2021届浙江新高考数学一轮复习高效演练分层突破：第三章　第三章　1 第1讲　变化率与导数、导数的计算 8页

[基础题组练] 1．函数 y＝x2cos x 在 x＝1 处的导数是( ) A．0 B．2cos 1－sin 1 C．cos 1－sin 1 D．1 解析：选 B.因为 y′＝(x2cos x)′＝(x2)′cos x＋x2·(cos x)′＝2xcos x－x2sin x，所以 y′|x＝1＝2cos 1－sin 1. 2．(2020·衢州高三月考)已知 t 为实数，f(x)＝(x2－4)(x－t)且 f′(－1)＝0，则 t 等于( ) A．0 B．－1 C.1 2 D．2 解析：选 C.依题意得，f′(x)＝2x(x－t)＋(x2－4)＝3x2－2tx－4，所以 f′(－1)＝3＋2t－4 ＝0，即 t＝1 2. 3．(2020·温州模拟)已知函数 f(x)＝x2＋2x 的图象在点 A(x1，f(x1))与点 B(x2，f(x2))(x1＜ x2＜0)处的切线互相垂直，则 x2－x1 的最小值为( ) A.1 2 B．1 C.3 2 D．2 解析：选 B.因为 x1＜x2＜0，f(x)＝x2＋2x， 所以 f′(x)＝2x＋2， 所以函数 f(x)在点 A，B 处的切线的斜率分别为 f′(x1)，f′(x2)， 因为函数 f(x)的图象在点 A，B 处的切线互相垂直， 所以 f′(x1)f′(x2)＝－1. 所以(2x1＋2)(2x2＋2)＝－1， 所以 2x1＋2＜0，2x2＋2＞0， 所以 x2－x1＝1 2[－(2x1＋2)＋(2x2＋2)]≥ －（2x1＋2）（2x2＋2）＝1，当且仅当－(2x1＋ 2)＝2x2＋2＝1， 即 x1＝－3 2 ，x2＝－1 2 时等号成立． 所以 x2－x1 的最小值为 1.故选 B. 4．已知 f(x)＝ax4＋bcos x＋7x－2.若 f′(2 018)＝6，则 f′(－2 018)＝( ) A．－6 B．－8 C．6 D．8 解析：选 D.因为 f′(x)＝4ax3－bsin x＋7. 所以 f′(－x)＝4a(－x)3－bsin(－x)＋7 ＝－4ax3＋bsin x＋7. 所以 f′(x)＋f′(－x)＝14. 又 f′(2 018)＝6， 所以 f′(－2 018)＝14－6＝8，故选 D. 5.如图，y＝f(x)是可导函数，直线 l：y＝kx＋2 是曲线 y＝f(x)在 x ＝3 处的切线，令 g(x)＝xf(x)，其中 g′(x)是 g(x)的导函数，则 g′(3)＝ ( ) A．－1 B．0 C．2 D．4 解析：选 B.由题图可得曲线 y＝f(x)在 x＝3 处切线的斜率等于－1 3 ，即 f′(3)＝－1 3.又因为 g(x)＝xf(x)，所以 g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，由题图可知 f(3)＝1，所以 g′(3)＝ 1＋3× －1 3 ＝0. 6．若点 P 是曲线 y＝x2－ln x 上任意一点，则点 P 到直线 y＝x－2 距离的最小值为( ) A．1 B. 2 C. 2 2 D. 3 解析：选 B.因为定义域为(0，＋∞)，令 y′＝2x－1 x ＝1，解得 x＝1，则在 P(1，1)处的切 线方程为 x－y＝0，所以两平行线间的距离为 d＝ 2 2 ＝ 2. 7．已知 f(x)＝ ln x x2＋1 ，g(x)＝(1＋sin x)2，若 F(x)＝f(x)＋g(x)，则 F(x)的导函数为________． 