数学理卷·2018届河北省石家庄二中高三上学期期中考试（2017 10页

‎2017-2018学年第一学期期中考试 高三数学（理）‎ 一． 选择题（每题5分，共计60分）‎ ‎1. .设集合A={x|x2+x﹣6＜0}，B={x|x＜0}，则=（ ）‎ A．{x|0< x<2} B．{x|} C．{x|﹣3＜x＜0} D．{x|x>0}‎ ‎2. 已知z∈C，若，则z所对应的点在（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3. 设p：在（2，+∞）内单调递增，q：，则p是q的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4.已知实数x，y满足条件，则z=x+y的最小值为（ ）‎ A．B．4 C．2 D．3‎ ‎5.Sn为等差数列{an}的前n项和，S9=﹣36，S13=﹣104，等比数列{bn}中，b5=a5，b7=a7，则b6等于（ ）‎ A． B．﹣ C．± D．无法确定 ‎6.如图，某几何体的三视图中，俯视图是边长为2的正三角形，正视图和左视图分别为直角梯形和直角三角形，则该几何体的体积为（ ）‎ ‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎7.设P为直线上的动点，过点P作圆C：‎ 的两条切线，切点分别为A，B，则四边形PACB的面积的最小值为（ ）‎ A．1 B． C． D．‎ ‎8. 已知周期为2的函数在区间 上的解析式为．若在区间 ‎[﹣2，3]上关于x的方程ax+2a﹣f（x）=0恰有四个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．（1，2）‎ ‎9.如图，在四棱锥C﹣ABOD中，CO⊥平面ABOD，AB∥OD，OB⊥OD，且AB=2OD=12，AD=6，异面直线CD与AB所成角为30°，点O，B，C，D都在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎ ‎ ‎10.如图是函数y=Asin（ωx+ϕ）（x∈R，A＞0，ω＞0，0＜ϕ＜）在区间[－]‎ 上的图象，为了得到这个函数的图象，只需将y=cosx（x∈R）的图象上的所有的点（ ）‎ ‎ ‎ A．向右平移 个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的，纵坐标不变 B．向右平移个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变 C．向右平移个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的，纵坐标不变 D．向右平移个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变 ‎11.已知定义在R上的函数y=f（x）满足条件，且函数 是奇函数，由下列四个命题中不正确的是（ ）‎ A．函数f（x）是周期函数 B．函数f（x）的图象关于点对称 C．函数f（x）是偶函数 D．函数f（x）的图象关于直线对称 12. 已知函数f（x），若对，f（x）≥0恒成立，则实数a的取值范围是（ ）‎ A． B．a＜2 C． D．‎ 二．填空题（每题5分，共计20分）‎ ‎13. “干支纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸十个符号叫天干，子、丑、寅、卯、巳、午、未、申、酉、戌、亥十二个符号叫地支.把干支顺序相配正好六十为一周，周而复始，循环记录，这就是俗称的“干支表”.比如2015年是“干支纪年法”中的乙未年，2016年是“干支纪年法”中的丙申年，那么2017年是“干支纪年法”中的_________‎ ‎14.若直线始终平分圆M：的周长，则的最小值为_________.‎ ‎15. 已知△是边长为1的等边三角形，点分别是边的中点，连接并延长到点，使得，则的值为______________ ‎ ‎16.已知， 分别是双曲线的左、右焦点，过与双曲线的一条渐近线平行的直线交另一条渐近线于点，若为锐角，则双曲线离心率的取值范围是_____________‎ 三．解答题（共6个题，共计70分）‎ ‎17.（满分10分）设.‎ ‎(1)求的单调递增区间；‎ ‎(2)锐角中，角的对边分别为，若，，，求的值.‎ ‎18.（满分12分）已知数列的前项和，且是与的等差中项.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，求数列的前项和.‎ ‎19.（满分12分）如图和均为等腰直角三角形， ， ，平面平面， 平面， ， ‎ ‎ ‎ ‎（1）证明： ；‎ ‎（2）求二面角的余弦值.‎ ‎20.（满分12分）已知函数，（）.