数学文卷·2018届山西省平遥中学高二下学期期中考试（2017-05） 7页

平遥中学2016-2017学年度第二学期高二期中考试 ‎ 数学试题（文科）‎ 本试卷满分150分 考试时间 120分钟 命题人 史宏刚 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题：（本题共12个小题，每小题5分，共60分，在四个选项中，只有一项是符合要求的）‎ ‎1.,则(　　)‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎2.已知命题,那么是(　　)‎ ‎ A. B. ‎ ‎ C. D. ‎ ‎3.用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：‎ 按照上面的规律，第n个“金鱼”图形需要火柴棒的根数为(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎4.九颗珍珠中有一颗是假的，且所有真珍珠一样重，假珍珠比真珍珠要轻．如果用一架天 平至少要称(　　)次，就一定可以找出这颗假珍珠．‎ A．5 B．4 C．2 D．6‎ ‎5.在极坐标系中,圆的圆心的极坐标是(　　)‎ A. B. C. D.‎ ‎6.对任意的实数x,若表示不超过x的最大整数,则“|x-y|<‎1”‎是“=”的(　　)‎ ‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 ‎ C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎7.不等式|2x－log2x|＜|2x|＋|log2x|的解为(　　)‎ A．1＜x＜2 B．0＜x＜1 C．x＞1 D.x＞2‎ ‎8.已知f(x)＝x3＋x，a、b、c∈R，且a＋b>0，a＋c>0，b＋c>0，则f(a)＋f(b)＋f(c)的 值(　　)‎ A．一定大于零 B．一定等于零 C．一定小于零 D．正负都有可能 ‎9.当z＝－时，z100＋z50＋1的值是(　　)‎ A．1 B．－1 C．i D．－i ‎10.圆ρ＝r与圆ρ＝－2rsin(r＞0)的公共弦所在直线的方程为(　　)‎ A．2ρ(sinθ＋cosθ)＝r B．2ρ(sinθ＋cosθ)＝－r C.ρ(sinθ＋cosθ)＝r D.ρ(sinθ＋cosθ)＝－r ‎11.设集合，集合.若中没有整数解，则实数的取值范围是（  ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎12.已知，则有(　　)‎ A．最大值为 B．最小值为 C．最大值为1 D.最小值为1‎ 第Ⅱ卷 非选择题 （共90分）‎ 二、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分. 把每小题的答案填在答题纸的相应位置）‎ ‎13．观察下列等式：‎ ‎1＝1　　　　　　　　　13＝1‎ ‎1＋2＝3 13＋23＝9‎ ‎1＋2＋3＝6 13＋23＋33＝36‎ ‎1＋2＋3＋4＝10 13＋23＋33＋43＝100‎ ‎1＋2＋3＋4＋5＝15 13＋23＋33＋43＋53＝225‎ ‎… … ‎ 可以推测：13＋23＋33＋…＋n3＝________.(n∈N*，用含有n的代数式表示)‎ ‎14.对于任意两个正整数m，n，定义某种运算“※”如下：当m，n都为正偶数或正奇数时， ‎ ‎ m※n＝m＋n；当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m※n＝mn.则在此定义下， ‎ ‎ 集合M＝{(a，b)|a※b＝12，a∈N*，b∈N*}中的元素个数是 ．‎ ‎15．若z∈C，且|z＋2－2i|＝1，则|z－2－2i|的最小值是________．‎ ‎16．抛物线y2＝2px(p>0)的一条过焦点的弦被分成m，n长的两段，则＋＝________.‎ 三、解答题（共6个题， 共70分，把每题的答案填在答卷纸的相应位置）‎ ‎17．