数学卷·2018届湖南省岳阳市岳阳一中高二上学期期中数学试卷（文科）+（解析版） 21页

‎2016-2017学年湖南省岳阳市岳阳一中高二（上）期中数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．某年级有1000名学生，随机编号为0001，0002，…，1000，现用系统抽样方法，从中抽出200人，若0122号被抽到了，则下列编号也被抽到的是（　　）‎ A．0116 B．0927 C．0834 D．0726‎ ‎2．命题“∃x0∈（0，+∞），lnx0=x0﹣1”的否定是（　　）‎ A．∃x0∈（0，+∞），lnx0≠x0﹣1 B．∃x0∉（0，+∞），lnx0=x0﹣1‎ C．∀x∈（0，+∞），lnx≠x﹣1 D．∀x∉（0，+∞），lnx=x﹣1‎ ‎3．已知椭圆的离心率，则实数k的值为（　　）‎ A．3 B．3或 C． D．或 ‎4．与直线2x﹣y+4=0的平行的抛物线y=x2的切线方程是（　　）‎ A．2x﹣y+3=0 B．2x﹣y﹣3=0 C．2x﹣y+1=0 D．2x﹣y﹣1=0‎ ‎5．已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=2xf′（1）+lnx，则f′（1）=（　　）‎ A．﹣e B．﹣1 C．1 D．e ‎6．中心在原点、焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是（　　）‎ A． +=1 B． +=1‎ C． +=1 D． +=1‎ ‎7．执行如图程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n=（　　）‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ ‎8．设F为抛物线C：y2=4x的焦点，曲线y=（k＞0）与C交于点P，PF⊥x轴，则k=（　　）‎ A． B．1 C． D．2‎ ‎9．已知双曲线﹣=1的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于（　　）‎ A． B． C．3 D．5‎ ‎10．非空数集A={a1，a2，a3，…，an}（n∈N*）中，所有元素的算术平均数记为E（A），即E（A）=．若非空数集B满足下列两个条件：‎ ‎①B⊆A；‎ ‎②E（B）=E（A），则称B为A的一个“保均值子集”．‎ 据此，集合{1，2，3，4，5}的“保均值子集”有（　　）‎ A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 ‎11．“a＞1”是“函数f（x）=ax﹣2（a＞0且a≠1）在区间（0，+∞）上存在零点”的（　　）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎12．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|=4|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13．已知函数f（x）=，则f（f（））的值为　　．‎ ‎14．已知f（x）=x3﹣3x+8，则曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线斜率为　　．‎ ‎15．在区间[0，9]上随机取一实数x，则该实数x满足不等式1≤log2x≤2的概率为　　．‎ ‎16．过抛物线y2=2x的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若，则|AF|=　　．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17．设，若“a=1”是“A∩B≠Φ”的充分条件，则实数b的取值范围是　　．‎ ‎18．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，实轴长为2．‎ ‎（1）求双曲线C的方程； ‎ ‎（2）若直线y=x+m被双曲线C截得的弦长为，求m的值．‎ ‎19．某校随机抽取100名学生调查寒假期间学生平均每天的学习时间，被调查的学生每天用于学习的时间介于1小时和11小时之间，按学生的学习时间分成5组：第一组[1，3），第二组[3，5），第三组[5，7），第四组[7，9），第五组[9，11]，绘制成如图所示的频率分布直方图．‎ ‎（Ⅰ）求学习时间在[7，9）的学生人数；‎ ‎（Ⅱ）现要从第三组、第四组中用分层抽样的方法抽取6人，从这6人中随机抽取2人交流学习心得，求这2人中至少有1人的学习时间在第四组的概率．‎ ‎20．已知函数f（x）=x2+（x≠0，a∈R）．‎ ‎（1）判断函数f（x）的奇偶性；‎ ‎（2）若f（x）在区间[2，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围．‎ ‎21．已知在平面直角坐标系xOy中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为F（﹣，0），且右顶点为D（2，0）．设点A的坐标是（1，）．‎ ‎（1）求该椭圆的标准方程；‎ ‎（2）过原点O的直线交椭圆于点B、C，求△ABC面积的最大值．‎ ‎22．