高中数学选修2-2教学课件1_3_3 函数的最大（小）值与导数 22页

1.3.3 函数的最大（小）值与导数 汽油的消耗量（单位：L）与 汽车的速度（单位：km/h） 之间有一定的关系，汽油的 消耗量是汽车速度的函数． 根据你的生活经验，思考 下面两个问题： （ 1 ） 是不是汽车的速度越快，汽油 的消耗量越大 ； （ 2 ） “汽油的使用率最高”的含义是什么？ 解析 : （ 1 ）显然不是； （ 2 ）行驶里程一定 , 汽油消耗量最小 . 今天我们来学习有关最大值与最小值的问题！ 飞驰的汽车 1. 借助函数图象，直观地理解函数的最大值和 最小值概念 . 2. 弄清函数最大值、最小值与极大值、极小值 的区别与联系，理解和熟悉函数必有最大值 和最小值的充分条件 . ( 重点 ) 3. 掌握求在闭区间上连续的函数的最大值和 最小值的思想方法和步骤 . ( 难点 ) 在社会生活实践中，为了发挥最大的经济效益，常常遇到如何能使用料最省、产量最高、效益最大等问题，这些问题的解决常常可转化为求一个函数的最大值和最小值问题 . 函数在什么条件下一定有最大、最小值？它们与函数极值关系如何？ 极值是一个局部概念，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小 , 并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小 . 探究点 函数的最大（小）值与导数 一般地，设函数 y=f(x) 的定义域为 I ，如果存在实数 M 满足： 最大值与最小值的概念 （ 1 ）对于任意的 x∈I ，都有 f(x)≤M; （ 2 ）存在 x 0 ∈I ，使得 f(x 0 ) = M 那么，称 M 是函数 y=f(x) 的最大值 . 一般地，设函数 y=f(x) 的定义域为 I ，如果存在实数 M 满足： （ 1 ）对于任意的 x∈I ，都有 f(x)≥M; （ 2 ）存在 x 0 ∈I ，使得 f(x 0 ) = M 那么，称 M 是函数 y=f(x) 的最小值 . 4 例 2 求函数 y ＝ x 4 － 2 x 2 ＋ 5 在区间 [-2,2] 上的最大值与最小值 . 解 : 令 , 解得 x =-1 ， 0 ， 1. 当 x 变化时 , 的变化情况如下表 : 从上表可知，最大值是 13 ，最小值是 4. 13 4 5 ↗ 4 ↘ 13 0 － 0 ＋ 0 － 2 (1,2) 1 (0,1) 0 (-1,0) -1 (-2,-1) -2 y x y ¢ ＋ ↘ ↗ 1. 函数的最值概念是全局性的 2. 函数的最大值（最小值）唯一 3. 函数的最值可在端点处取得 总结提升 函数 f(x)=x ³-3x+1 在闭区间 [-3,0] 上的最大值、 最小值分别是（ ） 1 ，－ 1 B. 1 ， -17 C. 3 ， -17 D. 9 ， -19 C 2. 函数 f(x) 的定义域为 R ，导函数 f ′ (x) 的图象 如图，则函数 f(x) （ ） 无极大值点，有两个极小值点 有三个极大值点，两个极小值点 有两个极大值点，两个极小值点 有四个极大值点， 无极小值点 C x o y f ´(x) 3. 设函数 则 （ ） A ．有最大值 B ． 有最小值 C ． 是增函数 D ． 是减函数 A A 5. 已知 f(x)=2x 3 -6x 2 +m （ m 为常数），在 [-2 , 2] 上 有最大值 3 ，函数在 [-2 , 2] 上的最小值为 ____. -37 6. 函数 f(x)=x 3 +ax+b ，满足 f(0)=0 ，且在 x=1 时取 得极小值，则实数 a 的值为 _____. -3 7. 若函数 的最大值为 3, 最小值为 -29, 求 a,b 的值 . 解 : 令 得 x=0, x=4 （舍去） . 当 x 变化时 , ,f(x) 的变化情况如下表 : x -1 (-1,0) 0 (0,2) 2 f’(x) + 0 - 0 f(x) -7a+b ↗ b ↘ -16a+b 由表知 , 当 x=0 时 ,f(x) 取得最大值 b, 故 b=3. 又 f(-1)-f(2)=9a>0, 所以 f(x) 的最小值为 f(2)=-16a+3=-29, 故 a=2. 1. 求在 [a,b] 上连续 ,(a,b) 上可导的函数 f(x) 在 [a,b] 上的最值的步骤 : (1) 求 f(x) 在 (a,b) 内的极值 ; (2) 将 f(x) 的各极值与 f(a) ， f(b) 比较 , 其中最大的一个是最大值 , 最小的一个是最小值 . 一是利用函数性质 二是利用不等式 三是利用导数 2. 求函数最值的一般方法： 3. 求函数的最值时 , 应注意以下几点 : (1) 要正确区分极值与最值这两个概念 . (2) 在 [a,b] 上连续 ,(a,b) 上可导的函数 f(x) 在 (a,b) 内未必有最大值与最小值 . (3) 一旦给出的函数在 (a,b) 上有个别不可导点的话 , 不要忘记在步骤 (2) 中 , 要把这些点的函数值与各极值和 f(a) ， f(b) 放在一起比较 . 苦心人，天不负，卧薪尝胆，三千越甲可吞吴 .