数学卷·2018届山东省潍坊市寿光市现代中学高二上学期10月月考数学试卷（解析版） 17页

‎2016-2017学年山东省潍坊市寿光市现代中学高二（上）10月月考数学试卷 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．数列1，，，，…，则3是它的第（　　）项．‎ A．，22 B．23 C．24 D．28‎ ‎2．在△ABC中，已知a=，b=2，B=45°，则角A=（　　）‎ A．30°或150° B．60°或120° C．60° D．30°‎ ‎3．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4=18﹣a5，则S8=（　　）‎ A．18 B．36 C．54 D．72‎ ‎4．设a，b，c，d∈R．且a＞b，c＞d，且下列结论中正确的是（　　）‎ A．a+c＞b+d B．a﹣c＞b﹣d C．ac＞bd D．‎ ‎5．两座灯塔A，B与海洋观察站C的距离分别为a海里、2a海里，灯塔A在观察站的北偏东35°，灯塔B在观察站的南偏东25°，则灯塔A与灯塔B的距离为（　　）‎ A．3a海里 B． a海里 C． a海里 D． a海里 ‎6．△ABC中， ==，则△ABC一定是（　　）‎ A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 ‎7．等差数列{an}中，已知a1=，a2+a5=4，an=33，则n的值为（　　）‎ A．50 B．49 C．48 D．47‎ ‎8．数列{an}，an≠0，若a1=3，2an+1﹣an=0，则a5=（　　）‎ A． B． C．48 D．94‎ ‎9．若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（　　）‎ A．13项 B．12项 C．11项 D．10项 ‎10．下列函数中，最小值为4的是（　　）‎ A． B．（0＜x＜π）‎ C． D．y=log3x+4logx3‎ ‎11．设{an}（n∈N*）是等差数列，Sn是其前n项的和，且S5＜S6，S6=S7＞S8，则下列结论错误的是（　　）‎ A．d＜0 B．a7=0‎ C．S9＞S5 D．S6与S7均为Sn的最大值 ‎12．设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn．若a1=d=1，则的最小值为（　　）‎ A．10 B． C． D． +2‎ ‎　‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=1，b=2，cosC=，则sinB=　　．‎ ‎14．在项数为奇数的等差数列中，所有奇数项的和为175，所有偶数项的和为150，则这个数列共有　　项．‎ ‎15．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，公比q=，a8=1，则S8=　　．‎ ‎16．若x＞2，则x+的最小值为　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．在△ABC中，B=45°，AC=，cosC=，求BC的长．‎ ‎18．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S5=35，a5和a7的等差中项为13．‎ ‎（1）求an及Sn；‎ ‎（2）令bn=（n∈N*），求数列{bn}的前项和Tn．‎ ‎19．在△‎ ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（2b﹣c）cosA﹣acosC=0．‎ ‎（Ⅰ）求角A的大小；‎ ‎（Ⅱ）若a=2，△ABC的面积为，求b，c．‎ ‎20．已知数列{an}的前n项和为Sn=2n2﹣30n．‎ ‎（1）这个数列是等差数列吗？求出它的通项公式；‎ ‎（2）求使得Sn最小的序号n的值．‎ ‎21．某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3，深为3m，如果池底每1m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？‎ ‎22．