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- 2021-06-20 发布
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课时提升作业(十九)
数学归纳法
一、选择题(每小题3分，共18分)
1.某同学回答“用数学归纳法证明-.假设n=k时，不等式成立，则当n=k+1时，应推证的目标不等式是_______________________.
【解析】从不等式结构看，左边n=k+1时，最后一项为，前面的分母的底数是连续的整数.右边n=k+1时，式子-.即不等式为++…+>-.
答案：++…++>-
9.(2014·武汉高二检测)用数学归纳法证明12+22+…+(n-1)2+n2+(n-1)2+…+22+12=时，由n=k的假设到证明n=k+1时，等式左边应添加的式子是____________________.
【解析】根据等式左边的特点，各数是先递增再递减，由于n=k，左边=12+22+…
+(k-1)2+k2+(k-1)2+…+22+12，n=k+1时，左边=12+22+…+(k-1)2+k2+(k+1)2+k2+(k-1)2+…+22+12，比较两式，从而等式左边应添加的式子是(k+1)2+k2.
答案：(k+1)2+k2
三、解答题(每小题10分，共20分)
10.用数学归纳法证明1×4+2×7+3×10+…+n(3n+1)=n(n+1)2(其中n∈N*).
【证明】(1)当n=1时，左边=1×4=4，右边=1×22=4，
左边=右边，等式成立.
(2)假设当n=k(k≥1，k∈N*)时等式成立，即1×4+2×7+3×10+…+k(3k+1)=k(k+1)2，那么，当n=k+1时，
1×4+2×7+3×10+…+k(3k+1)+(k+1)·[3(k+1)+1]
=k(k+1)2+(k+1)[3(k+1)+1]
=(k+1)·(k2+4k+4)=(k+1)[(k+1)+1]2，
即当n=k+1时等式也成立.
根据(1)和(2)，可知等式对任意n∈N*都成立.
11.(2014·莆田高二检测)设函数y=f(x)对任意实数x，y都有f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy.
(1)求f(0)的值.
(2)若f(1)=1，求f(2)，f(3)，f(4)的值.
(3)在(2)的条件下，猜想f(n)(n∈N*)的表达式，并用数学归纳法加以证明.
【解析】(1)令x=y=0，得f(0+0)=f(0)+f(0)+2×0×0⇒f(0)=0.
(2)f(1)=1，f(2)=f(1+1)=1+1+2=4，
f(3)=f(2+1)=4+1+2×2×1=9，
f(4)=f(3+1)=9+1+2×3×1=16.
(3)猜想f(n)=n2，下面用数学归纳法证明.
当n=1时，f(1)=1满足条件.
假设当n=k(k∈N*)时成立，即f(k)=k2，
则当n=k+1时，f(k+1)=f(k)+f(1)+2k=k2+1+2k=(k+1)2，从而可得当n=k+1时满足条件，所以对任意的正整数n，都有f(n)=n2.
一、选择题(每小题4分，共16分)
1.(2014·长春高二检测)用数学归纳法证明等式1+2+3+…+(n+3)=(n∈N*)时，第一步验证n=1时，左边应取的项是( )
A.1 B.1+2
C.1+2+3 D.1+2+3+4
【解析】选D.在等式1+2+3+…+(n+3)=(n∈N*)中，当n=1时，n+3=4，而等式左边是起始为1的连续的正整数的和，故当n=1时，等式左边的项为1+2+3+4，故选D.
2.用数学归纳法证明1+2+3+…+n2=，则当n=k+1时，左端应在n=k的基础上增加( )
A.k2+1
B.(k+1)2
C.
D.(k2+1)+(k2+2)+(k2+3)+…+(k+1)2
【解析】选D.当n=k时，等式左端=1+2+…+k2，当n=k+1时，等式左端=1+2+…+k2+(k2+1)+(k2+2)+(k2+3)+…+(k+1)2，增加了2k+1项.
3.已知n为正偶数，用数学归纳法证明1-+-+…+-=2时，若已假设n=k(k≥2且k为偶数)时，命题为真，则还需利用归纳假设再证
( )
A.n=k+1时等式成立
B.n=k+2时等式成立
C.n=2k+2时等式成立
D.n=2(k+2)时等式成立
【解析】选B.由于k为偶数，所以利用归纳假设证明时需证n=k+2时等式成立.
4.(2014·吉林高二检测)已知f(n)=(2n+7)·3n+9，存在自然数m，使得对任意n∈N*，都能使m整除f(n)，则m的最大值为( )
A.30 B.26 C.36 D.6
【解析】选C.因为f(1)=36，f(2)=108=3×36，f(3)=360=10×36，所以f(1)，f(2)，f(3)都能被36整除，推测最大的m的值为36，再由数学归纳法可证得，对任意n∈N*，都能使36整除f(n).
二、填空题(每小题5分，共10分)
5.设数列的通项公式为an=，前n项和为Sn，则S1=__________，S2=__________，S3=__________，S4=__________，并由此猜想出Sn=__________.