解析：因为 f′(x)＝（ln x）′（x2＋1）－ln x（x2＋1）′ （x2＋1）2 ＝ 1 x （x2＋1）－2xln x （x2＋1）2 ＝x2＋1－2x2ln x x（x2＋1）2 ， g′(x)＝2(1＋sin x)(1＋sin x)′＝2cos x＋sin 2x， 所以 F′(x)＝f′(x)＋g′(x)＝x2＋1－2x2ln x x（x2＋1）2 ＋2cos x＋sin 2x. 答案：x2＋1－2x2ln x x（x2＋1）2 ＋2cos x＋sin 2x 8．(2020·绍兴市柯桥区高三模拟)已知曲线 y＝1 4x2－3ln x 的一条切线的斜率为－1 2 ，则 切点的横坐标为________． 解析：设切点为(m，n)(m＞0)，y＝1 4x2－3ln x 的导数为 y′＝1 2x－3 x ，可得切线的斜率为 1 2m －3 m ＝－1 2 ，解方程可得，m＝2. 答案：2 9．(2020·金华十校高考模拟)函数 f(x)的定义域为 R，f(－2)＝2 018，若对任意的 x∈R， 都有 f′(x)＜2x 成立，则不等式 f(x)＜x2＋2 014 的解集为________． 解析：构造函数 g(x)＝f(x)－x2－2 014，则 g′(x)＝f′(x)－2x＜0，所以函数 g(x)在定义域 上为减函数，且 g(－2)＝f(－2)－22－2 014＝2 018－4－2 014＝0，由 f(x)＜x2＋2 014 有 f(x) －x2－2 014＜0，即 g(x)＜0＝g(－2)，所以 x＞－2，不等式 f(x)＜x2＋2 014 的解集为(－2， ＋∞)． 答案：(－2，＋∞) 10．如图，已知 y＝f(x)是可导函数，直线 l 是曲线 y＝f(x)在 x＝4 处的切线，令 g(x)＝ f（x） x ，则 g′(4)＝________． 解析：g′(x)＝ f（x） x ′＝xf′（x）－f（x） x2 . 由题图可知，直线 l 经过点 P(0，3)和 Q(4，5)， 故 k1＝5－3 4－0 ＝1 2. 由导数的几何意义可得 f′(4)＝1 2 ， 因为 Q(4，5)在曲线 y＝f(x)上，故 f(4)＝5. 故 g′(4)＝4×f′（4）－f（4） 42 ＝ 4×1 2 －5 42 ＝－ 3 16. 答案：－ 3 16 11．已知函数 f(x)＝x3＋x－16. (1)求曲线 y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程； (2)如果曲线 y＝f(x)的某一切线与直线 y＝－1 4x＋3 垂直，求切点坐标与切线的方程． 解：(1)可判定点(2，－6)在曲线 y＝f(x)上． 因为 f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1. 所以 f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为 k＝f′(2)＝13. 所以切线的方程为 y＝13(x－2)＋(－6)， 即 y＝13x－32. (2)因为切线与直线 y＝－1 4x＋3 垂直， 所以切线的斜率 k＝4. 设切点的坐标为(x0，y0)， 则 f′(x0)＝3x20＋1＝4，所以 x0＝±1. 所以 x0＝1， y0＝－14 或 x0＝－1， y0＝－18， 即切点坐标为(1，－14)或(－1，－18)， 切线方程为 y＝4(x－1)－14 或 y＝4(x＋1)－18. 即 y＝4x－18 或 y＝4x－14. 12．已知函数 f(x)＝ax＋b x(x≠0)在 x＝2 处的切线方程为 3x－4y＋4＝0. (1)求 a，b 的值； (2)求证：曲线上任一点 P 处的切线 l 与直线 l1：y＝x，直线 l2：x＝0 围成的三角形的面 积为定值． 