数学理卷·2018届陕西省榆林市高三二模考试（2018 11页

‎2018届榆林市第二次高考模拟考试试题 理科数学 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.设集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.已知，为虚数单位，的实部与虚部互为相反数，则（ ）‎ A．4 B．3 C．2 D．1‎ ‎3.已知，，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎4.若抛物线上一点到焦点的距离是该点到轴距离的3倍，则（ ）‎ A．2 B． C．1 D．‎ ‎5.《九章算术》中的玉石问题：“今有玉方一寸，重上七两；石方一寸，重六两.今有石方三寸，中有玉，并重十一斤（即176两），问玉、石重各几何？”其意思为：“宝玉1立方寸重7两，石料1立方寸重6两，现有宝玉和石料混合在一起的一个正方体，棱长是3寸，质量是11斤（即176两），问这个正方体中的宝玉和石料各多少两？”如图所示的程序框图给出了对此题的一个求解算法，运行该程序框图，则输出的，分别为（ ）‎ A．90，86 B．98，78 C．94，82 D．102，74‎ ‎6.设，满足约束条件，则的最大值为（ ）‎ A．-1 B．3 C．9 D．12‎ ‎7.已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增.若实数满足，则的最大值是（ ）‎ A．1 B． C． D．‎ ‎8.为了反映各行业对仓储物流业务需求变化的情况，以及重要商品库存变化的动向，中国物流与采购联合会和中储发展股份有限公司通过联合调查，制定了中国仓储指数.由2016年1月至2017年7月的调查数据得出的中国仓储指数，绘制出如下的折线图.‎ 根据该折线图，下列结论正确的是（ ）‎ A．2016年各月的合储指数最大值是在3月份 B．2017年1月至7月的仓储指数的中位数为55‎ C．2017年1月与4月的仓储指数的平均数为52‎ D．2016年1月至4月的合储指数相对于2017年1月至4月，波动性更大 ‎9.已知函数的最小正周期为，且其图象向右平移个单位后得到函数的图象，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）‎ A．4 B．6 C． D．‎ ‎11.过双曲线的右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于，两点，为虚轴的一个端点，且为钝角三角形，则该双曲线离心率的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12.已知函数，，若成立，则的最小值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. ‎ ‎13.已知单位向量，满足，则向量与的夹角为 ．‎ ‎14.如图，长方体的底面是边长为1的正方形，高为2，则异面直线与的夹角的余弦值是 ．‎ ‎15.两位同学分4本不同的书，每人至少分1本，4本书都分完，则不同的分发方式共有 种．‎ ‎16.在中，角，，的对边分别是，，，，若，则的周长为 ．‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必做题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎（一）必考题：共60分.‎ ‎17.已知正项数列满足，.数列的前项和满足.‎ ‎（1）求数列，的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前项和.‎ ‎18.4月23日是“世界读书日”，某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动.为了解高三学生课外阅读情况，采用分层抽样的方法从高三某班甲、乙、丙、丁四个小组中随机抽取10名学生参加问卷调查，各组人数统计如下：‎ 小组 甲 乙 丙 丁 人数 ‎9‎ ‎12‎ ‎6‎ ‎3‎ ‎（1）从参加问卷调查的10名学生中随机抽取两名，求这两名学生来自同一个小组的概率；‎ ‎（2）在参加问卷调查的10名学生中，从来自甲、丙两个小组的学生中随机抽取两名，用表示抽得甲组学生的人数，求的分布列和数学期望.‎ ‎19.如图，在四棱锥中，四边形是菱形，，平面平面，，，在棱上运动.‎ ‎（1）当在何处时，平面；‎ ‎（2）当平面时，求直线与平面所成角的弦值.‎ ‎20.已知椭圆的左右焦点分别为和，上顶点为，若直线的斜率为1，且与椭圆的另一个交点为，的周长为.