设函数，曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为7x﹣4y﹣12=0．‎ ‎（1）求y=f（x）的解析式；‎ ‎（2）证明：曲线y=f（x）上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为定值，并求此定值．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年湖南省岳阳市岳阳一中高二（上）期中数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．某年级有1000名学生，随机编号为0001，0002，…，1000，现用系统抽样方法，从中抽出200人，若0122号被抽到了，则下列编号也被抽到的是（　　）‎ A．0116 B．0927 C．0834 D．0726‎ ‎【考点】系统抽样方法．‎ ‎【分析】根据系统抽样的定义求出样本间隔即可．‎ ‎【解答】解：样本间隔为1000÷200=5，‎ 因为122÷5=24余2，故抽取的余数应该是2的号码，‎ ‎116÷5=23余1，927÷5=185余2，834÷5=166余4，726÷5=145余1，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎2．命题“∃x0∈（0，+∞），lnx0=x0﹣1”的否定是（　　）‎ A．∃x0∈（0，+∞），lnx0≠x0﹣1 B．∃x0∉（0，+∞），lnx0=x0﹣1‎ C．∀x∈（0，+∞），lnx≠x﹣1 D．∀x∉（0，+∞），lnx=x﹣1‎ ‎【考点】命题的否定．‎ ‎【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论．‎ ‎【解答】解：命题的否定是：∀x∈（0，+∞），lnx≠x﹣1，‎ 故选：C ‎　‎ ‎3．已知椭圆的离心率，则实数k的值为（　　）‎ A．3 B．3或 C． D．或 ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】当K＞5时，由 e===求得K值，当0＜K＜5时，由 e===，求得K值．‎ ‎【解答】解：当K＞5时，e===，K=．‎ 当0＜K＜5时，e===，K=3． 综上，K=3，或．‎ ‎ 故选 B．‎ ‎　‎ ‎4．与直线2x﹣y+4=0的平行的抛物线y=x2的切线方程是（　　）‎ A．2x﹣y+3=0 B．2x﹣y﹣3=0 C．2x﹣y+1=0 D．2x﹣y﹣1=0‎ ‎【考点】两条直线平行的判定；直线的一般式方程．‎ ‎【分析】根据切线与直线2x﹣y+4=0的平行，可利用待定系数法设出切线，然后与抛物线联立方程组，使方程只有一解即可．‎ ‎【解答】解：由题意可设切线方程为2x﹣y+m=0‎ 联立方程组得x2﹣2x﹣m=0‎ ‎△=4+4m=0解得m=﹣1，‎ ‎∴切线方程为2x﹣y﹣1=0，‎ 故选D ‎　‎ ‎5．已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=2xf′（1）+lnx，则f′（1）=（　　）‎ A．﹣e B．﹣1 C．1 D．e ‎【考点】导数的乘法与除法法则；导数的加法与减法法则．‎ ‎【分析】已知函数f（x）的导函数为f′（x），利用求导公式对f（x）进行求导，再把x=1代入，即可求解；‎ ‎【解答】解：∵函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=2xf′（1）+ln x，（x＞0）‎ ‎∴f′（x）=2f′（1）+，把x=1代入f′（x）可得f′（1）=2f′（1）+1，‎ 解得f′（1）=﹣1，‎ 故选B；‎ ‎　‎ ‎6．中心在原点、焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是（　　）‎ A． +=1 B． +=1‎ C． +=1 D． +=1‎ ‎【考点】椭圆的简单性质；椭圆的标准方程．‎ ‎【分析】先根据长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，即可确定椭圆的几何量，从而可求椭圆的方程．‎ ‎【解答】解：∵长轴长为18‎ ‎∴2a=18，∴a=9，‎ 由题意，两个焦点恰好将长轴三等分 ‎∴2c=×2a=×18=6，‎ ‎∴c=3，‎ ‎∴a2=81，‎ ‎∴b2=a2﹣c2=81﹣9=72，‎ 故椭圆方程为 故选A．‎ ‎　‎ ‎7．执行如图程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n=（　　）‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ ‎【考点】程序框图．‎ ‎【分析】模拟执行程序，根据赋值语句的功能依次写出每次循环得到的a，b，s，n的值，当s=20时满足条件s＞16，退出循环，输出n的值为4．‎ ‎【解答】解：模拟执行程序，可得 a=4，b=6，n=0，s=0‎ 执行循环体，a=2，b=4，a=6，s=6，n=1‎ 不满足条件s＞16，执行循环体，a=﹣2，b=6，a=4，s=10，n=2‎ 不满足条件s＞16，执行循环体，a=2，b=4，a=6，s=16，n=3‎ 不满足条件s＞16，执行循环体，a=﹣2，b=6，a=4，s=20，n=4‎ 满足条件s＞16，退出循环，输出n的值为4．