‎ ‎（1）若，恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（2）设函数，若在上有两个零点，求实数的取值范围.‎ ‎21.（满分12分）已知椭圆过点，其离心率为.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）直线与相交于两点，在轴上是否存在点，使为正三角形，若存在，求直线的方程；若不存在，请说明理由.‎ ‎22.（满分12分）设函数．‎ ‎（1）讨论函数的单调性；‎ ‎（2）当时，求证：对任意，都有．‎ ‎ ‎ 期中考试答案（理科数学）‎ 一． 选择题（每题5分，共计60分）‎ ‎ 1---5 CABCC; 6--10 ADACC; 11--12 DA 二． 填空题（每题5分，共计20分）‎ ‎13. 丁酉年 14. 16; 15. ; 16. ‎ ‎ ‎ 三．（共计70分）‎ ‎17. 解析：‎ ‎（1）由题意知 ‎ ，……………………………………………….3分 由 可得 所以函数 的单调递增区间是…………………5分 ‎（2）由得，又为锐角，所以 ……………6分 由余弦定理得： ，即，.………………….8分 即 ，而，所以………………….10分 ‎18. 解析：‎ ‎（1）∵an是2与Sn的等差中项，‎ ‎∴2an＝2＋Sn， ①‎ ‎∴2an－1＝2＋Sn－1，(n≥2) ②.………………….2分 ‎①－②得，2an－2an－1＝Sn－Sn－1＝an，‎ 即 ＝2(n≥2)．.………………….4分 在①式中，令n＝1得，a1＝2．‎ ‎∴数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，………………………………5分 ‎∴an＝2n. . ………………………………………………………………………………………………….6分 ‎（2）bn＝＝．‎ 所以Tn＝＋＋＋…＋＋， ①‎ 则Tn＝＋＋＋…＋＋， ②.………………….7分 ‎①－②得，‎ Tn＝＋＋＋＋…＋－ …………………8分 ‎＝＋2(＋＋＋…＋)－‎ ‎＝＋2×－ ‎ ‎＝－．.………………….10分 所以Tn＝3－． .………………….12分 ‎19. 解析：（1）证明：设的中点为，连结，‎ 因为为等腰直角三角形， ，‎ 所以，‎ 又 ，‎ 所以平面 .………………….2分 因为平面⊥平面，平面平面，‎ 平面， ‎ 所以 ⊥平面 又平面，所以. ‎ 所以可确定唯一确定的平面. .………………….4分 又平面, . .…………………5分 ‎ ‎（2）以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 则 ， ， ， ， ，‎ ‎， . .………………….6分 设平面的法向量，‎ 则，即，令，得，.…………………8分 设平面的法向量，‎ 则，即，令，得，.…………………10分 设二面角平面角为，则，.………………11分 所以二面角的余弦值为． .………………….12分 ‎20. （1）由题意，得的定义域为，‎ ‎. ….………………….2分 ‎，∴、随的变化情况如下表：‎ ‎0‎ 单调递减 极小值 单调递增 ‎ ‎ 所以. ….…………………4分 ‎ 在上恒成立，∴.….………………….5分 ‎（2）函数在上有两个零点，等价于方程在上有两个解.‎ 化简，得. ….………………….6分 设. 则， ‎ ‎， 、随的变化情况如下表:‎ ‎1‎ ‎3‎ 单调递增 单调递减 单调递增 ‎….………………….….…………………..………………….….…………………….….…………………8分 且， ， ，‎ ‎. ….………………….10分 所以，当时， 在上有两个解.‎ 故实数的取值范围是.….………………….12分 ‎21`.答案：解析（1）设椭圆的焦距为，由题意可得：解得，，，‎ 故椭圆方程为：.…………….4分 ‎（2）由椭圆的对称性，此定点必在轴上，…………….6分 设定点，直线的方程：，‎ 由可得，‎ 又直线与椭圆有且只有一个公共点，故，即.……………8分 由得，同理得.…………….9分 则 ，‎ ‎，则以线段为直径的圆恒过定点或，即是椭圆的两个焦点. …….12分 ‎ ‎ ‎22. 解析：（1），定义域为， ‎ ‎．………………………………………………2分 ‎① 当时， ，故函数在上单调递减； ‎ ‎② 当时，令，得 x ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ 综上所述，当时， 在上单调递减；当时，函数在上单调递减，在上单调递增． …………………………5分 ‎（2）当时，由第一问可知，函数在上单调递减，‎ 显然， ，故，‎ 所以函数在上单调递减，………………7分 因为对任意，都有，所以．‎ 所以，即，……………9分 所以，即，‎ 所以，即，‎ 所以．…………………………………………12分 ‎ ‎