已知数列{an}的首项a1=1，且an+1=2an+3，n∈N+‎ ‎（1）求证：数列{an+3}是等比数列；‎ ‎（2）求数列{n（an+3）}的前n项和Tn．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年山东省潍坊市寿光市现代中学高二（上）10月月考数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．数列1，，，，…，则3是它的第（　　）项．‎ A．，22 B．23 C．24 D．28‎ ‎【考点】数列的函数特性．‎ ‎【分析】由数列1，，，，…，可得通项公式（n∈N*）．令3=，解得n即可．‎ ‎【解答】解：由数列1，，，，…，可得通项公式（n∈N*）．‎ 令3=，解得n=23．‎ ‎∴3是它的第23项．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎2．在△ABC中，已知a=，b=2，B=45°，则角A=（　　）‎ A．30°或150° B．60°或120° C．60° D．30°‎ ‎【考点】正弦定理．‎ ‎【分析】由正弦定理的式子，结合题中数据算出sinA=，根据a＜b可得A＜B，因此算出A=30°．‎ ‎【解答】解：∵a=，b=2，B=45°，‎ ‎∴由正弦定理，得 可得sinA==‎ ‎∴A=30°或150°‎ ‎∵a＜b，可得A＜B，∴A=30°‎ 故选：D ‎　‎ ‎3．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4=18﹣a5，则S8=（　　）‎ A．18 B．36 C．54 D．72‎ ‎【考点】等差数列的前n项和．‎ ‎【分析】由等差数列的性质可得a1+a8=a4+a5=18，代入求和公式可得．‎ ‎【解答】解：由题意可得a4+a5=18，‎ 由等差数列的性质可得a1+a8=a4+a5=18，‎ ‎∴S8===72‎ 故选：D ‎　‎ ‎4．设a，b，c，d∈R．且a＞b，c＞d，且下列结论中正确的是（　　）‎ A．a+c＞b+d B．a﹣c＞b﹣d C．ac＞bd D．‎ ‎【考点】不等关系与不等式．‎ ‎【分析】A、设a，b，c，d∈R．且a＞b，c＞d，根据同向不等式的可加性知，A正确；B、C、D三个选项分别令a、b、c、d取特殊值，可知它们不正确．‎ ‎【解答】解：A、设a，b，c，d∈R．且a＞b，c＞d，根据同向不等式的可加性知，A正确；‎ B、令a=2，b=0，c=0，d=﹣3，可知B、C不正确；‎ D、令a=﹣1，b=﹣2，c=﹣1，d=﹣2，可知D不正确．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎5．两座灯塔A，B与海洋观察站C的距离分别为a海里、2a海里，灯塔A在观察站的北偏东35°，灯塔B在观察站的南偏东25°，则灯塔A与灯塔B的距离为（　　）‎ A．3a海里 B． a海里 C． a海里 D． a海里 ‎【考点】解三角形的实际应用．‎ ‎【分析】先根据题意求得∠ACB，进而根据余弦定理求得AB．‎ ‎【解答】解：依题意知∠ACB=180°﹣25°﹣35°=120°，‎ 在△ABC中，由余弦定理知AB==a．‎ 即灯塔A与灯塔B的距离为a．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎6．△ABC中， ==，则△ABC一定是（　　）‎ A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 ‎【考点】正弦定理．‎ ‎【分析】由，利用正弦定理可得tanA=tanB=tanC，再利用三角函数的单调性即可得出．‎ ‎【解答】解：由正弦定理可得： =，‎ 又，‎ ‎∴tanA=tanB=tanC，‎ 又A，B，C∈（0，π），‎ ‎∴A=B=C=，‎ 则△ABC是等边三角形．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎7．等差数列{an}中，已知a1=，a2+a5=4，an=33，则n的值为（　　）‎ A．50 B．49 C．48 D．47‎ ‎【考点】等差数列的通项公式．‎ ‎【分析】设公差为d，由条件a1=，a2+a5=4，可求得d的值，再由an=33，利用等差数列的通项公式，求得n的值．