2017-2018学年吉林省长春市十一高中高二上学期期末考试数学（文）试题 解析版 15页

绝密★启用前 吉林省长春市十一高中2017-2018学年高二上学期期末考试数学（文）试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．已知复数，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 的实部为，虚部为，‎ 故选 ‎2．若原命题为：“若为共轭复数，则”，则该命题的逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次为（ ）‎ A． 真真真 B． 真真假 C． 假假真 D． 假假假 ‎【答案】C ‎【解析】设，则，则，所以原命题为真命题，故其逆否命题为真命题 原命题的否命题为“若不互为共轭复数，则”，因为和 不互为共轭复数，但，所以否命题为假命题，故原命题的逆命题为假命题 故选 ‎3．下列命题为特称命题的是 （ ）‎ A． 任意一个三角形的内角和为 B． 棱锥仅有一个底面 C． 偶函数的图象关于轴垂直 D． 存在大于1的实数，使 ‎【答案】D ‎【解析】 对于选项A、B、C都为全称命题，选项D中，根据特称命题的概念，可得命题“存在大于的实数，使”中含有存在量词，所以D为特称命题，故选D.‎ ‎4．“”是“方程表示圆”的（ ）．‎ A． 充分而不必要条件 B． 必要而不充分条件 C． 充分必要条件 D． 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】时，方程等价于无意义，‎ 但若表示圆，则．‎ ‎∴“”是“”表示圆的必要不充分条件．‎ 故选：B ‎5．设双曲线的离心率是，则其渐近线的方程为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】双曲线的离心率是，‎ 可得，即，可得 则其渐近线的方程为 故选 ‎6．已知点，点与点关于平面对称，点与点关于轴对称，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 由题意可得：‎ 故选 ‎7．椭圆中，以点为中点的弦所在直线斜率为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 设弦的两端点为A(x1,y1),B(x2,y2)，‎ 代入椭圆得，‎ 两式相减得，‎ 即，‎ 即，又 即，‎ 即，‎ ‎∴弦所在的直线的斜率为，‎ 故选：C.‎ ‎8．若，，，则3个数,,的值( )‎ A． 至多有一个不大于1 B． 至少有一个不大于1 C． 都大于1 D． 都小于1‎ ‎【答案】B ‎【解析】设 则，，‎ 故选 ‎9．点在椭圆上，则的最大值为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 点在椭圆上，‎ ‎，‎ 不妨令，则 原式 则最大值为，‎ 故选 ‎10．设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎，‎ 函数的定义域是 ‎，，得 函数在区间上单调递减，‎ ‎，解得 故选 ‎11．在中， ，若一个椭圆经过两点，它的一个焦点为点，另一个焦点在边上，则这个椭圆的离心率为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 设另一焦点为 中， ， ‎ 又， ‎ 在中焦距 则 故选 点睛：本题主要考查了椭圆的简单性质。设另一焦点为，则可在中，根据勾股定理求得，进而根据椭圆的定义知，求得的值，再利用求得，最后在中根据勾股定理求得，得到焦距，进一步求得离心率。‎ ‎12．已知函数，若对任意，恒成立，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 函数,对任意，恒成立，‎ ‎∴恒成立，‎ 即>(a−1)x恒成立；‎ 设g(x)=,h(x)=(a−1)x，x∈R；‎ 在同一坐标系内画出两个函数的图象，如图所示；‎ 则满足不等式恒成立的是h(x)的图象在g(x)图象下方，‎ 求g(x)的导数g′(x)=−，‎ 且过g(x)图象上点(x0,y0)的切线方程为 ‎，‎ 且该切线方程过原点(0,0)，‎ 则=⋅x0，‎ 即=−⋅x0，‎ 解得x0=−1；‎ ‎∴切线斜率为k=−=−e，‎ ‎∴应满足a−1>−e，‎ 即a>1−e；‎ 又a−1⩽0，‎ ‎∴a⩽1，‎ ‎∴实数a的取值范围是(1−e,1].‎ 故选：A.‎ 点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：‎ ‎（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；‎ ‎（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若恒成立，转化为;‎ ‎（3）若恒成立，可转化为（需在同一点处取到最值）.‎ 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．在极坐标系中，圆的圆心的极坐标是____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎，即 则该圆的直角坐标方程为 即：‎ 表示以为圆心半径等于的圆 故可取 该圆的圆心的极坐标为 ‎14．观察下列各式： ， ， ，则的末四位数字为____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】， ， ‎ 观察可以看出这些幂的最后位是以为周期变化的，‎ 的末四位数字与的后四位数相同 故答案为 ‎15．函数在区间上的值域为_________________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 当时，‎ 是上的增函数 的最大值在处取得，‎ 的最小值在处取得，‎ 函数的值域为 ‎16．