数学卷·2017届江西省吉安一中、九江一中等八所重点中学高三4月联考理科数学试卷（解析版） 20页

江西省吉安一中、九江一中等八所重点中学2017届高三4月联考理科数学 一、选择题：共12题 ‎1．已知i为虚数单位,,复数i,若为负实数,则的取值集合为 A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】本题考查复数的概念与运算.由题意得,解得.即的取值集合为.选B.‎ ‎ ‎ ‎2．已知集合=,集合==,则集合 为 A. B.‎ C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】本题考查集合的基本运算.由题意得,=,所以,.所以=.选D.‎ ‎ ‎ ‎3．在展开式中,二项式系数的最大值为,含项的系数为,则=‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】本题考查二项式定理.展开式中,二项式系数的最大值为,即;其展开式的通项公式,令,即,可得的系数.所以==.选B.‎ ‎【备注】二项展开式的通项公式：.‎ ‎ ‎ ‎4．已知抛物线的顶点为坐标原点,对称轴为坐标轴,直线过抛物线的焦点,且与抛物线的对称轴垂直,与交于两点,且,为抛物线准线上一点,则的面积为 A.16 B.18 C.24 D.32‎ ‎【答案】A ‎【解析】本题考查抛物线的标准方程.画出图形(如图所示);由题意得抛物线的焦点准线;而=,解得,所以的高;所以的面积为.选A.‎ ‎ ‎ ‎5．给出下列四个命题:‎ ‎①“若为的极值点,则”的逆命题为真命题;‎ ‎②“平面向量的夹角是钝角”的充分不必要条件是 ‎③若命题,则;‎ ‎④命题“,使得”的否定是:“均有”.‎ 其中不正确的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎【答案】C ‎【解析】本题考查命题及其关系,逻辑联结词,充要条件,全称量词与特称量词.“若为的极值点,则”的逆命题:“若,则为的极值点”为假命题,即①不正确 “平面向量的夹角是钝角”的必要不充分条件是,即②不正确;若命题,则;即③不正确;特称命题的否定为全称命题,即④正确.即不正确的个数是3.选C.‎ ‎ ‎ ‎6．<九章算术>是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有女子善织,日益功,疾,初日织五尺,今一月织九匹三丈(1匹=40尺,一丈=10尺),问日益几何?”其意思为:“有一女子擅长织布,每天比前一天更加用功,织布的速度也越来越快,从第二天起,每天比前一天多织相同量的布,第一天织5尺,一月织了九匹三丈,问每天增加多少尺布?”若一个月按31天算,记该女子一个月中的第天所织布的尺数为,则的值为 A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】本题考查等差数列,数列求和.由题意得===.选B.‎ ‎【备注】等差数列:,.‎ ‎ ‎ ‎7．若执行如图所示的程序框图,输出的值为4,则判断框中应填入的条件是 A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】本题考查程序框图.起初:；循环1次：；循环2次：；循环14次：,此时不满足条件，结束循环，输出4,即判断框中应填入的条件是.选C.‎ ‎【备注】常考查循环结构的流程图，理解流程图的功能是关键.‎ ‎ ‎ ‎8．已知== = ,则 A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】本题考查导数在研究函数中的应用.构造函数,而,解得;即当时,,函数单增;当时,,函数单减，而,所以,即.选A.‎ ‎ ‎ ‎9．