‎ ‎【解答】解：设公差为d，‎ ‎∵a1=，a2+a5=4，∴a1+d+a1+4d=4，即+5d=4，可得d=．‎ 再由an=a1+（n﹣1）d=+（n﹣1）×=33，解得 n=50，‎ 故选 A．‎ ‎　‎ ‎8．数列{an}，an≠0，若a1=3，2an+1﹣an=0，则a5=（　　）‎ A． B． C．48 D．94‎ ‎【考点】数列递推式．‎ ‎【分析】利用等比数列的定义通项公式即可得出．‎ ‎【解答】解：∵a1=3，2an+1﹣an=0，an≠0，‎ ‎∴数列{an}是等比数列，公比为．‎ 则a5=3×=．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎9．若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（　　）‎ A．13项 B．12项 C．11项 D．10项 ‎【考点】等差数列的性质．‎ ‎【分析】先根据题意求出a1+an的值，再把这个值代入求和公式，进而求出数列的项数n．‎ ‎【解答】解：依题意a1+a2+a3=34，an+an﹣1+an﹣2=146‎ ‎∴a1+a2+a3+an+an﹣1+an﹣2=34+146=180‎ 又∵a1+an=a2+an﹣1=a3+an﹣2‎ ‎∴a1+an==60‎ ‎∴Sn===390‎ ‎∴n=13‎ 故选A ‎　‎ ‎10．下列函数中，最小值为4的是（　　）‎ A． B．（0＜x＜π）‎ C． D．y=log3x+4logx3‎ ‎【考点】基本不等式．‎ ‎【分析】通过给变量取特殊值，举反例可得选项A、D不正确，故可排除掉．对于选项B，使用基本不等式时，等号成立的条件不具备，故排除．剩下的一个选项可用基本不等式进行证明．‎ ‎【解答】解：当x＜0时，＜0，故选项A显然不满足条件．‎ 当 0＜x＜π时，sinx＞0时，≥4，当且仅当sinx=2时取等号，而sinx=2不可能，‎ 故有 y＞4，故选项B不满足条件．‎ 当log3x＜0时，y=log3x+4logx3＜0，故选项D不满足条件．‎ ‎∵ex＞0，∴ex+≥2=4，当且仅当 ex =2时，等号成立，故只有C 满足条件，‎ 故选 C．‎ ‎　‎ ‎11．设{an}（n∈N*）是等差数列，Sn是其前n项的和，且S5＜S6，S6=S7＞S8，则下列结论错误的是（　　）‎ A．d＜0 B．a7=0‎ C．S9＞S5 D．S6与S7均为Sn的最大值 ‎【考点】等差数列的前n项和．‎ ‎【分析】利用结论：n≥2时，an=sn﹣sn﹣1，易推出a6＞0，a7=0，a8＜0，然后逐一分析各选项，排除错误答案．‎ ‎【解答】解：由S5＜S6得a1+a2+a3+…+a5＜a1+a2++a5+a6，即a6＞0，‎ 又∵S6=S7，‎ ‎∴a1+a2+…+a6=a1+a2+…+a6+a7，‎ ‎∴a7=0，故B正确；‎ 同理由S7＞S8，得a8＜0，‎ ‎∵d=a7﹣a6＜0，故A正确；‎ 而C选项S9＞S5，即a6+a7+a8+a9＞0，可得2（a7+a8）＞0，由结论a7=0，a8＜0，显然C选项是错误的．‎ ‎∵S5＜S6，S6=S7＞S8，∴S6与S7均为Sn的最大值，故D正确；‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎12．设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn．若a1=d=1，则的最小值为（　　）‎ A．10 B． C． D． +2‎ ‎【考点】等差数列的前n项和．‎ ‎【分析】由已知条件推导出==，由此利用均值定理取最小值．‎ ‎【解答】解：∵等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn．a1=d=1，‎ ‎∴=‎ ‎=1++‎ ‎=‎ ‎≥+=，‎ 当且仅当，即n=4时，取最小值．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=1，b=2，cosC=，则sinB=　　．‎ ‎【考点】余弦定理；同角三角函数间的基本关系．‎ ‎【分析】由C为三角形的内角，及cosC的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值，再由a与b的值，利用余弦定理列出关于c的方程，求出方程的解得到c的值，再由sinC，c及b的值，利用正弦定理即可求出sinB的值．