设分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线在第一象限上的一点，若，则内切圆的面积为______________________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 双曲线的 由双曲线的定义可得 ‎，解得 ‎ 则边上的高为，运用等面积法得 即，故内切圆的面积为 点睛：本题考查了双曲线的简单性质，考查了三角形的内切圆的面积，注意运用等积法，属于中档题。主要考查了学生的方程思想，定义法以及圆锥曲线的定义，性质与方程知识点的掌握。‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．已知极点为直角坐标系的原点，极轴为轴正半轴且单位长度相同的极坐标系中曲线，直线（为参数）.‎ ‎（1）求曲线上的点到直线距离的最小值；‎ ‎（2）若把上各点的横坐标都伸长为原来的2倍，纵坐标伸长为原来的倍，得到曲线.设，直线与曲线交于两点，求.‎ ‎【答案】（1）;（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由极坐标和直角坐标的转化，参数方程和直角坐标的转化关系，可求出结果，然后再根据直线和圆的位置关系，即可求出结果；‎ 伸缩变换为，得到，联立和得.因为，，利用韦达定理即可求出结果。‎ 解析：（1），圆心为，半径为；‎ 圆心到直线距离 ‎ 所以上的点到的最小距离为.‎ ‎（2）伸缩变换为，所以 ‎ 将和联立，得.因为 ‎18．如图，在四棱锥中, 底面为菱形，平面，点在棱上.‎ ‎（1）求证：直线平面；‎ ‎（2）是否存在点，使得四面体的体积等于四面体的体积的？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（Ⅰ）证明见解析.（2）存在，.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）推导出PC⊥BD，BD⊥AC，由此能证明BD⊥平面PAC；‎ ‎（2）在△PAC中过点E作EF∥PC，交AC于点F，由ABCD是菱形可知S△ABD=S△BDC，由此利用，能求出结果．‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）因为平面，所以,‎ 因为底面是菱形，所以，因为，所以平面.‎ ‎（2）在中过点作∥，交于点，‎ 因为平面，所以平面.‎ 由是菱形可知，‎ 设存在点，使得四面体的体积等于四面体的体积的，即，则，所以在中，，所以.‎ ‎19．已知.‎ ‎（1）若，求的单调区间；‎ ‎（2）当时，若在上恒成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）增区间为，减区间为；（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：先求出函数的定义域，再求导，根据得到的单调区间；‎ 根据函数的单调性求出函数的最值，再由在上恒成立，得到的取值范围。‎ 解析：（1）当时，，则，‎ 令，解得，令，解得，‎ 所以增区间为，减区间为.‎ ‎（2）由，，当时，‎ 故在上为增函数，若，则只需，即：，综上有：‎ ‎20．已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，焦距为，且长轴长是短轴长的倍.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程； ‎ ‎（2）设，过椭圆左焦点作斜率直线交于两点，若，求直线的方程.‎ ‎【答案】（1）；（2）：‎ ‎【解析】‎ 试题分析：设椭圆方程，由即可求得的值，进而得到椭圆的标准方程；‎ 设点坐标，三角形面积转化为，联立直线与椭圆方程求得，代入即可解得结果 解析：（1）依题意，,解得，‎ 所以椭圆的标准方程为.‎ 设直线：，代入椭圆消去得：，‎ 设，则 所以：，即：，‎ 即：，解得：，即，所以：‎ 点睛：本题考查了直线与椭圆的位置关系，并求出三角形的面积，在求三角形面积的题目里方法较多，如计算底和高或者分割三角形等，本题采用分割三角形计算三角形面积，联立直线与椭圆方程转化根的求解即可。‎ ‎21．已知抛物线：，过焦点的动直线与抛物线交于两点，线段的中点为.‎ ‎（1）当直线的倾斜角为时，．求抛物线的方程；‎ ‎（2）对于（1）问中的抛物线，设定点，求证：为定值.‎ ‎【答案】（1）；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：求得抛物线的焦点坐标，设直线的方程代入抛物线的方程，设，运用韦达定理，弦长公式，解方程可得，进而得到所求方程；‎ 运用中点坐标公式，求得，由两点的距离公式，可得，进而得到 的定值。‎ 解析：（1）由题意知，设直线的方程为，‎ 由 得：，所以：‎ 又由，所以，所以：抛物线的方程为 ‎（2）由（1）抛物线的方程为，此时设 消去得：，设，‎ 则：‎ 所以：‎ ‎ ，即 ‎ 所以： ‎ ‎22．已知.‎ ‎（1）若，求的单调区间；‎ ‎（2）若有三个零点，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1） 上单调递减，上单调递增.（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）先求出导函数，再根据导数和函数的单调性的关系即可求出单调性区间， （2）=0有3个解，即x3+2x2−4x =-a，有3个非0的解，求函数图象 ‎，求解即可．‎ 试题解析：‎ ‎， 则，‎ 令，解得，且有时，，时，，‎ 所以在上单调递减，在上单调递增.‎ ‎（2），即，令，‎ 则，解得，所以有两个极值，‎ ‎，所以，即.‎ ‎ 又.‎