解：(1)由 f(x)＝ax＋b x ，得 f′(x)＝a－b x2(x≠0)． 由题意得 f′（2）＝3 4 ， 3×2－4f（2）＋4＝0. 即 a－b 4 ＝3 4 ， 5－2 2a＋b 2 ＝0. 解得 a＝1，b＝1. (2)证明：由(1)知 f(x)＝x＋1 x ， 设曲线的切点为 P x0，x0＋1 x0 ，f′(x0)＝1－1 x20 ， 曲线在 P 处的切线方程为 y－ x0＋1 x0 ＝ 1－1 x20 (x－x0)． 即 y＝ 1－1 x20 x＋2 x0 .当 x＝0 时，y＝2 x0 . 即切线 l 与 l2：x＝0 的交点坐标为 A 0，2 x0 . 由 y＝ 1－1 x20 x＋2 x0 ， y＝x， 得 x＝2x0， y＝2x0， 即 l 与 l1：y＝x 的交点坐标为 B(2x0，2x0)． 又 l1 与 l2 的交点为 O(0，0)，则所求的三角形的面积为 S＝1 2 ·|2x0|·|2 x0|＝2. 即切线 l 与 l1，l2 围成的三角形的面积为定值． [综合题组练] 1．若曲线 y＝f(x)＝ln x＋ax2(a 为常数)不存在斜率为负数的切线，则实数 a 的取值范围 是( ) A. －1 2 ，＋∞ B．[－1 2 ，＋∞) C．(0，＋∞) D．[0，＋∞) 解析：选 D.f′(x)＝1 x ＋2ax＝2ax2＋1 x (x>0)，根据题意有 f′(x)≥0(x>0)恒成立，所以 2ax2 ＋1≥0(x>0)恒成立，即 2a≥－1 x2(x>0)恒成立，所以 a≥0，故实数 a 的取值范围为[0，＋∞)．故 选 D. 2．(2020·金华十校联考)已知函数 y＝x2 的图象在点(x0，x20)处的切线为 l，若 l 也与函数 y＝ln x，x∈(0，1)的图象相切，则 x0 必满足( ) A．0＜x0＜1 2 B.1 2 ＜x0＜1 C. 2 2 ＜x0＜ 2 D. 2＜x0＜ 3 解析：选 D.令 f(x)＝x2，f′(x)＝2x，f(x0)＝x20，所以直线 l 的方程为 y＝2x0(x－x0)＋x20＝ 2x0x－x20，因为 l 也与函数 y＝ln x(x∈(0，1))的图象相切，令切点坐标为(x1，ln x1)，y′＝1 x ， 所以 l 的方程为 y＝1 x1 x＋ln x1－1，这样有 2x0＝1 x1 ， 1－ln x1＝x20， 所以 1＋ln(2x0)＝x20，x0∈(1，＋∞)， 令 g(x)＝x2－ln(2x)－1，x∈(1，＋∞)，所以该函数的零点就是 x0，又因为 g′(x)＝2x－1 x ＝ 2x2－1 x ，所以 g(x)在(1，＋∞)上单调递增，又 g(1)＝－ln 2＜0，g( 2)＝1－ln 2 2＜0，g( 3) ＝2－ln 2 3＞0，从而 2＜x0＜ 3，选 D. 3．(2020·宁波四中高三月考)给出定义：若函数 f(x)在 D 上可导，即 f′(x)存在，且导函 数 f′(x)在 D 上也可导，则称 f(x)在 D 上存在二阶导函数，记 f″ (x)＝(f′(x))′.若 f″(x)＜0 在 D 上恒成立，则称 f(x)在 D 上为凸函数．以下四个函数在 0，π 2 上是凸函数的是________(把 你认为正确的序号都填上)． ①f(x)＝sin x＋cos x； ②f(x)＝ln x－2x； ③f(x)＝－x3＋2x－1； ④f(x)＝xex. 解析：①中，f′(x)＝cos x－sin x，f″(x)＝－sin x－cos x＝－ 2sin x＋π 4 ＜0 在区间 0，π 2 上恒成立；②中，f′(x)＝1 x －2(x＞0)，f″(x)＝－1 x2 ＜0 在区间 0，π 2 上恒成立；③ 中，f′(x)＝－3x2＋2，f″(x)＝－6x 在区间 0，π 2 上恒小于 0.