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎8．设F为抛物线C：y2=4x的焦点，曲线y=（k＞0）与C交于点P，PF⊥x轴，则k=（　　）‎ A． B．1 C． D．2‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】根据已知，结合抛物线的性质，求出P点坐标，再由反比例函数的性质，可得k值．‎ ‎【解答】解：抛物线C：y2=4x的焦点F为（1，0），‎ 曲线y=（k＞0）与C交于点P在第一象限，‎ 由PF⊥x轴得：P点横坐标为1，‎ 代入C得：P点纵坐标为2，‎ 故k=2，‎ 故选：D ‎　‎ ‎9．已知双曲线﹣=1的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于（　　）‎ A． B． C．3 D．5‎ ‎【考点】双曲线的简单性质；抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】确定抛物线y2=12x的焦点坐标，从而可得双曲线的一条渐近线方程，利用点到直线的距离公式，即可求双曲线的焦点到其渐近线的距离．‎ ‎【解答】解：抛物线y2=12x的焦点坐标为（3，0）‎ ‎∵双曲线的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合 ‎∴4+b2=9‎ ‎∴b2=5‎ ‎∴双曲线的一条渐近线方程为，即 ‎∴双曲线的焦点到其渐近线的距离等于 故选A．‎ ‎　‎ ‎10．非空数集A={a1，a2，a3，…，an}（n∈N*‎ ‎）中，所有元素的算术平均数记为E（A），即E（A）=．若非空数集B满足下列两个条件：‎ ‎①B⊆A；‎ ‎②E（B）=E（A），则称B为A的一个“保均值子集”．‎ 据此，集合{1，2，3，4，5}的“保均值子集”有（　　）‎ A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 ‎【考点】子集与交集、并集运算的转换；众数、中位数、平均数．‎ ‎【分析】根据集合A和“保均值子集”的定义把集合的非空真子集列举出来，即可得到个数．‎ ‎【解答】解：非空数集A={1，2，3，4，5}中，所有元素的算术平均数E（A）==3，‎ ‎∴集合A的“保均值子集”有：{3}，{1，5}，{2，4}，{3，1，5}，{3，2，4}，{1，5，2，4}，{1，2，3，4，5}共7个；‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎11．“a＞1”是“函数f（x）=ax﹣2（a＞0且a≠1）在区间（0，+∞）上存在零点”的（　　）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】我们可以根据充分、充要条件的定义进行判断．‎ ‎①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；‎ ‎②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；‎ ‎③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；‎ ‎④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．‎ ‎【解答】解：∵a＞1时，由ax﹣2=0，得x=loga2＞0，‎ ‎∴函数f（x）=ax﹣2（a＞0且a≠1）在区间（0，+∞）上存在零点loga2．‎ ‎∴“a＞1”是“函数f（x）=ax﹣2（a＞0且a≠1）在区间（0，+∞‎ ‎）上存在零点”的充分条件；‎ 反之，若函数f（x）=ax﹣2（a＞0且a≠1）在区间（0，+∞）上存在零点，则零点为loga2，‎ 由loga2＞0，得a＞1，‎ ‎∴“a＞1”是“函数f（x）=ax﹣2（a＞0且a≠1）在区间（0，+∞）上存在零点”的必要条件．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎12．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|=4|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=3|PF2|=2a，再根据点P在双曲线的右支上，|PF2|≥c﹣a，从而求得此双曲线的离心率e的最大值．‎ ‎【解答】解：∵P在双曲线的右支上，‎ ‎∴由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a，‎ ‎∵|PF1|=4|PF2|，‎ ‎∴4|PF2|﹣|PF2|=2a，即|PF2|=a，‎ 根据点P在双曲线的右支上，可得|PF2|=a≥c﹣a，∴a≥c，即e≤，‎ 此双曲线的离心率e的最大值为，‎ 故选：C ‎　‎ 二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13．已知函数f（x）=，则f（f（））的值为　e　．‎ ‎【考点】函数的值．‎ ‎【分析】先求出f（），从而求出f（f（））的值即可．‎ ‎【解答】解：∵f（）==2，‎ ‎∴f（f（））=f（2）=e2﹣1=e，‎ 故答案为：e．‎ ‎　‎ ‎14．