2);(3)见解析. ‎ 若选择方案二，设摸到红球的个数为，付款金额为，则，由已知可得，故，所以 ‎（元）.‎ 因为，所以该顾客选择第一种抽奖方案更合算.‎ ‎7. 【河北省衡水中学2018届高三上学期七调考试数学（理)试题】某保险公司针对企业职工推出一款意外险产品，每年每人只要交少量保费，发生意外后可一次性获赔50万元.保险公司把职工从事的所有岗位共分为、、三类工种，根据历史数据统计出三类工种的每赔付频率如下表（并以此估计赔付概率）.‎ ‎（Ⅰ）根据规定，该产品各工种保单的期望利润都不得超过保费的20%，试分别确定各类工种每张保单保费的上限；‎ ‎（Ⅱ）某企业共有职工20000人，从事三类工种的人数分布比例如图，老板准备为全体职工每人购买一份此种保险，并以（Ⅰ）中计算的各类保险上限购买，试估计保险公司在这宗交易中的期望利润.‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）元.‎ ‎（Ⅱ）购买类产品的份数为份，‎ 购买类产品的份数为份，‎ 购买类产品的份数为份，‎ 企业支付的总保费为元，‎ 保险公司在这宗交易中的期望利润为元. 络订餐成为大家更加青睐的消费选择.近年来,网络订餐市场规模的“井喷式”增长，也充分反映了人们消费方式的变化. ‎ 全国方便面销量情况（单位“亿包/桶）（数据来源：世界方便面协会）‎ 年份 时间代号 年销量（亿包/桶）‎ ‎(1)根据上表，求关于的线性回归方程.用所求回归方程预测2017 年()方便面在中国的年销量；‎ ‎(2)方便面销量遭遇滑铁卢受到哪些因素影响? 中国的消费业态发生了怎样的转变? 某媒体记者随机对身边的位朋友做了一次调查,其中位受访者表示超过年未吃过方便面,位受访者认为方便面是健康食品；而位受访者有过网络订餐的经历，现从这人中抽取人进行深度访谈，记表示随机抽取的人认为方便面是健康食品的人数，求随机变量的分布列及数学期望.‎ 参考公式：回归方程：，其中，.‎ 参考数据：.‎ ‎【答案】(1)356;(2)见解析.‎ ‎（2）依题意，人中认为方便面是健康食品的有人，的可能值为，，，，‎ 所以；；；，‎ ‎.‎ ‎9. 【河北省衡水中学2018年高考押题(二)】某校为缓解高三学生的高考压力，经常举行一些心理素质综合能力训练活动，经过一段时间的训练后从该年级名学生中随机抽取名学生进行测试，并将其成绩分为、、、、五个等级，统计数据如图所示（视频率为概率），根据以上抽样调查数据，回答下列问题：‎ ‎（1）试估算该校高三年级学生获得成绩为的人数；‎ ‎（2）若等级、、、、分别对应分、分、分、分、分，学校要求平均分达分以上为“考前心理稳定整体过关”，请问该校高三年级目前学生的“考前心理稳定整体”是否过关？‎ ‎（3）为了解心理健康状态稳定学生的特点，现从、两种级别中，用分层抽样的方法抽取个学生样本，再从中任意选取个学生样本分析，求这个样本为级的个数的分布列与数学期望.‎ ‎【答案】(1) 等级为的概率为,成绩为的人数约有;(2)见解析；（3）见解析.‎ ‎（2）这100名学生成绩的平均分为，‎ 因为，所以该校高三年级目前学生的“考前心理稳定整体”已过关.‎ ‎（3）由题可知用分层抽样的方法抽取11个学生样本，其中级4个，级7个，从而任意选取3个，这3个为级的个数的可能值为0，1，2，3.‎ 则，，‎ ‎，.‎ 因此可得的分布列为：‎ 则.‎ ‎10. 【河北省衡水中学2018年高考押题(三)】某中学为了解高一年级学生身高发育情况，对全校名高一年级学生按性别进行分层抽样检查，测得身高（单位：）频数分布表如表、表.‎ 表：男生身高频数分布表 身高/‎ 频数 表：女生身高频数分布表 身高/‎ 频数 ‎（1）求该校高一女生的人数；‎ ‎（2）估计该校学生身高在的概率；‎ ‎（3）以样本频率为概率，现从高一年级的男生和女生中分别选出人，设表示身高在学生的人数，求的分布列及数学期望.‎ ‎【答案】(1) (2) （3）见解析 ‎（2）由表和表可得样本中男女身高在的人数为，样本容量为.‎ 所以样本中该校学生身高在的概率为.‎ 因此，可估计该校学生身高在的概率为.‎ ‎（3）由题意可得的可能取值为，‎ 由表格可知，身高在的概率为，男生身高在的概率为.‎ 所以，‎ 所以的分布列为：‎ 所以.‎ ‎11. 【河北省衡水中学2019届高三第一次摸底考试】‎ 某高校为了对2018年录取的大一理工科新生有针对性地进行教学，从大一理工科新生中随机抽取40名，对他们2018年高考的数学分数进行分析，研究发现这40名新生的数学分数在内，且其频率满足（其中，）. ‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）请画出这20名新生高考数学分数的频率分布直方图，并估计这40名新生的高考数学分数的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；‎ ‎（3）将此样本的频率估计为总体的概率，随机调查4名该校的大一理工科新生，记调查的4名大一理工科新生中“高考数学分数不低于130分”的人数为随机变量，求的数学期望.‎ ‎【答案】（1）;(2)120;(3)见解析.‎ ‎（2）由（1），得，频率分布直方图如图： ‎ 这40名新生的高考数学分数的平均数为. ‎ ‎（3）由题意可知，，且“高考数学分数不低于130分”的概率为，所以～ ‎ 所以.‎ ‎12. 【河北省衡水中学2019届高三上学期六调考试】微信是腾讯公司推出的一种手机通讯软件，它支持发送语音短信、视频、图片和文字，一经推出便风靡全国，甚至涌现出一批在微信的朋友圈内销售商品的人（被称为微商）.为子调查每天微信用户使用微信的时间，某经销化妆品的微商在一广场随机采访男性、女性用户各50名，将男性、女性使用微信的时间分成5组：，，，，分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.‎ ‎（1）根据女性频率分布直方图估计女性使用微信的平均时间；‎ ‎（2）若每天再微信超过4个小时的用户列为“微信控”，否则称其为“非微信控”，请你根据已知条件完成的列联表，并判断是否有90%的把握认为“微信控”与“性别有关”？‎ ‎【答案】（1）4.76；（2）有90%的把握认为“微信控”与“性别”有关 ‎(2)2(0.04＋a＋0.14＋2×0.12)＝1，解得a＝0.08.‎ 由题设条件得列联表：‎ 性别 微信控 非微信控 总计 男性 ‎38‎ ‎12‎ ‎50‎ 女性 ‎30‎ ‎20‎ ‎50‎ 总计 ‎68‎ ‎32‎ ‎100‎ 所以K2＝＝‎ ‎≈2.941＞2.706.‎ 所以有90%的把握认为“微信控”与“性别”有关．‎