【解析】因为an=，所以S1=a1=，S2=a1+a2=+=，S3=a1+a2+a3=++=，S4=a1+a2+a3+a4=+++=，由此猜想Sn=.
答案：
6.已知1+2×3+3×32+4×33+…+n·3n-1=3n(na-b)+c对一切n∈N*成立，那么a=________，b=________，c=________.
【解题指南】利用n=1，2，3，分别建立三个等式，通过解方程组可求得.
【解析】把n=1，2，3代入1+2×3+3×32+4×33+…+n·3n-1=3n(na-b)+c，可得
整理并解得
答案：
【变式训练】设an=1+++…+(n∈N*)，猜想关于n的整式g(n)=________时，使得等式a1+a2+…+an-1=g(n)(an-1)对于大于1的一切正整数n都成立.
【解析】假设g(n)存在，探索g(n).
当n=2时，有a1=g(2)(a2-1)，
即1=g(2)(1+-1)，解得g(2)=2.
当n=3时，有a1+a2=g(3)(a3-1)，
即1+1+=g(3)(1++-1)，解得g(3)=3.
当n=4时，同样可解得g(4)=4.
由此猜想g(n)=n(n∈N*，且n≥2).
答案：n
三、解答题(每小题12分，共24分)
7.(2014·南昌高二检测)用数学归纳法证明tanα·tan2α+tan2α·tan3α+…+tan(n-1)α·tannα=-n(n≥2，n∈N*).
【证明】①当n=2时，左边=tanα·tan2α.
右边=-2=·-2
=-2
===tanα·tan2α.
所以左边=右边，等式成立.
②假设n=k(k≥2，k∈N*)时等式成立，即有tanα·tan2α+tan2α·tan3α+…+tan(k-1)α·tankα=-k.
当n=k+1时，利用归纳假设有，
tanα·tan2α+tan2α·tan3α+…+tan(k-1)α·tankα+tankα·tan(k+1)α
=-k+tankα·tan(k+1)α
=-k
=[tan(k+1)α-tanα]-k
=-(k+1)，
所以n=k+1时，等式也成立，
故由①和②知，n≥2，n∈N*时等式恒成立.
【变式训练】用数学归纳法证明12+32+52+…+(2n-1)2=n(4n2-1)(n∈N*).
【证明】(1)当n=1时，左边=12，右边=×1×(4×1-1)=1，
左边=右边，等式成立.
(2)假设当n=k(k∈N*，k≥1)时，等式成立，
即12+32+52+…+(2k-1)2=k(4k2-1)，
则当n=k+1时，
12+32+52+…+(2k-1)2+(2k+1)2
=k(4k2-1)+(2k+1)2
=k(2k+1)(2k-1)+(2k+1)2
=(2k+1)[k(2k-1)+3(2k+1)]
=(2k+1)(2k2+5k+3)
=(2k+1)(k+1)(2k+3)
=(k+1)(4k2+8k+3)
=(k+1)[4(k+1)2-1]，
即当n=k+1时，等式成立.
由(1)，(2)可知，对一切n∈N*等式成立.
8.等比数列{an}的前n项和为Sn，已知对任意的n∈N*，点(n，Sn)均在函数y=bx+r(b>0且b≠1，b，r均为常数)的图象上.
(1)求r的值.
(2)当b=2时，记bn=2(log2an+1)(n∈N*)，证明：对任意的n∈N*，不等式··…·>成立.
【解析】(1)由题意，Sn=bn+r，
当n≥2时，Sn-1=bn-1+r，
所以an=Sn-Sn-1=bn-1(b-1).
由于b>0且b≠1，所以n≥2时，{an}是以b为公比的等比数列.
又a1=b+r，a2=b(b-1)，=b，
即=b，解得r=-1.
(2)由(1)知an=2n-1，因此bn=2n(n∈N*).
所证不等式为··…·>.
①当n=1时，左边=，右边=，左边>右边，所以结论成立.
②假设n=k(k∈N*)时结论成立，即··…·>，则当n=k+1时，
··…··>·=，
要证当n=k+1时结论成立，只需证≥，即证≥.
由均值不等式知=≥成立，
故≥成立，所以当n=k+1时，结论成立.
由①②可知，n∈N*时，不等式··…·>成立.
【变式训练】设数列{an}的前n项和为Sn，且对任意n∈N*都有：(Sn-1)2=anSn.
(1)求S1，S2，S3.
(2)猜想Sn的表达式并证明.
【解析】(1)n≥2时，(Sn-1)2=(Sn-Sn-1)Sn，
所以Sn=.
又(S1-1)2=，所以S1=，S2=，S3=.
(2)猜想Sn=.下面用数学归纳法证明：
①当n=1时，S1=，=，猜想正确；
②假设当n=k(k∈N*)时，猜想正确，即Sk=，
那么，n=k+1时，由Sk+1===，猜想也成立，
综上知，Sn=对任意n∈N*均成立.
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