某几何体的三视图如图所示,则该几何体的外接球的表面积为 A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】本题考查三视图,空间几何体的表面积.还原出空间几何体,如图四棱锥所示,平面,,,取的中点,取的中点,所以平面,且,即四棱锥的外接球的半径;所以该几何体的外接球的表面积.选D.‎ ‎ ‎ ‎10．若一个四位数的各位数字相加和为10,则称该数为“完美四位数”,如数字“”.试问用数字组成的无重复数字且大于的“完美四位数”有(  )个 A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】本题考查排列组合.由数字“”组成的满足题意的“完美四位数”有个;由数字“”组成的满足题意的“完美四位数”有个;由数字“”组成的满足题意的“完美四位数”有个;由数字“‎ ‎”组成的满足题意的“完美四位数”有个;由数字“”组成的满足题意的“完美四位数”有个;所以满足题意的“完美四位数”有个.选D.‎ ‎【备注】有序排列,无序组合.‎ ‎ ‎ ‎11．已知双曲线与双曲线的离心率相同,且双曲线的左、右焦点分别为,是双曲线一条渐近线上的某一点,且,,则双曲线的实轴长为 A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】本题考查双曲线的标准方程与几何性质.因为双曲线与双曲线的离心率相同,所以双曲线的离心率,即,,即,即双曲线的一条渐近线为;而中,,,所以,;而=,解得;所以,即双曲线的实轴长为.选D.‎ ‎【备注】双曲线,离心率,,渐近线为.‎ ‎ ‎ ‎12．已知定义在上的函数与其导函数满足,若,则点所在区域的面积为 A.12 B.6 C.18 D.9‎ ‎【答案】A ‎【解析】本题考查导数在研究函数中的应用.因为,所以当时,;构造函数,则;即当时,,函数单增;因为,即,,即,即,即;而,,函数在上单增,所以,整理得,画出3个不等式所对应的区域(如图所示).所以点所在区域的面积.选A.‎ 二、填空题：共4题 ‎13．已知a=(x,1),=(1,2),=(-1,5) ,若(a+2),则      .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】本题考查平面向量的线性运算.由题意得a+2,而(a+2),所以,解得,即a=(-3,1),所以.‎ ‎【备注】，等价于.‎ ‎ ‎ ‎14．若正实数满足=,则的最小值为      .‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】本题考查定积分,基本不等式.由题意得===2;即=2,所以===4(当且仅当时等号成立).所以,即的最小值为2.‎ ‎ ‎ ‎15．已知等差数列的前项和为,并且,数列满足=,记集合=,若的子集个数为16,则实数的取值范围为        .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】本题考查等差数列的前n项和公式,集合.因为等差数列中,联立解得,即,,;而=,所以=;构造函数=,当时单增,当时单减,且,,,;而的子集个数为16,所以中的元素个数为4,即;所以.‎ ‎【备注】等差数列:,.‎ ‎ ‎ ‎16．已知动点P在棱长为1的正方体的表面上运动,且线段 ,记点P的轨迹长度为.给出以下四个命题:‎ ‎①;     ②;         ③;‎ ‎④函数在上是增函数,在上是减函数.‎ 其中为真命题的是          (写出所有真命题的序号)‎ ‎【答案】①④‎ ‎【解析】本题考查空间几何体的结构特征,点的轨迹.如图所示,当时,,所以,即①正确;当时,如图,求得,,所以,所以,即②错误;,即③错误;而,所以函数在上是增函数,在上是减函数,即④正确;所以真命题的是①④.