（本小题满分10分）‎ 用数学归纳法证明：能被整除.‎ ‎18. （本小题满分12分）‎ 已知为变量，为常数，且，的最小 值为18，求值.‎ ‎19. （本小题满分12分）‎ ‎ 已知p：，q：，若是的必要 不充分条件，求实数的取值范围。‎ ‎20. （本小题满分12分）‎ 为了调查某高中学生每天的睡眠时间,现随机对20名男生和20名女生进行问卷调查,结果如下:‎ 女生:‎ 睡眠时间(小时)‎ 人数 男生:‎ 睡眠时间(小时)‎ 人数 ‎（1）现把睡眠时间不足5小时的定义为“严重睡眠不足”，从睡眠时间不足6小时的女生中随机抽取3人，求此3人中恰有一人为“严重睡眠不足”的概率;‎ ‎（2）完成下面2×2列联表,并回答是否有90%的把握认为“睡眠时间与性别有关”？‎ 睡眠时间少于7小时 睡眠时间不少于7小时 合计 男生 女生 合计 ‎ ‎ ‎ （，其中）‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 已知某圆的极坐标方程是，求：‎ ‎(1)圆的普通方程和参数方程；‎ ‎(2)圆上所有点中，的最大值和最小值．‎ ‎22. （本小题满分12分）‎ 已知函数.‎ ‎(1)当时，求不等式的解集；‎ ‎(2)设时，且当时，，求的取值范围. ‎ 平遥中学2016-2017学年度第二学期高二期中考试 ‎ 数学参考答案与评分标准（文科）‎ 一、选择题（每小题5分共60分）‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ B B C C B B C A D D A B 二、填空题（每小题5分共20分）‎ ‎13.　 14. 15 15. 3 16. ‎ 三、解答题（共80分）‎ ‎17．证明：（1）当时, 能被9整除，命题成立.………2分 ‎ （2）假设n=k时命题成立，即： 能被9整除 那么当时，‎ ‎ =‎ ‎ = ………6分 上面三式都能够被9整除.所以，也能被9整除.‎ 所以, 当时,命题也成立. ……………8分 由⑴、⑵可知原命题成立. ……………10分 ‎18．解：∵x＋y＝(x＋y)＝a＋b＋＋≥a＋b＋2＝(＋)2，‎ 当且仅当＝时取等号．………6分 又(x＋y)min＝(＋)2＝18，‎ 即a＋b＋2＝18. ①‎ 又a＋b＝10， ②‎ 由①②可得或………12分 ‎19.解：p： ∴ p：，…………2分 q： ∴ ： ……………4分 ‎∵ 是的必要不充分条件 ∴ ‎ ‎∴ 即是的充分不必要条件，……………6分 故有 …………8分 解得 …………12分 ‎20. （本小题满分12分）解：‎ ‎12分 ‎21．解：‎ ‎(1)原方程可化为ρ2－4ρ＋6＝0，‎ 即ρ2－4ρcosθ－4ρsinθ＋6＝0.‎ 因为ρ2＝x2＋y2，x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，代入上式，得x2＋y2－4x－4y＋6＝0，‎ 即(x－2)2＋(y－2)2＝2，即为所求圆的普通方程．‎ 令cosθ＝，sinθ＝，‎ 所以该圆的参数方程为(θ为参数) ……………6分 ‎(2)由(1)知xy＝(2＋cosθ)(2＋sinθ)‎ ‎＝4＋2(cosθ＋sinθ)＋2cosθsinθ ‎＝3＋2(cosθ＋sinθ)＋(cos θ＋sinθ)2.‎ 令t＝cosθ＋sinθ，则t＝sin，t∈，‎ 所以xy＝3＋2t＋t2＝(t＋)2＋1.‎ 当t＝－时，xy有最小值1；当t＝时，xy有最大值9. ……………12分 ‎22．解：　‎ ‎(1)当a＝－2时，不等式f(x)＜g(x)化为|2x－1|＋|2x－2|－x－3＜0.‎ 设函数y＝|2x－1|＋|2x－2|－x－3，‎ 则y＝ ‎ 其图象如图所示，由图象可知，当且仅当x∈(0,2)时，y＜0，‎ 所以原不等式的解集是{x|0＜x＜2}．……………6分 ‎(2)当x∈时，f(x)＝1＋a，‎ 不等式f(x)≤g(x)化为1＋a≤x＋3，‎ 所以x≥a－2对x∈都成立，故－≥a－2，即a≤.‎ 从而a的取值范围是. ……………12分