已知f（x）=x3﹣3x+8，则曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线斜率为　9　．‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】求出函数的导数，令x=2即可得到切线的斜率．‎ ‎【解答】解：f（x）=x3﹣3x+8的导数为f′（x）=3x2﹣3，‎ 即有曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线斜率为k=3×22﹣3=9，‎ 故答案为：9．‎ ‎　‎ ‎15．在区间[0，9]上随机取一实数x，则该实数x满足不等式1≤log2x≤2的概率为　　．‎ ‎【考点】几何概型；指、对数不等式的解法．‎ ‎【分析】解不等式1≤log2x≤2，可得2≤x≤4，以长度为测度，即可求在区间[0，9]上随机取一实数x，该实数x满足不等式1≤log2x≤2的概率．‎ ‎【解答】解：本题属于几何概型 解不等式1≤log2x≤2，可得2≤x≤4，‎ ‎∴在区间[0，9]上随机取一实数x，该实数x满足不等式1≤log2x≤2的概率为 故答案为：‎ ‎　‎ ‎16．过抛物线y2=2x的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若，则|AF|=　　．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】设出点的坐标与直线的方程，利用抛物线的定义表示出|AF|、|BF|再联立直线与抛物线的方程利用根与系数的关系解决问题，即可得到答案．‎ ‎【解答】解：由题意可得：F（，0），设A（x1，y1），B（x2，y2）．‎ 因为过抛物线y2=2x的焦点F作直线l交抛物线于A、B两点，‎ 所以|AF|=+x1，|BF|=+x2．‎ 因为，所以x1+x2=‎ 设直线l的方程为y=k（x﹣），‎ 联立直线与抛物线的方程可得：k2x2﹣（k2+2）x+=0，‎ 所以x1+x2=．‎ ‎∴‎ ‎∴k2=24‎ ‎∴24x2﹣26x+6=0，‎ ‎∴，‎ ‎∴|AF|=+x1=‎ 故答案为：‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17．设，若“a=1”是“A∩B≠Φ”的充分条件，则实数b的取值范围是　（﹣2，2）　．‎ ‎【考点】绝对值不等式；必要条件、充分条件与充要条件的判断；其他不等式的解法．‎ ‎【分析】化简集合A、集合B，根据a=1时，A∩B≠Φ，可得b=0 满足条件，当b≠0时，应有 b﹣1＜﹣1＜b+1，或 b﹣1＜1＜b+1，‎ 分别求出b的范围后，再取并集，即得所求．‎ ‎【解答】解：∵={x|﹣1＜x＜1}，‎ B={x||x﹣b|＜a}={x|b﹣a＜x＜b+a}，‎ ‎∵“a=1”是“A∩B≠Φ”的充分条件，∴{x|﹣1＜x＜1}∩{x|b﹣1＜x＜b+1}≠Φ，‎ 当b=0时，A=B，满足条件．‎ 当b≠0时，应有 b﹣1＜﹣1＜b+1，或 b﹣1＜1＜b+1．‎ 解得﹣2＜b＜0，或 0＜b＜2．‎ 综上可得﹣2＜b＜2，‎ 故答案为 （﹣2，2）．‎ ‎　‎ ‎18．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，实轴长为2．‎ ‎（1）求双曲线C的方程； ‎ ‎（2）若直线y=x+m被双曲线C截得的弦长为，求m的值．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．‎ ‎【分析】（1）由离心率为，实轴长为2．可得，2a=2，再利用b2=c2﹣a2=2即可得出．‎ ‎（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），与双曲线的联立可得x2﹣2mx﹣m2﹣2=0，利用根与系数的关系可得|AB|===4，即可得出．‎ ‎【解答】解：（1）由离心率为，实轴长为2．‎ ‎∴，2a=2，解得a=1，，‎ ‎∴b2=c2﹣a2=2，‎ ‎∴所求双曲线C的方程为=1．‎ ‎（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 联立，‎ ‎△＞0，化为m2+1＞0．‎ ‎∴x1+x2=2m，．‎ ‎∴|AB|===4，‎ 化为m2=1，‎ 解得m=±1．‎ ‎　‎ ‎19．某校随机抽取100名学生调查寒假期间学生平均每天的学习时间，被调查的学生每天用于学习的时间介于1小时和11小时之间，按学生的学习时间分成5组：第一组[1，3），第二组[3，5），第三组[5，7），第四组[7，9），第五组[9，11]，绘制成如图所示的频率分布直方图．‎ ‎（Ⅰ）求学习时间在[7，9）的学生人数；‎ ‎（Ⅱ）现要从第三组、第四组中用分层抽样的方法抽取6人，从这6人中随机抽取2人交流学习心得，求这2人中至少有1人的学习时间在第四组的概率．‎ ‎【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由频率分布图求出x=0.100，由此能求出学习时间在[7，9）的学生人数．‎ ‎（Ⅱ）第三组的学生人数为40人，利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，每组抽取的人数分别为：第三组的人数为4人，第四组的人数为2人，由此能求出这2人中至少有1人的学习时间在第四组的概率．