‎ 三、解答题：共7题 ‎17．已知 分别为锐角三个内角的对边,且.‎ ‎(Ⅰ)求的大小;‎ ‎(Ⅱ)的取值范围.‎ ‎【答案】(Ⅰ)因为=,‎ 由正弦定理有= 即有 由余弦定理得=；‎ 又A为锐角,所以A=‎ ‎(Ⅱ)由题,===‎ 又在锐角中,有,‎ 所以,所以,‎ 所以的取值范围是.‎ ‎【解析】本题考查三角函数的最值,三角恒等变换,正余弦定理.(Ⅰ)由正余弦定理得=,所以A=(Ⅱ)化简得=又在锐角中,,所以,即的取值范围是.‎ ‎ ‎ ‎18．继共享单车之后,又一种新型的出行方式------“共享汽车”也开始亮相北上广深等十余大中城市,一款叫“一度用车”的共享汽车在广州提供的车型是“奇瑞eQ”,每次租车收费按行驶里程加用车时间,标准是“1元/公里+0.1元/分钟”,李先生家离上班地点10公里,每天租用共享汽车上下班,由于堵车因素,每次路上开车花费的时间是一个随机变量,根据一段时间统计40次路上开车花费时间在各时间段内的情况如下:‎ 以各时间段发生的频率视为概率,假设每次路上开车花费的时间视为用车时间,范围为分钟.‎ ‎(Ⅰ)若李先生上、下班时租用一次共享汽车路上开车不超过45分钟,便是所有可选择的交通工具中的一次最优选择,设是4次使用共享汽车中最优选择的次数,求的分布列和期望.‎ ‎(Ⅱ)若李先生每天上下班使用共享汽车2次,一个月(以20天计算)平均用车费用大约是多少(同一时段,用该区间的中点值作代表).‎ ‎【答案】(Ⅰ)李先生一次租用共享汽车,为最优选择的概率 依题意的值可能为0,1,2,3,4.‎ ‎=,==‎ ‎，‎ ‎=‎ 分布列 或=‎ ‎(Ⅱ)每次用车路上平均花的时间=+=(分钟),‎ 每次租车的费用约为10+35.5×0.1=13.55元.‎ 一个月的平均用车费用约为542元.‎ ‎【解析】本题考查二项分布,随机变量的分布列、数学期望.(Ⅰ),依题意求得的分布列及=(Ⅱ)求得每次用车路上平均花的时间=(分钟),每次租车的费用13.55元.一个月的平均用车费用约为542元.‎ ‎ ‎ ‎19．如图,多面体中,四边形是菱形,,,相交于,∥,点在平面上的射影恰好是线段的中点．‎ ‎(Ⅰ)求证:;‎ ‎(Ⅱ)若直线与平面所成的角为,求平面与平面所成角(锐角)的余弦值．‎ ‎【答案】(Ⅰ)取AO的中点H,连结EH,则EH⊥平面ABCD,‎ 因为BD在平面ABCD内,所以EH⊥BD.‎ 又菱形ABCD中,AC⊥BD且EH∩AC=H,EH,AC在平面EACF内 所以BD⊥平面EACF,即BD⊥平面ACF.‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知EH⊥平面ABCD,以H为原点,如图所示建立空间直角坐标系H-xyz 因为EH⊥平面ABCD,所以∠EAH为AE与平面ABCD所成的角,即∠EAH＝45°；‎ 又菱形ABCD的边长为4,则===.‎ 各点坐标分别为,E(0,0,),‎ 易知为平面ABCD的一个法向量,‎ 记n=,=, =,‎ 因为EF//AC, 所以,‎ 设平面DEF的一个法向量为 (注意：此处),‎ 即＝,‎ 令,则,所以 所以==,‎ 平面DEF与平面ABCD所成角(锐角)的余弦值为.‎ ‎【解析】本题考查线面垂直,空间向量的应用.(Ⅰ)作辅助线,证得EH⊥BD,AC⊥BD，所以BD⊥平面EACF,即BD⊥平面ACF.(Ⅱ)建立恰当的空间直角坐标系,∠EAH＝45°为AE与平面ABCD所成的角；求得平面ABCD的一个法向量n=,面DEF的一个法向量 所以==,面DEF与面ABCD所成角的余弦值为.‎ ‎ ‎ ‎20．如图所示,在中,的中点为,且,点在的延长线上,且.固定边,在平面内移动顶点,使得圆与边,边的延长线相切,并始终与的延长线相切于点,记顶点的轨迹为曲线.以所在直线为轴,为坐标原点如图所示建立平面直角坐标系.