④中，f′(x)＝ex＋xex，f″(x) ＝2ex＋xex＝ex(x＋2)＞0 在区间 0，π 2 上恒成立，故④中函数不是凸函数．故①②③为凸函 数． 答案：①②③ 4．(2020·浙江省十校联合体期末检测)已知函数 f(x)＝aex＋x2，g(x)＝cos (πx)＋bx，直线 l 与曲线 y＝f(x)切于点(0，f(0))，且与曲线 y＝g(x)切于点(1，g(1))，则 a＋b＝________，直 线 l 的方程为________． 解析：f′(x)＝aex＋2x，g′(x)＝－πsin (πx)＋b， f(0)＝a，g(1)＝cos π＋b＝b－1， f′(0)＝a，g′(1)＝b， 由题意可得 f′(0)＝g′(1)，则 a＝b， 又 f′(0)＝b－1－a 1－0 ＝a， 即 a＝b＝－1，则 a＋b＝－2； 所以直线 l 的方程为 x＋y＋1＝0. 答案：－2 x＋y＋1＝0 5．设有抛物线 C：y＝－x2＋9 2x－4，过原点 O 作 C 的切线 y＝kx，使切点 P 在第一象 限． (1)求 k 的值； (2)过点 P 作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点 Q 的坐标． 解：(1)由题意得，y′＝－2x＋9 2.设点 P 的坐标为(x1，y1)，则 y1＝kx1，① y1＝－x21＋9 2x1－4，② －2x1＋9 2 ＝k，③ 联立①②③得，x1＝2，x2＝－2(舍去)．所以 k＝1 2. (2)过 P 点作切线的垂线，其方程为 y＝－2x＋5.④ 将④代入抛物线方程得，x2－13 2 x＋9＝0. 设 Q 点的坐标为(x2，y2)，则 2x2＝9， 所以 x2＝9 2 ，y2＝－4. 所以 Q 点的坐标为 9 2 ，－4 . 6．(2020·绍兴一中月考)已知函数 f(x)＝ax3＋3x2－6ax－11，g(x)＝3x2＋6x＋12 和直线 m： y＝kx＋9，且 f′(－1)＝0. (1)求 a 的值； (2)是否存在 k，使直线 m 既是曲线 y＝f(x)的切线，又是曲线 y＝g(x)的切线？如果存在， 求出 k 的值；如果不存在，请说明理由． 解：(1)由已知得 f′(x)＝3ax2＋6x－6a， 因为 f′(－1)＝0， 所以 3a－6－6a＝0，所以 a＝－2. (2)存在．由已知得，直线 m 恒过定点(0，9)，若直线 m 是曲线 y＝g(x)的切线，则设切 点为(x0，3x20＋6x0＋12)． 因为 g′(x0)＝6x0＋6， 所以切线方程为 y－(3x20＋6x0＋12)＝(6x0＋6)(x－x0)， 将(0，9)代入切线方程，解得 x0＝±1. 当 x0＝－1 时，切线方程为 y＝9； 当 x0＝1 时，切线方程为 y＝12x＋9. 由(1)知 f(x)＝－2x3＋3x2＋12x－11， ①由 f′(x)＝0 得－6x2＋6x＋12＝0， 解得 x＝－1 或 x＝2. 在 x＝－1 处，y＝f(x)的切线方程为 y＝－18； 在 x＝2 处，y＝f(x)的切线方程为 y＝9， 所以 y＝f(x)与 y＝g(x)的公切线是 y＝9. ②由 f′(x)＝12 得－6x2＋6x＋12＝12， 解得 x＝0 或 x＝1. 在 x＝0 处，y＝f(x)的切线方程为 y＝12x－11； 在 x＝1 处，y＝f(x)的切线方程为 y＝12x－10， 所以 y＝f(x)与 y＝g(x)的公切线不是 y＝12x＋9. 综上所述，y＝f(x)与 y＝g(x)的公切线是 y＝9，此时 k＝0.