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由频率分布图得：0.025×2+0.125×2+0.200×2+2x+0.050×2=1，‎ 解得x=0.100．‎ ‎∴学习时间在[7，9）的学生人数为0.010×2×100=20人．‎ ‎（Ⅱ）第三组的学生人数为0.200×2×100=40人，‎ 第三、四组共有20+40=60人，‎ 利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，每组抽取的人数分别为：‎ 第三组的人数为6×=4人，第四组的人数为6×=2人，‎ 则从这6人中抽2人，基本事件总数n==15，‎ 其中2人学习时间都不在第四组的基本事件个数m==6，‎ ‎∴这2人中至少有1人的学习时间在第四组的概率：‎ p=1﹣=．‎ ‎　‎ ‎20．已知函数f（x）=x2+（x≠0，a∈R）．‎ ‎（1）判断函数f（x）的奇偶性；‎ ‎（2）若f（x）在区间[2，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围．‎ ‎【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．‎ ‎【分析】（1）根据偶函数、奇函数的定义，便容易看出a=0时，f（x）为偶函数，a≠0时，f（x）便非奇非偶；‎ ‎（2）根据题意便有f′（x）=在[2，+∞）上恒成立，这样便可得到a≤2x3恒成立，由于2x3为增函数，从而可以得出a≤16，这便可得到实数a的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）①当a=0时，f（x）=x2为偶函数；‎ ‎②当a≠0时，f（1）=1+a，f（﹣1）=1﹣a；‎ 显然f（﹣1）≠f（1），且f（﹣1）≠﹣f（1），∴f（x）既不是奇函数，也不是偶函数；‎ ‎（2）f′（x）=2x，要使f（x）在[2，+∞）上是增函数；‎ 只需当x≥2时，f′（x）≥0恒成立；‎ 即恒成立；‎ ‎∴a≤2x3；‎ 又x≥2；‎ ‎∴函数2x3的最小值为16；‎ ‎∴a≤16；‎ ‎∴实数a的取值范围为（﹣∞，16]‎ ‎　‎ ‎21．已知在平面直角坐标系xOy中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为F（﹣，0），且右顶点为D（2，0）．设点A的坐标是（1，）．‎ ‎（1）求该椭圆的标准方程；‎ ‎（2）过原点O的直线交椭圆于点B、C，求△ABC面积的最大值．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的关系；点到直线的距离公式；椭圆的标准方程．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由左焦点为，右顶点为D（2，0），得到椭圆的半长轴a，半焦距c，再求得半短轴b，最后由椭圆的焦点在x轴上求得方程．‎ ‎（2）当BC垂直于x轴时，BC=2，S△ABC=1；当BC不垂直于x轴时，设该直线方程为y=kx，代入椭圆方程，求得B，C的坐标，进而求得弦长|BC|，再求原点到直线的距离，从而可得三角形面积模型，再用基本不等式求其最值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由已知得椭圆的半长轴a=2，半焦距c=，则半短轴b=1．‎ 又椭圆的焦点在x轴上，‎ ‎∴椭圆的标准方程为 ‎ （II）当BC垂直于x轴时，BC=2，S△ABC=1‎ 当BC不垂直于x轴时，设该直线方程为y=kx，代入 解得B（），C（），‎ 则，又点A到直线BC的距离d=，‎ ‎∴△ABC的面积S△ABC=‎ 于是S△ABC=‎ 要使△ABC面积的最大值，则k＜0‎ 由≥﹣1，得S△ABC≤，其中，当k=时，等号成立．‎ ‎∴S△ABC的最大值是 ‎ ‎　‎ ‎22．设函数，曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为7x﹣4y﹣12=0．‎ ‎（1）求y=f（x）的解析式；‎ ‎（2）证明：曲线y=f（x）上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为定值，并求此定值．‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；导数的几何意义；直线的一般式方程．‎ ‎【分析】（1）已知曲线上的点，并且知道过此点的切线方程，容易求出斜率，又知点（2，f（2））在曲线上，利用方程联立解出a，b ‎（2）可以设P（x0，y0）为曲线上任一点，得到切线方程，再利用切线方程分别与直线x=0和直线y=x联立，得到交点坐标，接着利用三角形面积公式即可．‎ ‎【解答】解析：（1）方程7x﹣4y﹣12=0可化为，当x=2时，，‎ 又，于是，解得，故．‎ ‎（2）设P（x0，y0）为曲线上任一点，由知曲线在点P（x0，y0）处的切线方程为，即 令x=0，得，从而得切线与直线x=0的交点坐标为；‎ 令y=x，得y=x=2x0，从而得切线与直线y=x的交点坐标为（2x0，2x0）；‎ 所以点P（x0，y0）处的切线与直线x=0，y=x所围成的三角形面积为．‎ 故曲线y=f（x）上任一点处的切线与直线x=0，y=x所围成的三角形面积为定值，此定值为6．‎