‎ ‎(Ⅰ)求曲线的方程;‎ ‎(Ⅱ)设动直线交曲线于两点,且以为直径的圆经过点,求.‎ ‎【答案】(Ⅰ)依题意得,‎ 设动圆与边的延长线相切于,与边相切于,则 所以======,‎ 所以点轨迹是以为焦点,长轴长为4的椭圆,且挖去长轴的两个顶点.‎ 则曲线的方程为.‎ ‎(Ⅱ)法一:‎ 由于曲线要挖去长轴两个顶点,所以直线斜率存在且不为,‎ 所以可设直线 ,‎ 由得, ,‎ 同理可得:,;所以,‎ 又,所以==‎ 令,则且,‎ 所以==== ,‎ 又,所以,所以,‎ 所以,所以,‎ 所以面积的取值范围为.‎ 法二:‎ 依题意得直线斜率不为0,且直线不过椭圆的顶点,‎ 则可设直线:,且.‎ 设,又以为直径的圆经过点,则,所以 由得,‎ 则=,‎ 且=,‎ 所以,‎ 又==,‎ 代入得:,所以,‎ 代入得:恒成立所以且.‎ 又==;‎ 点到直线的距离为=,‎ ‎=== ==,‎ ‎(1)当时,;‎ ‎(2)当且时,==,‎ 又,当且仅当时取“”,‎ 所以,所以,所以,‎ 所以,所以;‎ 综合(1),(2)知.‎ ‎【解析】本题考查椭圆的标准方程,直线与圆锥曲线的位置关系.(Ⅰ)由题意得=, 由椭圆的定义得:点轨迹是椭圆,即曲线为. (Ⅱ)设直线,联立方程,套用根与系数的关系求得.‎ ‎ ‎ ‎21．已知函数,．‎ ‎(Ⅰ)当时,恒成立,求的取值范围;‎ ‎(Ⅱ)当时,研究函数的零点个数;‎ ‎(Ⅲ)求证: (参考数据:)．‎ ‎【答案】(Ⅰ)令==,则=;‎ ‎①若,则,,在递增;‎ 而=,即在恒成立,满足；‎ 所以;‎ ‎②若,=在递增,=且 且时, ,则使；‎ 在递减,在递增,‎ 所以当时,即当时,,不满足题意,舍去;‎ 综合①,②知的取值范围为.‎ ‎(Ⅱ)依题意得=,‎ 则=,则=在上恒成立,‎ 故=在递增,‎ 所以,且时,;‎ ‎①若,即,则,故在递减,‎ 所以,在无零点;‎ ‎②若,即,则使,‎ 进而在递减,在递增,且时,‎ ‎,‎ 在上有一个零点,在无零点,故在有一个零点.‎ 综合①②,当时无零点;当时有一个公共点.‎ ‎(Ⅲ)由(Ⅰ)知,当时,对恒成立,‎ 令,则即;‎ 由(Ⅱ)知,当=时,对恒成立,‎ 令=,则=,所以;‎ 故有.‎ ‎【解析】本题考查导数在研究函数、不等式中的应用.(Ⅰ)作差,构造函数=,求导分类讨论得的取值范围为.(Ⅱ)多次求导,分类讨论得:当时无零点;当时有一个公共点.(Ⅲ)由(Ⅰ)可得,由(Ⅱ)知;故有.‎ ‎ ‎ ‎22．在平面直角坐标系中,已知圆的参数方程为,直线的参数方程为,定点.‎ ‎(Ⅰ)以原点为极点,轴的非负半轴为极轴,单位长度与平面直角坐标系下的单位长度相同建立极坐标系,求圆的极坐标方程;‎ ‎(Ⅱ)已知直线与圆相交于两点,求的值.‎ ‎【答案】(Ⅰ)依题意得圆的一般方程为,‎ 将==代入上式得=；‎ 所以圆的极坐标方程为=;‎ ‎(Ⅱ)依题意得点在直线上,所以直线的参数方程又可以表示为,‎ 代入圆的一般方程为得,‎ 设点分别对应的参数为,则,‎ 所以异号,不妨设,所以,‎ 所以=.‎ ‎【解析】本题考查直线、圆的参数方程,曲线的极坐标方程.(Ⅰ)圆的一般方程为,极坐标方程为=;(Ⅱ)直线的参数方程代入圆的一般方程得,则,由参数t的几何意义可得=.‎ ‎ ‎ ‎23．已知关于的不等式的解集不是空集，记的最小值为．‎ ‎(Ⅰ)求的值；‎ ‎(Ⅱ)若不等式的解集包含，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(Ⅰ)因为,当且仅当时取等号,‎ 故,即．‎ ‎(Ⅱ) 则<0.>0.‎ 由已知得1->在上恒成立 ‎<<在上恒成立，-4<<3.‎ 实数的取值范围是(-4,3).‎ ‎【解析】本题考查绝对值不等式. (Ⅰ)由绝对值的几何意义得,故,即;(Ⅱ)去绝对值得<<在上恒成立,即-4<<3.‎