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）过点的直线（直线的斜率不为1）与椭圆交于，两点，点在点的上方，若，求直线的斜率.‎ ‎21.已知函数，.‎ ‎（1）若时，求函数的最小值；‎ ‎（2）若函数既有极大值又有极小值，求实数的取值范围.‎ ‎（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ 在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为，（为参数），曲线的参数方程为，（为参数）.‎ ‎（1）将，的方程化为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；‎ ‎（2）以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线的极坐标系方程为.若上的点对应的参数为，点在上，点为的中点，求点到直线距离的最小值.‎ ‎23.[选修4-5：不等式选讲]‎ 已知函数.‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）若，求实数的取值范围.‎ 榆林市2017～2018年第二次模拟考试试卷 高三数学参考答案（理科）‎ 一、选择题 ‎1-5: CDCAB 6-10: CDDAB 11、12：DB 二、填空题 ‎13. （或） 14. 15. 14 16. ‎ 三、解答题 ‎17.解：（1）∵，‎ ‎∴，‎ ‎∵，，∴，∴，‎ ‎∴是以1为首项，1为公差的等差数列，‎ ‎∴.‎ 当时，，当时也满足，∴.‎ ‎（2）由（1）可知：，‎ ‎∴.‎ ‎18. 解：（1）由已知得，问卷调查中，从四个小组中抽取的人数分别为3，4，2，1，‎ 从参加问卷调查的10名学生中随机抽取两名的取法共有种，‎ 这两名学生来自同一小组的取法共有，‎ 所以.‎ ‎（2）由（1）知，在参加问卷调查的10名学生中，来自甲、丙两小组的学生人数分别为3，2，‎ 的可能取值为0，1，2，‎ ‎，，.‎ ‎∴的分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎.‎ ‎19. 解：（1）当为中点时，平面.∵设，在中，为中位线，即，又平面，平面，∴平面.‎ ‎（2）∵四边形是菱形，，，‎ ‎∴，均为等边三角形.‎ 取的中点，∵平面平面，∴平面.以为坐标原点，射线，，分别为，，轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，.‎ ‎∴，，.‎ 设平面的法向量为，则由，，‎ 得，取，得.‎ 记直线与平面所成角为，则 ‎.‎ ‎20. 解：（1）因为的周长为，所以，即.‎ 由直线的斜率为1，得，‎ 因为，所以，.‎ 所以椭圆的标准方程为.‎ ‎（2）由题可得直线方程为，联立得，‎ 所以.‎ 因为，即，‎ 所以.‎ 当直线的斜率为0时，不符合题意，‎ 故设直线的方程为，，，由点在点的上方，则.‎ 联立得，所以.‎ 消去得，所以，得，，‎ 又由画图可知不符合题意，所以.‎ 故直线的斜率为.‎ ‎21. 解：（1）当时，，定义域为.‎ ‎，令，可得.‎ 列表：‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ 极小值 所以，函数的最小值为.‎ ‎（2），定义域为，.‎ 记，，，‎ ‎①当时，，在上单调递增，‎ 故在上至多有一个零点，‎ 此时，函数在上至多存在一个极小值，不存在极大值，不符题意；‎ ‎②当时，令，可得，列表：‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ 极大值 若，即，，即，‎ 故函数在上单调递减，函数在上不存在极值，与题意不符，‎ 若，即时，‎ 由于，且，‎ 故存在，使得，即，‎ 且当时，，函数在上单调递减；‎ 当时，，函数在上单调递增，函数在处取极小值.‎ 由于，且（事实上，令，，故在上单调递增，所以）.‎ 故存在，使得，即，‎ 且当时，，函数在上单调递增；‎ 当时，，函数在上单调递减，函数在处取极大值.‎ 综上所述，当时，函数在上既有极大值又有极小值.‎ ‎22. 解：（1）的普通方程为，‎ 它表示以为圆心，1为半径的圆，‎ 的普通方程为，‎ 它表示中心在原点，焦点在轴上的椭圆.‎ ‎（2）由已知得，设，则，‎ 直线：，‎ 点到直线的距离，‎ 所以，即到的距离的最小值为.‎ ‎23.（1）证明：因为，‎ 而，‎ 所以.‎ ‎（2）解：因为，‎ 所以或，‎ 解得，所以的取值范围是.‎