专题11+解三角形中的最值与范围问题-2019年高考数学二轮复习之重难点微专题突破训练 9页

‎【知识准备】‎ ‎1、正弦定理：，其中为外接圆的半径 正弦定理的主要作用是方程和分式中的边角互化.其原则为关于边，或是角的正弦值是否具备齐次的特征.如果齐次则可直接进行边化角或是角化边，否则不可行。‎ 例如：（1） ‎ ‎ （2）（恒等式）‎ ‎ （3） ‎ ‎2、余弦定理： ‎ 变式： 此公式在已知的情况下，配合均值不等式可得到和的最值 ‎ ‎4、三角形中的不等关系 ‎（1）任意两边之和大于第三边：在判定是否构成三角形时，只需验证较小的两边之和是否比第三边大即可.由于不存在等号成立的条件，在求最值时使用较少 ‎（2）在三角形中，边角以及角的三角函数值存在等价关系：‎ 其中由利用的是余弦函数单调性，而仅在一个三角形内有效.‎ ‎【方法全解】‎ 类型一：转变为一个变量的函数：通过边角互化和代入消元，将多变量表达式转变为函数，从而将问题转化为求函数的值域（最值）或一元二次不等式求范围。‎ 例1：四边形中， ，，设、的面积分别为、，则当取最大值时，__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 设，在、中分别利用余弦定理可得：‎ ‎，再由三角形的面积公式得：‎ ‎，‎ 则当即时，取得最大值。‎ ‎【掌握练习】‎ ‎1、已知的内角的对边成等比数列，则的取值范围为________．‎ ‎【答案】‎ ‎2、设的内角所对的边成等比数列（其中），则的取值范围是_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 成等比数列，所以，∴，∵，∴，由得，‎ ‎∴，同理得，所以取值范围是.‎ ‎3、在中，角所对的边分别为，若且，则面积的最大值为_______．‎ ‎【答案】‎ ‎4、在锐角中，，则的最小值为_________．‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】‎ ‎ ,即,所以两边同时除以 ,可得，设，‎ 那么有, ,所以，那么，故最小值为 ‎5、已知的内角的对边分别为，若，则的取值范围为_________．‎ ‎【答案】‎ 类型二、利用正弦定理“化边为角”或余弦定理转化为正弦型函数的性质求解。‎ 例：在中，，，则的最大值为_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 根据正弦定理得：，则 ‎，‎ 其中，‎ 所以的最大值为．‎ ‎【掌握练习】‎ ‎1. 在中，内角所对的边分别为，且边上的高为，则取得最大值时，内角的值为_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎2、在锐角中，内角，，的对边分别为，，，且．若，则的取值范围是_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 根据正弦定理，边角互化后可得，即，，解得，又根据正弦定理，所以，， ，∵是锐角三角形，∴，‎ ‎∴，∴，那么.‎ ‎3、已知的三个内角，，的对边分别为，，，面积.若，则的最大值是_________． ‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】‎ ‎∵，∴，∴，由余弦定理知，，∴当时， 取得最大值.‎ ‎4、在中，分别是角的对边，已知，且，则的最小值是_________．‎ ‎【答案】‎ 类型三、利用余弦定理转化为的关系，再利用基本不等式求解。‎ 例：已知中，角所对的边分别为，外接圆半径是，且满足条件，则的面积的最大值为_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 因为外接圆半径，由正弦定理可得，‎ 所以.‎ 因为，‎ 所以，整理可得，‎ 所以，因为，所以.‎ 则，即.‎ 因为，所以（当且仅当时取“”）.‎ ‎.‎ ‎（当且仅当时取“”）.‎ ‎【掌握练习】‎ ‎1、在中，角所对的边分别为，若，，且的面积的最大值为，则此时的形状为_________．‎ ‎【答案】等边或等腰三角形 ‎2、若的内角满足，则当取最大值时，角大小为_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由条件得,因此 所以,由此可知，，，‎ ‎，当且仅当时，即时，，的最大值为，从而角大小为．‎ ‎3、在中，为边上一点，若是等边三角形，且，则的面积的最大值为_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 设，由于是等边三角形，∴，∵，‎ ‎，整理得，由基本不等式得 ‎，当时取等号，∴，．‎ ‎4、若的内角满足，则的最小值是_________．‎ ‎【答案】‎ ‎5、已知中，的对边分别为，若，则的周长的取值范围是_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 在中，由余弦定理可得，又因为，，所以，‎ 化简得，∵，‎ ‎∴，解得(当且仅当时取等号)，所以，由三角形两边之和大于第三边可得，故有，故三角形周长的取值范围是，所以应填.‎ ‎6、在锐角中，内角的对边分别为，已知，则的面积取最小值时有_________．‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