‎ ‎【解答】解：∵C为三角形的内角，cosC=，‎ ‎∴sinC==，‎ 又a=1，b=2，‎ ‎∴由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC得：c2=1+4﹣1=4，‎ 解得：c=2，‎ 又sinC=，c=2，b=2，‎ ‎∴由正弦定理=得：sinB===．‎ 故答案为：‎ ‎　‎ ‎14．在项数为奇数的等差数列中，所有奇数项的和为175，所有偶数项的和为150，则这个数列共有　13　项．‎ ‎【考点】等差数列的前n项和．‎ ‎【分析】设此等差数列为{an}，则a1+a3+…+a2n+1=175，a2+a4+…+a2n=150，可得nd﹣a2n+1=﹣25，即an+1=25， =（2n+1）an+1=325，联立解出即可得出．‎ ‎【解答】解：设此等差数列为{an}，则a1+a3+…+a2n+1=175，a2+a4+…+a2n=150，‎ 则nd﹣a2n+1=﹣25，即an+1=25， =（2n+1）an+1=325，‎ ‎∴（2n+1）×25=325，解得n=6．‎ ‎∴此数列共有13项．‎ 故答案为：13．‎ ‎　‎ ‎15．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，公比q=，a8=1，则S8=　255　．‎ ‎【考点】等比数列的前n项和．‎ ‎【分析】利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．‎ ‎【解答】解：∵q=，a8=1，∴=1，解得a1=27=128．‎ ‎∴S8==255．‎ 故答案为：255．‎ ‎　‎ ‎16．若x＞2，则x+的最小值为　6　．‎ ‎【考点】基本不等式．‎ ‎【分析】本题可以配成积为定值形式，然后用基本不等式得到本题结论．‎ ‎【解答】解：∵x＞2，‎ ‎∴x﹣2＞0．‎ ‎∴x+=≥=6．‎ 当且仅当，即x=4时，取最小值．‎ 故答案为6．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．在△ABC中，B=45°，AC=，cosC=，求BC的长．‎ ‎【考点】余弦定理；正弦定理．‎ ‎【分析】如图所示，过A作AD⊥BC，可得出三角形ABD为等腰直角三角形，即AD=BD，在直角三角形ADC中，由cosC的值求出sinC的值，利用正弦定理求出AD的长，进而利用勾股定理求出DC的长，由BD+DC即可求出BC的长．‎ ‎【解答】解：如图所示，过A作AD⊥BC，‎ 在Rt△ABD中，B=45°，‎ ‎∴△ABD为等腰直角三角形，即AD=BD，‎ 在Rt△ADC中，cosC=，‎ ‎∴sinC==，‎ 由正弦定理=，即AD==，‎ 利用勾股定理得：DC==2，‎ 则BC=BD+DC=AD+DC=3．‎ ‎　‎ ‎18．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S5=35，a5和a7的等差中项为13．‎ ‎（1）求an及Sn；‎ ‎（2）令bn=（n∈N*），求数列{bn}的前项和Tn．‎ ‎【考点】数列的求和；等差数列的性质．‎ ‎【分析】（1）通过设等差数列{an}的公差为d，利用S5=5a3=35、a5+a7=26解得可知首项和公差，代入公式计算即得结论；‎ ‎（2）通过（1）可知an=2n+1，进而裂项、并项相加即得结论．‎ ‎【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，‎ 因为S5=5a3=35，a5+a7=26，…‎ 所以，解得a1=3，d=2，…‎ 所以an=3+2（n﹣1）=2n+1，…‎ ‎，…‎ ‎（2）由（1）知an=2n+1，‎ 所以，…‎ 所以．…‎ ‎　‎ ‎19．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（2b﹣c）cosA﹣acosC=0．‎ ‎（Ⅰ）求角A的大小；‎ ‎（Ⅱ）若a=2，△ABC的面积为，求b，c．‎ ‎【考点】正弦定理；余弦定理．‎ ‎【分析】（Ⅰ）法一：由已知及正弦定理，三角函数恒等变换的应用，化简可得cosA，结合范围A∈（0，π），由特殊角的三角函数值即可得解A的值．‎ 法二：由已知及余弦定理，整理可求cosA，结合范围A∈（0，π），由特殊角的三角函数值即可得解A的值．‎ ‎（Ⅱ）利用三角形面积公式可求bc的值，进而利用余弦定理可求b2+c2=8，联立即可得解b，c的值．‎ ‎【解答】（本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）法一：‎ 由（2b﹣c）cosA﹣acosC=0及正弦定理得（2sinB﹣sinC）cosA﹣sinAcosC=0，‎ 所以2sinBcosA﹣sin（A+C）=0，…‎ 因为sinB=sin（A+C）＞0，‎ 所以，…‎ 因为A∈（0，π），所以．…‎ 法二：‎ 由（2b﹣c）cosA﹣acosC=0及余弦定理得，‎ 整理得b2+c2﹣a2=bc，…‎ 从而，…‎ 因为A∈（0，π），所以．…‎ ‎（Ⅱ）△ABC的面积，故bc=4．…‎ 而a2=b2+c2﹣2bccosA=4，‎ 故b2+c2=8，…‎ 所以b=c=2．…‎ ‎　‎ ‎20．已知数列{an}的前n项和为Sn=2n2﹣30n．‎ ‎（1）这个数列是等差数列吗？求出它的通项公式；‎ ‎（2）求使得Sn最小的序号n的值．‎ ‎【考点】数列递推式．‎ ‎【分析】（1）n≥2，，an=Sn﹣Sn﹣1=4n﹣32，由此能求出结果．‎ ‎（2），由此能求出结果．‎ ‎【解答】解：（1）∵数列{an}的前n项和为Sn=2n2﹣30n．‎ ‎∴n≥2，，‎ an=Sn﹣Sn﹣1=4n﹣32，‎ n=1时，a1=S1=﹣28，也适合上式，‎ ‎∴这个数列的通项公式为an=4n﹣32．‎ 又∵n≥2，an﹣an﹣1=（4n﹣32）﹣[4（n﹣1）﹣32]=4，‎ ‎∴{an}是等差数列．‎ ‎（2），‎ 又∵n是正整数，‎ ‎∴n=7或8时，Sn最小，‎ 最小值是S7=S8=2×﹣=﹣112．‎ ‎　‎ ‎21．某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3，深为3m，如果池底每1m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？‎ ‎【考点】基本不等式在最值问题中的应用．‎ ‎【分析】此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然后求函数的最值，其中用到了均值不等式定理．‎ ‎【解答】解：设水池底面一边的长度为xm，水池的总造价为y元，则底面积为m2，‎ 池底的造价为1600×150=240000元，‎ 则y=240000+720（x+）≥240000+720×2‎ ‎=240000+720×2×40=297600，‎ 当且仅当x=，即x=40时，y有最小值297600（元）‎ 答：当水池的底面是边长为40m的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元．‎ ‎　‎ ‎22．已知数列{an}的首项a1=1，且an+1=2an+3，n∈N+‎ ‎（1）求证：数列{an+3}是等比数列；‎ ‎（2）求数列{n（an+3）}的前n项和Tn．‎ ‎【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．‎ ‎【分析】（1）an+1+3=2an+3+3，即an+1+3=2（an+3），由等比数列的定义，即可证数列{an+3}是等比数列；‎ ‎（2）根据（1）由等比数列的通项公式，求出an+3，利用错位相减法，结合等比数列的求和公式，求出前n项和Tn．‎ ‎【解答】解：（1）an+1+3=2an+3+3，即an+1+3=2（an+3），‎ ‎∴，又a1+3=4≠0，‎ ‎∴数列{an+3}是首项为4，公比为2的等比数列；‎ ‎（2）由（1）得an+3=4•2n﹣1=2n+1，‎ ‎∴n（an+3）=n•2n+1，‎ Tn=1×22+2×23+3×24+…+n•2n+1，①‎ ‎2Tn=1×23+2×24+…+（n﹣1）•2n+1+n•2n+2，②‎ ‎①﹣②得：﹣Tn=4+23+24+…+2n+1﹣n•2n+2=4+﹣n•2n+2‎ ‎=﹣4+（1﹣n）•2n+2，‎ ‎∴Tn=2n+2（n﹣1）+4．‎ ‎　‎ ‎2017年1月15日